一、 

a. 

# 给定的 (x, y) 数据
x <- c(2, 9, 10, 7)
y <- c(3, 13, 12, 11)# 线性回归模型 y = a + bx
model1 <- lm(y ~ x)
summary(model1)  # 查看回归结果# 提取系数 a 和 b
a <- coef(model1)[1]
b <- coef(model1)[2]# 预测值
y_pred <- predict(model1)# 计算 RMSE
rmse <- sqrt(mean((y - y_pred)^2))
cat("RMSE for model 1:", rmse, "\n")# 计算 R²
r_squared <- summary(model1)$r.squared
cat("R² for model 1:", r_squared, "\n")

b. 

# b
# 给定的 (x, y) 数据
x <- c(2, 9, 10, 7)
y <- c(3, 13, 12, 11)
# 定义 z = log(x)
z <- log(x)# 拟合 z 的线性回归模型
model_log <- lm(y ~ z)# 打印模型参数 a 和 b
summary(model_log)# 计算预测值
y_pred_log <- predict(model_log)# 计算 RMSE
rmse_log <- sqrt(mean((y - y_pred_log)^2))
cat("RMSE (log):", rmse_log, "\n")# 计算 R^2
r_squared_log <- summary(model_log)$r.squared
cat("R-squared (log):", r_squared_log, "\n")

c.

 

 

二、 

 

a.

题目给出了三组数据点 (x_{11}, x_{12}, y_1), (x_{21}, x_{22}, y_2), (x_{31}, x_{32}, y_3)：

• (x_{11}, x_{12}, y_1) = (0, 1, 1)

• (x_{21}, x_{22}, y_2) = (3, -2, 9)

• (x_{31}, x_{32}, y_3) = (-1, 4, -2)

问题 a 要求估计多元线性回归模型的 R^2 ，但是不需要进行计算。

R^2 是决定系数，表示模型解释的方差比例。 R^2 = 1 表示模型完美拟合数据，而 R^2 = 0 表示模型无法解释任何方差。

因为只有 3 个数据点，而我们有两个自变量 x_1 和 x_2 ，意味着回归模型将完美拟合这些数据点。因此，在这种情况下，模型的 R^2 值将是 1，因为我们可以通过回归完全解释数据的变化。

b.

# 构造 X 矩阵和 y 向量
X <- matrix(c(1, 1, 1, 1,   # 截距项0, 3, -1, 2,  # x11, -2, 4, 2), # x2nrow=4, byrow=TRUE)y <- c(1, 9, -2, 2)# 计算回归系数
beta <- solve(t(X) %*% X) %*% t(X) %*% y
beta