齐次线性微分方程的解的性质与结构

内容来源

常微分方程(第四版) (王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松) 高等教育出版社


齐次线性微分方程定义

d n x d t n + a 1 ( t ) d n − 1 x d t n − 1 + ⋯ + a n − 1 ( t ) d x d t + a n ( t ) x = 0 \frac{\mathrm{d}^nx}{\mathrm{d}t^n}+ a_1(t)\frac{\mathrm{d}^{n-1}x}{\mathrm{d}t^{n-1}}+\cdots+ a_{n-1}(t)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+a_n(t)x=0 dtndnx+a1(t)dtn1dn1x++an1(t)dtdx+an(t)x=0

其中 a i ( t ) a_i(t) ai(t) a ⩽ t ⩽ b a\leqslant t\leqslant b atb 上的连续函数

符合以上条件的方程的解存在且唯一,即

对于任意 t 0 ∈ [ a , b ] t_0\in[a,b] t0[a,b] 及 任意的 x 0 , x 0 ( 1 ) , ⋯ , x 0 ( n − 1 ) x_0,x^{(1)}_0,\cdots,x^{(n-1)}_0 x0,x0(1),,x0(n1) 上式存在唯一解 x = φ ( t ) x=\varphi(t) x=φ(t) 定义与 a ⩽ t ⩽ b a\leqslant t\leqslant b atb 上,且满足初值条件

φ ( t 0 ) = x 0 , d φ ( t 0 ) d t n = x 0 ( 1 ) , ⋯ , d n − 1 φ ( t 0 ) d t n − 1 = x 0 ( n − 1 ) \varphi(t_0)=x_0,\frac{\mathrm{d}\varphi(t_0)}{\mathrm{d}t^n}=x^{(1)}_0, \cdots,\frac{\mathrm{d}^{n-1}\varphi(t_0)}{\mathrm{d}t^{n-1}}=x^{(n-1)}_0 φ(t0)=x0,dtndφ(t0)=x0(1),,dtn1dn1φ(t0)=x0(n1)

书上没有证明,只说类似一阶的情况

在初值条件给定的情况下才是唯一的

解的性质与结构

叠加原理

如果 x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , ⋯ , x k ( t ) x_1(t),x_2(t),\cdots,x_k(t) x1(t),x2(t),,xk(t) 是方程的 k k k 个解,则它们的线性组合

c 1 x 1 ( t ) + c 2 x 2 ( t ) + ⋯ + c k x k ( t ) c_1x_1(t)+c_2x_2(t)+\cdots+c_kx_k(t) c1x1(t)+c2x2(t)++ckxk(t)

也是方程的解,这里 c i c_i ci 是任意常数全为零不行吧

这个也没证明,只有两条提示:

“常数可以从微分号下提了出来”

“和的导数等于导数之和”

朗斯基(Wronsky)行列式

由定义在 a ⩽ t ⩽ b a\leqslant t\leqslant b atb 上的 k k k 个可微 k − 1 k-1 k1 次函数 x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , ⋯ , x k ( t ) x_1(t),x_2(t),\cdots,x_k(t) x1(t),x2(t),,xk(t) 所作成的行列式

W [ x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , ⋯ , x k ( t ) ] ≡ W ( t ) ≡ ∣ x 1 ( t ) x 2 ( t ) ⋯ x k ( t ) x 1 ′ ( t ) x 2 ′ ( t ) ⋯ x k ′ ( t ) ⋮ ⋮ ⋮ x 1 ( k − 1 ) ( t ) x 2 ( k − 1 ) ( t ) ⋯ x k ( k − 1 ) ( t ) ∣ W[x_1(t),x_2(t),\cdots,x_k(t)]\equiv W(t)\equiv \left|\begin{matrix} x_1(t)&x_2(t)&\cdots&x_k(t)\\ x'_1(t)&x'_2(t)&\cdots&x'_k(t)\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x^{(k-1)}_1(t)&x^{(k-1)}_2(t)&\cdots&x^{(k-1)}_k(t)\\ \end{matrix}\right| W[x1(t),x2(t),,xk(t)]W(t) x1(t)x1(t)x1(k1)(t)x2(t)x2(t)x2(k1)(t)xk(t)xk(t)xk(k1)(t)

称为这些函数的朗斯基行列式

用途
  1. 若函数 x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , ⋯ , x n ( t ) x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t) x1(t),x2(t),,xn(t) a ⩽ t ⩽ b a\leqslant t\leqslant b atb 上线性相关,则在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上它们的朗斯基行列式 W ( t ) ≡ 0 W(t)\equiv0 W(t)0

  2. 如果方程的解 x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , ⋯ , x n ( t ) x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t) x1(t),x2(t),,xn(t) a ⩽ t ⩽ b a\leqslant t\leqslant b atb 上线性无关,则 W [ x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , ⋯ , x n ( t ) ] W[x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t)] W[x1(t),x2(t),,xn(t)] 在这个区间上的任何点上都不等于零

注意,第一点的逆定理一般不成立

证明1

由线性相关的假设,存在一组不全为零的常数 c 1 , c 2 , ⋯ , c n c_1,c_2,\cdots,c_n c1,c2,,cn ,使得

c 1 x 1 ( t ) + c 2 x 2 ( t ) + ⋯ + c n x n ( t ) ≡ 0 , a ⩽ t ⩽ b c_1x_1(t)+c_2x_2(t)+\cdots+c_nx_n(t)\equiv0,a\leqslant t\leqslant b c1x1(t)+c2x2(t)++cnxn(t)0,atb

将此恒等式依次对 t t t 求导

{ c 1 x 1 ′ ( t ) + c 2 x 2 ′ ( t ) + ⋯ + c n x n ′ ( t ) = 0 c 1 x 1 ′ ′ ( t ) + c 2 x 2 ′ ′ ( t ) + ⋯ + c n x n ′ ′ ( t ) = 0 ⋮ c 1 x 1 ( n − 1 ) ( t ) + c 2 x 2 ( n − 1 ) ( t ) + ⋯ + c n x n ( n − 1 ) ( t ) = 0 \begin{cases} c_1x'_1(t)+c_2x'_2(t)+\cdots+c_nx'_n(t)=0\\ c_1x''_1(t)+c_2x''_2(t)+\cdots+c_nx''_n(t)=0\\ \ \ \ \ \ \vdots\\ c_1x^{(n-1)}_1(t)+c_2x^{(n-1)}_2(t)+\cdots+c_nx^{(n-1)}_n(t)=0\\ \end{cases} c1x1(t)+c2x2(t)++cnxn(t)=0c1x1′′(t)+c2x2′′(t)++cnxn′′(t)=0     c1x1(n1)(t)+c2x2(n1)(t)++cnxn(n1)(t)=0

加上求导前的恒等式,构成齐次线性代数方程组

系数行列式就是 W [ x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , ⋯ , x n ( t ) ] W[x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t)] W[x1(t),x2(t),,xn(t)]

由线代理论可知,此方程组存在非零解,则它的系数行列式必须为零

证明2

用反证,假设存在某个 t 0 t_0 t0 使得 W ( t 0 ) = 0 W(t_0)=0 W(t0)=0

再次由线代理论知,上面的方程组一定有非零解 c 1 , c 2 , ⋯ , c n c_1,c_2,\cdots,c_n c1,c2,,cn

用叠加原理构造一个新解

x ( t ) ≡ c 1 x 1 ( t ) + c 2 x 2 ( t ) + ⋯ + c n x n ( t ) x(t)\equiv c_1x_1(t)+c_2x_2(t)+\cdots+c_nx_n(t) x(t)c1x1(t)+c2x2(t)++cnxn(t)

这个解满足初值条件

x ( t 0 ) = x ′ ( t 0 ) = ⋯ = x ( n − 1 ) ( t 0 ) = 0 x(t_0)=x'(t_0)=\cdots=x^{(n-1)}(t_0)=0 x(t0)=x(t0)==x(n1)(t0)=0

就是方程组的每一行

x = 0 x=0 x=0 显然也是方程满足以上初值条件的解

由解的唯一性知 x ( t ) ≡ 0 x(t)\equiv0 x(t)0 ,即

c 1 x 1 ( t ) + c 2 x 2 ( t ) + ⋯ + c n x n ( t ) ≡ 0 c_1x_1(t)+c_2x_2(t)+\cdots+c_nx_n(t)\equiv0 c1x1(t)+c2x2(t)++cnxn(t)0

c 1 , c 2 , ⋯ , c n c_1,c_2,\cdots,c_n c1,c2,,cn 不全为零,与 x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , ⋯ , x n ( t ) x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t) x1(t),x2(t),,xn(t) 线性无关的假设矛盾

结合以上两点和解的存在唯一性

n n n 阶齐次线性方程一定存在 n n n 个线性无关的解

通解结构

如果 x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , ⋯ , x n ( t ) x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t) x1(t),x2(t),,xn(t) 是方程的 n n n 个线性无关的解,则通解可表示为

x = c 1 x 1 ( t ) + c 2 x 2 ( t ) + ⋯ + c n x n ( t ) x=c_1x_1(t)+c_2x_2(t)+\cdots+c_nx_n(t) x=c1x1(t)+c2x2(t)++cnxn(t)

n n n 阶齐次线性微分方程的所有解构成一个 n n n 维线性空间

方程的一组 n n n 个线性无关解成为方程的一个基本解组

特别地,当 W ( t 0 ) = 1 W(t_0)=1 W(t0)=1 时称其为标准基本解组

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.rhkb.cn/news/462058.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系长河编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

KPRCB结构之ReadySummary和DispatcherReadyListHead

ReadySummary: Uint4B DispatcherReadyListHead : [32] _LIST_ENTRY 请参考 _KTHREAD *__fastcall KiSelectReadyThread(ULONG LowPriority, _KPRCB *Prcb)

Python爬虫:揭开淘宝商品描述的神秘面纱

在这个信息爆炸的时代,我们每天都在和时间赛跑。作为一名Python开发者,你是否曾梦想拥有超能力,能够瞬间揭开淘宝商品描述的神秘面纱?今天,就让我们一起化身为代码界的“福尔摩斯”,使用Python爬虫技术&…

HTML 多媒体标签详解:<img>、<object> 与 <embed>

文章目录 1. `<img>` 标签主要属性示例注意事项2. `<object>` 标签概述主要属性示例注意事项3. `<embed>` 标签概述主要属性示例注意事项小结在现代网页设计中,多媒体内容的使用变得越来越重要,因为它能够有效增强用户体验、吸引注意力并传达信息。HTML 提…

台式电脑如何改ip地址:全面解析与实操指南

有时候&#xff0c;由于IP地址冲突、网络安全、隐私保护或特定应用需求&#xff0c;我们可能需要更改台式电脑的IP地址。然而&#xff0c;对于不熟悉网络设置的用户来说&#xff0c;这一过程可能显得复杂而陌生。本文将通过全面解析与实操指南&#xff0c;帮助大家轻松掌握台式…

跟着红队笔记学习 tmux:渗透测试中的多终端利器

内容预览 ≧∀≦ゞ 跟着红队笔记学习 tmux&#xff1a;渗透测试中的多终端利器进入 tmux 前的准备tmux 概念简介tmux 基础操作会话管理命令会话管理快捷键会话内和会话外命令的区别 tmux 窗口和面板管理新建和管理窗口分割窗口为面板切换面板面板放大与恢复调整面板大小关闭面板…

【机器学习】24. 聚类-层次式 Hierarchical Clustering

1. 优势和缺点 优点&#xff1a; 无需提前指定集群的数量 通过对树状图进行不同层次的切割&#xff0c;可以得到所需数量的簇。树状图提供了一个有用的可视化-集群过程的可解释的描述树状图可能揭示一个有意义的分类 缺点&#xff1a; 计算复杂度较大, 限制了其在大规模数据…

移植 AWTK 到 纯血鸿蒙 (HarmonyOS NEXT) 系统 (2) - 移植 nanovg

AWTK 使用 nanovg 作为显示的后端&#xff0c;能否将 nanovg 成功移植到 HarmonyOS 上是一个关键问题&#xff0c;所以我们先尝试移植 nanovg&#xff0c;不过实际情况比预想的要简单&#xff0c;整个过程没有遇到任何意外的问题。 1. 将 AWTK 的代码取到 entry/src/main/cpp …

函数调用方法背后的原理

编译器实现函数调用时所遵循的一系列规则称为函数的“调用约定&#xff08;Calling Convention&#xff09;”&#xff0c;x86-64平台上的编译器随着操作系统的不同而有不同的约定。Windows上采用的是Wx64/Vector的标准,而类unix上采用systemV AMD64 ABI的调用标准。统一的调用…

Pinpoint(APM)进阶--插件开发

接上文 pinpoint支持编写插件来扩展监控的覆盖范围 这里重申下pinpoint一个trace的基本构成&#xff08;最小单元为span&#xff09; 插件结构 pinpoint插件由type-provider.yml 和实现组成 type-provider.yml 定义给插件使用的ServiceTypes和AnnotationKeys&#xff0c;并…

qt QPalette详解

1、概述 QPalette是Qt框架中用于管理颜色组和角色的一种机制。它允许开发者为应用程序中的不同组件&#xff08;如窗口、按钮、文本框等&#xff09;定义一套统一的颜色方案。QPalette通过定义颜色角色&#xff08;如背景色、前景色、选择色等&#xff09;和颜色组&#xff08…

什么是FUSE用户态文件系统

零. 文件系统 1. 为什么要有文件系统 文件系统是操作系统中管理文件和目录的一种机制。它提供了组织、存储、检索和更新文件的方法&#xff0c;主要如下&#xff1a; 数据组织&#xff1a;文件系统将数据组织成文件和目录&#xff0c;使用户能够更方便地管理和查找文件。每个…

<HarmonyOS第一课>应用/元服务上架的课后习题

善者&#xff0c;吾善之&#xff1b; 不善者&#xff0c;吾亦善之&#xff0c;德善。 信者&#xff0c;吾信之&#xff1b; 不信者&#xff0c;吾亦信之&#xff0c;德信。 圣人在天下&#xff0c;歙歙焉为天下浑其心&#xff0c;百姓皆注其耳目&#xff0c;圣人皆孩之。 通过&…

从源码到成品应用:互联网医院系统与在线问诊APP的开发全解析

今天将全面解析互联网医院系统和在线问诊APP的开发过程&#xff0c;从源码到成品应用&#xff0c;帮助您理解其中的关键技术和实施策略。 一、系统架构设计 互联网医院系统和在线问诊APP的开发首先需要一个合理的系统架构。通常&#xff0c;系统架构分为前端和后端两个部分。…

2024年【危险化学品生产单位安全生产管理人员】考试内容及危险化学品生产单位安全生产管理人员作业考试题库

题库来源&#xff1a;安全生产模拟考试一点通公众号小程序 危险化学品生产单位安全生产管理人员考试内容是安全生产模拟考试一点通生成的&#xff0c;危险化学品生产单位安全生产管理人员证模拟考试题库是根据危险化学品生产单位安全生产管理人员最新版教材汇编出危险化学品生…

企业出海网络:SD-WAN与专线混合组网方案

随着越来越多的国内企业进入海外市场&#xff0c;包括出海电商、游戏、社交网络和区块链等领域&#xff0c;它们通常需要使用海外服务器。同时&#xff0c;这些企业在国内也会拥有自己的机房、IDC或依赖其他云服务提供商的机房。在这种情况下&#xff0c;如何实现国内外之间的高…

vue 果蔬识别系统百度AI识别vue+springboot java开发、elementui+ echarts+ vant开发

编号&#xff1a;R03-果蔬识别系统 简介&#xff1a;vuespringboot百度AI实现的果蔬识别系统 版本&#xff1a;2025版 视频介绍&#xff1a; vuespringboot百度AI实现的果蔬识别系统前后端java开发&#xff0c;百度识别&#xff0c;带H5移动端&#xff0c;mysql数据库可视化 1 …

深度了解flink Flink 本地运行Standalone模式

环境准备 IDEA 必须git 必须maven 必须jdk 1.8 必须scala 2.12.7 源码下载 如果能访问github&#xff0c;下载github的源码(flink的代码托管网站) git clone https://github.com/apache/flink.git 如果不能访问github&#xff0c;可以通过码云下载(国内的代码托管平台) g…

【C语言】宏封装的实用总结

在C语言的广阔天地中&#xff0c;宏&#xff08;Macro&#xff09;犹如一门神秘的内功&#xff0c;掌握它&#xff0c;你将能够以不变应万变&#xff0c;以简洁驾驭复杂。今天&#xff0c;我们将深入探讨C语言宏封装的高级技巧&#xff0c;并通过一系列案例&#xff0c;让你领略…

Latex中Reference的卷号加粗的问题

找到模板中的.bst文件&#xff0c;查找volume&#xff0c;修改如下 添加bold&#xff0c;卷号会加粗&#xff0c;去掉则正常

parted 磁盘分区

目录 磁盘格式磁盘分区文件系统挂载使用扩展 - parted、fdisk、gdisk 区别 磁盘格式 parted /dev/vdcmklabel gpt # 设置磁盘格式为GPT p # 打印磁盘信息此时磁盘格式设置完成&#xff01; 磁盘分区 开始分区&#xff1a; mkpart data_mysql # 分区名&…