数学建模模型算法-Python实现

一、评价决策类

1、层次分析法（AHP）

层次分析法用来评价或选择一个更好更优的决策或方案

通过找到可以衡量其好坏的指标，进而衡量指标，再形成评价体系

归一化处理

让指标在同一数量级，且保证在同一指标下其差距保持不变

操作：指标的数组[a b c]归一化处理得到[ a/(a+b+c) , b/(a+b+c) , c/(a+b+c) ]

但实际上每个指标的重要性是不同的，可以给每个指标上加上一个权重

而如何科学的设定权重，则体现出层次分析法的主要作用

层次分析法是对一些较复杂模糊的问题作出决策的简易方法，其适用于难以完全定量分析的问题

模型原理

首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。复杂问题被分解为元素的组成部分，上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用

层次可以分为三类：最高层、中间层、最底层

基本步骤

其中第二步构造判断矩阵，要对指标的重要性进行两两比较

矩阵中的元素aij的意义为：第i个指标相对于第j个指标的重要程度

依次对变量进行两两比较，得到完整的判断矩阵

而因为两两比较的过程中忽略了其他因素，导致最后的结果可能出现矛盾

所以需要一致性检验

一致性检验

求权重

Ⅰ.算数平均法

①用每一个元素除以所在列的和

② 每一行相加

③得出的一列数据除以n

Ⅱ.几何平均法

①根据n来开根号

②用每一个开根号后的元素除以所在列的和

Ⅲ.特征值法

求评分

Python代码

在数学建模中最常用的三个库：Numpy、Pandas、Matplotlib

Numpy

Numpy是Python中用于科学计算和数值操作的基础库，其提供了很多高性能的多维数组对象和用于处理数组的各种函数

Pandas

用来提供高性能，易于使用的数据结构和数据分析工具所用的库

Matplotlib

创建可视化的库，也就是用来绘图的

#1、一致性检验

import numpy as np#as np是将numpy库名命名为np，这样在使用的时候更加方便
#定义矩阵A
#np.array是NumPy库中的一个函数，用于创建数组，它可以将输入的对象（列表元组其他数组等）转换为NumPy数组
A=np.array([[1,2,3,5],[1/2,1,1/2,2],[1/3,2,1,2],[1/5,1/2,1/2,1]])#二维数组作矩阵
n=A.shape[0]#shape获取形状信息，获取A的行，1为获取A的列
#求最大特征值以及对应的特征向量
#np.linalg.eig是NumPy库中的一个函数，用于计算方阵的特征值和特征向量
#eig_val特征值,eig_vec特征向量
eig_val,eig_vec=np.linalg.eig(A)
Max_eig=max(eig_val)#求特征值最大值
CI=(Max_eig-n)/(n-1)
#这里n=2时，一定为一致矩阵，所以CI=0，为了避免分母为0，将这里的第二个元素改为了很接近0的正整数
RI=[0,0.0001,0.52,0.89,1.12,1.26,1.36,1.41,1.46,1.49,1.52,1.54,1.56,1.58,1.59]#这里RI最多支持n=15
CR=CI/RI[n-1]
print('一致性指标CI=',CI)
print('一致性比例CR=',CR)
if CR<0.10:print('因为CR<0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受')
else:print('注意：CR>=0.10，因此该判断矩阵A需要进行修改')

#2、算数平均法求权重

import numpy as np
A=np.array([[1,2,3,5],[1/2,1,1/2,2],[1/3,2,1,2],[1/5,1/2,1/2,1]])
#计算每一列的和
#no.sum函数可以计算一维数组中所有元素的总和
#可以通过指定axis参数来计算多维数组在某个维度上的元素总和
#例如在二维数组中，axis=0表示按列计算总和，axis=1表示按行计算
ASum=np.sum(A,axis=0)
n=A.shape[0]#shape获取形状信息，获取A的行，1为获取A的列
#归一化，二维数组除以一维数组，会自动将一维数组扩展为与二维数组相同的形状，然后进行逐元素的除法运算
Stand_A=A/ASum
#各列相加到同一行
ASumr=np.sum(Stand_A,axis=1)
#计算权重向量
weights=ASumr/n
print(weights)

#3、几何平均法求权重

import numpy as np
A=np.array([[1,2,3,5],[1/2,1,1/2,2],[1/3,2,1,2],[1/5,1/2,1/2,1]])
#将A中的每一行元素相乘得到一列向量
#np.prod函数可以计算一维数组中所有元素的乘积
prod_A=np.prod(A,axis=1)
n=A.shape[0]
#将新的向量的每个分量开n次方
#np.power函数可以对数组中的元素进行幂运算
prod_n_A=np.power(prod_A,1/n)
#归一化
re_prod_A=prod_n_A/np.sum(prod_n_A)
print(re_prod_A)