P11233 [CSP-S 2024] 染色

题面：

题目描述

给定一个长度为 $n$ 的正整数数组 $A$，其中所有数从左至右排成一排。

你需要将 $A$ 中的每个数染成红色或蓝色之一，然后按如下方式计算最终得分：

设 $C$ 为长度为 $n$ 的整数数组，对于 $A$ 中的每个数 $A_i$（$1\le i\le n$）：

• 如果 $A_i$ 左侧没有与其同色的数，则令 $C_i=0$。
• 否则，记其左侧与其最靠近的同色数为 $A_j$，若 $A_i=A_j$，则令 $C_i=A_i$，否则令 $C_i=0$。

你的最终得分为 $C$ 中所有整数的和，即 $\sum _{i=1}^n{C}_i$。你需要最大化最终得分，请求出最终得分的最大值。

输入格式

本题有多组测试数据。

输入的第一行包含一个正整数 $T$，表示数据组数。

接下来包含 $T$ 组数据，每组数据的格式如下：

第一行包含一个正整数 $n$，表示数组长度。

第二行包含 $n$ 个正整数 $A_1,A_2,\dots ,A_n$，表示数组 $A$ 中的元素。

输出格式

对于每组数据：输出一行包含一个非负整数，表示最终得分的最大可能值。

样例 #1

样例输入 #1

3
3
1 2 1
4
1 2 3 4
8
3 5 2 5 1 2 1 4

样例输出 #1

1
0
8

提示

【样例 1 解释】

对于第一组数据，以下为三种可能的染色方案：

1. 将 $A_1,A_2$ 染成红色，将 $A_3$ 染成蓝色（$121$），其得分计算方式如下：

• 对于 $A_1$，由于其左侧没有红色的数，所以 $C_1=0$。
• 对于 $A_2$，其左侧与其最靠近的红色数为 $A_1$。由于 $A_1\ne A_2$，所以 $C_2=0$。
• 对于 $A_3$，由于其左侧没有蓝色的数，所以 $C_3=0$。
  该方案最终得分为 $C_1+C_2+C_3=0$。

2. 将 $A_1,A_2,A_3$ 全部染成红色（$121$），其得分计算方式如下：

• 对于 $A_1$，由于其左侧没有红色的数，所以 $C_1=0$。
• 对于 $A_2$，其左侧与其最靠近的红色数为 $A_1$。由于 $A_1\ne A_2$，所以 $C_2=0$。
• 对于 $A_3$，其左侧与其最靠近的红色数为 $A_2$。由于 $A_2\ne A_3$，所以 $C_3=0$。
  该方案最终得分为 $C_1+C_2+C_3=0$。

3. 将 $A_1,A_3$ 染成红色，将 $A_2$ 染成蓝色（$121$），其得分计算方式如下：

• 对于 $A_1$，由于其左侧没有红色的数，所以 $C_1=0$。
• 对于 $A_2$，由于其左侧没有蓝色的数，所以 $C_2=0$。
• 对于 $A_3$，其左侧与其最靠近的红色数为 $A_1$。由于 $A_1=A_3$，所以 $C_3=A_3=1$。
  该方案最终得分为 $C_1+C_2+C_3=1$。

可以证明，没有染色方案使得最终得分大于 $1$。

对于第二组数据，可以证明，任何染色方案的最终得分都是 $0$。

对于第三组数据，一种最优的染色方案为将 $A_1,A_2,A_4,A_5,A_7$ 染为红色，将 $A_3,A_6,A_8$ 染为蓝色（$35251214$），其对应 $C=[0,0,0,5,0,1,2,0]$，最终得分为 $8$。

【样例 2】

见选手目录下的 color/color2.in 与 color/color2.ans。

【数据范围】

对于所有测试数据，保证：$1\le T\le 10$，$2\le n\le 2\times 10^5$，$1\le A_i\le 10^6$。

测试点	$n$	$A_i$
$1\sim 4$	$\le 15$	$\le 15$
$5\sim 7$	$\le 10^2$	$\le 10^2$
$8\sim 10$	$\le 2000$	$\le 2000$
$11,12$	$\le 2\times 10^4$	$\le 10^6$
$13\sim 15$	$\le 2\times 10^5$	$\le 10$
$16\sim 20$	$\le 2\times 10^5$	$\le 10^6$

定义 $f_i$ 为枚举到 $i$ 时的答案，$s_i$ 为相邻两项相同的前缀和。

有转移:
f i = max ⁡ { f j + [ a i = a j ] × a i + s i − 1 − s j + 1 } f_i = \max\{f_j + [a_i = a_j] \times a_i + s_{i - 1} - s_{j + 1}\} fi​=max{fj​+[ai​=aj​]×ai​+si−1​−sj+1​}

发现只有相同元素会产生贡献，于是用桶维护相同元素的最优决策点。

即： b u c a i = max ⁡ { f j − s j + 1 } buc_{a_i} = \max\{f_j - s_{j + 1}\} bucai​​=max{fj​−sj+1​}

有转移：
f i = max ⁡ { b u c a i + a i + s i − 1 } f_i = \max\{buc_{a_i} + a_i + s_{i - 1}\} fi​=max{bucai​​+ai​+si−1​}

(虽然但是，我用的是一种更难理解，但是更好写的代码)

AC-code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int rd() {int x = 0, w = 1;char ch = 0;while (ch < '0' || ch > '9') {if (ch == '-') w = -1;ch = getchar();}while (ch >= '0' && ch <= '9') {x = x * 10 + (ch - '0');ch = getchar();}return x * w;
}
void wt(int x) {static int sta[35];int f = 1;if(x < 0) f = -1,x *= f;int top = 0;do {sta[top++] = x % 10, x /= 10;} while (x);if(f == -1) putchar('-');while (top) putchar(sta[--top] + 48);
}namespace work{
const int N = 2e5+5,M = 1e6 + 5;
int n,a[M],s[M],f[M],t[M];
void solve() {memset(s,0,sizeof(s));memset(t,0,sizeof(t));memset(f,0,sizeof(f));n = rd();for(int i = 1;i<=n;i++) a[i] = rd();for(int i = 2;i<=n;i++) s[i] = s[i - 1] + (a[i] == a[i - 1]) * a[i];for(int i = 1;i<=n;i++) {f[i] = f[i - 1];if(t[a[i]]) f[i] = max(f[i],f[t[a[i]] + 1] + a[i] + s[i] - s[t[a[i]] + 1]);t[a[i]] = i;}wt(f[n]);putchar('\n');
}}signed main() {int T = rd();while(T--) work::solve();return 0;
}