单纯形法（Simplex Method） 是一种用于求解线性规划（LP）问题的迭代算法，它从可行解的一个顶点开始，沿着可行区域的边界移动，逐步找到最优解。该方法特别适用于具有多个变量和约束的线性规划问题。

单纯形法的核心概念

1. 标准形式：单纯形法通常要求线性规划问题以标准形式表达，即：

   • 目标函数为最大化问题： $\text{Max}Z=c_1{x}_1+c_2{x}_2+\cdots +c_n{x}_n$
   • 约束为线性等式，且右侧为非负数： $a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n\le b_1$
   • 所有变量必须是非负的： $x_i\ge 0$

   若原问题是线性不等式的形式，可以通过引入松弛变量将其转换为等式。

2. 初始解：单纯形法从一个基本可行解开始，通常是某个顶点。

3. 迭代步骤：单纯形法沿着可行区域的边界，从一个顶点移动到另一个顶点，逐步逼近最优解。在每一步中，单纯形法根据当前顶点的信息计算出下一个更好的顶点。

4. 停止条件：当目标函数不再能够通过沿某个方向的移动得到改善时，算法停止，并输出当前解作为最优解。

单纯形法的解读步骤

1. 建立初始表格：将线性规划问题转换为标准形式，并使用增广矩阵构造初始单纯形表格。
2. 选择进入变量：在目标函数系数中选择一个正值的变量作为进入基的变量，表示沿该方向可以提升目标函数值。
3. 选择离开变量：根据约束条件，找出一个基变量，在增加进入变量时最先到达零点。该变量将被替换为进入变量。
4. 更新表格：通过高斯消元法，更新单纯形表格，使得进入变量成为新的基变量。
5. 迭代：重复选择进入和离开变量的步骤，直到所有目标函数系数为非正数，即找到了最优解。
   我们来看一个具体的实例，演示单纯形法的应用过程。

实例问题：

某公司生产两种产品，产品1每个单位利润为3，产品2每个单位利润为5。每周有两种资源可用：资源1最多30单位，资源2最多24单位。生产产品1需要2单位资源1和1单位资源2；生产产品2需要1单位资源1和2单位资源2。公司希望通过生产两种产品，最大化每周的总利润。

线性规划的数学描述：

目标函数：

$\text{Max}Z=3x_1+5x_2$

约束条件：

$2x_1+x_2\le 30\text{（资源1约束）}$

$x_1+2x_2\le 24\text{（资源2约束）}$

$x_1\ge 0,x_2\ge 0\text{（非负约束）}$

转化为标准形式：

为了将约束转换为等式，我们引入松弛变量 $s_1$ 和 $s_2$：

$2x_1+x_2+s_1=30$

$x_1+2x_2+s_2=24$

其中， $s_1,s_2\ge 0$表示松弛变量，确保等式成立。

标准形式的目标函数：

$\text{Max}Z=3x_1+5x_2+0s_1+0s_2$

初始单纯形表格：

在单纯形法中，我们构造初始表格，如下所示：

基变量	$$x_1$$	$$x_2$$	$$s_1$$	$$s_2$$	RHS
$$s_1$$	2	1	1	0	30
$$s_2$$	1	2	0	1	24
Z	-3	-5	0	0	0

第一步：选择进入变量和离开变量

在目标行（Z 行）中，我们选择系数最负的变量作为进入变量。在此例中， $x_2$系数为 -5，最负，因此 $x_2$ 是进入变量。

接下来，我们根据 RHS 列（右端常数）计算离开变量。计算标准是将 RHS 列中的值除以进入变量列中的正系数，选择最小的商：

$\frac{30}{1}=30,\frac{24}{2}=12$

因此， $s_2$ 离开基，进入变量为 $x_2$。

第二步：更新单纯形表格

我们通过高斯消元法更新表格，将 $x_2$ 作为新基变量。经过消元后，新的单纯形表格如下：

基变量	$x_1$	$x_2$	$s_1$	$s_2$	RHS
$s_1$	1.5	0	1	-0.5	18
$x_2$	0.5	1	0	0.5	12
Z	-0.5	0	0	2.5	60

第三步：继续迭代

此时，目标行中的所有系数都为非负，表示我们已经找到最优解。

最优解：

$x_1=18,x_2=12$, 最优目标函数值 Z=60。公司每周生产 18 单位产品1和 12 单位产品2，利润最大化为 60。

总结

单纯形法通过迭代更新可行解的方式，寻找最优解。在每一步中，算法都会选择一个有潜力增加目标函数值的变量进入基，并在满足所有约束的前提下替换现有的基变量，直至找到最优解。