(🔺)朴素dijkstra迪杰斯特拉算法

• 时间复杂度分析
  • 寻找路径最短的点：O(n²)
  • 加入集合S：O(n)
  • 更新距离：O(m)
  • 所以总的时间复杂度为O(n²)
  • 精确：时间复杂度 O(n²+m), n表示点数，m表示边数
• 所有边若是正的,就不会有自环;重边保留长度最短的边即可

朴素dijkstra算法的模板

• 距离指1号点到当前最短路的距离

int g[N][N];  // 稠密图用邻接矩阵存储每条边
int dist[N];  // 存储1号点到每个点的最短距离
bool st[N];   // 存储每个点的最短路是否已经确定（当前已确定其最短路的点，放置st[]中）// 求1号点到n号点的最短路，如果不存在则返回-1
int dijkstra()
{
//①初始化距离dist[1] = 0;//第一步仅确定起点dist，其余的都初始为一个大值memset(dist, 0x3f, sizeof dist);//②for循环（保证每次迭代都能确定一个点的最短距离）for (int i = 0; i < n - 1; i ++ ){// a.t←在还未确定最短路的点中（即不在s[]中的），寻找距离最小的点 ==>n²int t = -1;     for (int j = 1; j <= n; j ++ )if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))t = j;// b.s←t（n次）,用t更新其他点的距离（m次）for (int j = 1; j <= n; j ++ )dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);st[t] = true;}if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;return dist[n];
}

朴素dijkstra算法的例题

• 849. Dijkstra求最短路 I - AcWing题库
• （以下分析点对应序号具体标记在代码展示部分）

题意分析：

• 重边情况的解决：在各边输入到g数组中时，就只保留最短的边
  • 见分析点④处g[x][y]=min(g[x][y],z);
• 自环情况的解决：自环的处理直接忽略，因为求最小值的过程之中，如果出现了自环是不会纳入最小值
  • 对于dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);自环意味t和j同一个，所以这一步相当于dist[j] = min(dist[j], dist[j] + g[j][j]);==>dist[j]必然小于dist[j] + g[j][j] ==>故说自环不会纳入最小值

代码分析：

• 分析点①：为什么每次要选择“距离起点最近的未访问节点”呢？

  • 因为如果当前节点到起点的距离比已知的最短距离更长，那么从起点到当前节点的路径一定不是最短路径，因此没有必要继续扩展该节点。

• 分析点②：

  • dist[t] + g[t][j]：是用1到t的距离，加上当前边（t→j，故g[t][j]），来更新从1到j其距离
  • 

• 分析点③：

  • memset是按字节，int共4字节，所以可用0x3f，每个字节刚好能0x3f3f3f3f
  • 而dist[n] == 0x3f3f3f3f处必须写完整0x3f3f3f3f，否则会出错

• 分析点④：处理重边情况，g数组保留重边里最短的边

• 分析点⑤：最先手动处理dist[1]=0的巧妙之处，相当是多米多骨牌里推倒第一个牌。

  • 其保证了在第一轮for循环中，步骤a中第一次确认的数是“1”.
  • ==>从而通过dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);(对第一轮而言即dist[j] = min(无穷大, g[1][j]);),只有与1有边的(g[1][j]有值的),才会更新,其余仍是无穷大.
  • ==>故下一轮保证了是从1指向的几个数中,找dist最小的一个,进一步确定一轮最短距离.
  • ==>从而自动地连续且有序地更新dist,确定n个数的最小距离

• 分析点⑥: 能走到这一步意味着st[t]=true,也就是st[n]=true.而st的意义正是固定一个值的最短距离是否确定;既然题目要求的n最短距离已找到,变可直接break,输出结果.

具体代码部分

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;const int N = 510;int n, m;
int g[N][N];    //稠密阵用邻接矩阵存储各边（初始化为无限大）
int dist[N];    //用于记录每一个点距离第一个点的距离（初始化为无限大）
bool st[N];     //用于记录该点的最短距离是否已经确定（默认初始化为0）int Dijkstra()
{//①初始化距离memset(dist, 0x3f, sizeof dist);     //初始化距离(0x3f代表无限大)dist[1] = 0;  //第一个点到自身的距离为0；分析点⑤//②for循环n次，每次确定一个数，并更新一轮最短距离for (int i = 0; i < n; i++)      //有n个点所以要进行n次 迭代{int t = -1;       //t存储当前访问的点//a.确定数。要求如下：//①最短距离仍未确定：st=false//②满足①，同时dist最短（分析点①）for (int j = 1; j <= n; j++) //这里的j代表的是从1号点开始{//t==-1（表刚经历一次更新，先临时确定首个st[j]未走过的值为t）；//若碰到更短的dist（dist[t] > dist[j]）就更新tif (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))t = j;}//if(t==n) break;//分析点⑥：说明找到了n，可以提前break//b.确认数后，更新对应st状态st[t] = true; //c.依次再更新一轮每个点最短路径for (int j = 1; j <= n; j++)dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);//分析点①}if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) //分析点②{return -1;  //如果第n个点路径为无穷大（说明1和n是不连通的），即不存在最低路径}else {return dist[n];}
}int main()
{//n：找1~n的最短路径；m：构建m条边的关系scanf("%d%d", &n, &m);//初始化图:因为是求最短路径,故每个点初始为无限大memset(g, 0x3f, sizeof g);while (m--){int x, y, z;scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);//g[x][y]记录x→y的边长z值g[x][y]=min(g[x][y],z);   //分析点④：min处理重边情况，保留最短的一条边}//输出1~n最短路径的答案int t = Dijkstra();printf("%d\n", t);return 0;
}

对学习算法的阶段性反思总结

• 在学习本章算法时，初次接触一些算法，由于不理解与未知，我容易产生的恐惧厌学的逃避心理，如下总结一套自己的处理方式
  • （用于自己学习其他算法的框架，欢迎大家有所取舍地参考或分享自己处理方式）：
• ①先大致通过图解别人是怎么一步步处理的
• ②再对应代码,理解哪些步骤是对应哪些代码的
  • 🔺棘手事同时引发心理问题的关键时刻
  • 到这一步常常会发现很多有不明白的地方，即使前面两步觉得自己已经理解处理方式了，但具体落实到代码上，细节或巧思设计还是会产生很多"为什么这么处理?"等不解。
  • 所以也是最容易产生“我不行/算了吧/先跳过”等逃避的想法。
  • 但其实已经到了最关键的地方，切勿逃避想着休息，而应该采取“一鼓作气再而衰三而竭”的战略对策
    • 但一鼓作气的方式也容易引起因精神紧张焦虑而钻牛角尖，处理方式：
      • 措施：疑惑与不解不要揉成杂乱无章的毛线团，而是选择深吸一口气,或者喝杯温水放松一下，暂时放空思路。
      • 心理：要明白越用力反而越会缠绕成死结，放松抖几下，反而毛线团容易自己散开。拒绝自我怀疑的焦虑，谨记焦虑解决不了问题!!
• ③对于代码不理解部分，有以下几种可能
  • a.可能是一些前置知识的不足导致的==>可以先看看讨论区，容易发现别人或许也存在相同的疑虑，容易找到解答。
  • b.可能是因为对代码与思路的对应上有所偏差，理解错误导致的 ==> 对于此的处理方式，自己根据测试用例画图（因为我的情况是我比较依赖图示，脑子里没图很难理解），自己画不出图可以看看b站相关视频（大多能找到画的很好的图，甚至有动图）可以发现是不是什么细节代码对应思路的某部分理解错了？还是题意没搞清楚？；或者把正确代码放入vs下调试走一遍，看看人家正确的是怎么走的。
• ④自己写一遍代码（不能照抄，但允许写卡顿的时候，并清楚下一步思路怎么走，只是代码细节不确定的地方可以看一眼正确代码）
  • 度过了③之后，其实已经掌握了大致，能保证思路是真的理解了。
  • 但不能保证能写正确代码（即不能保证用编程语言翻译出解题思路），所以一定要亲手写一遍，会发现有很多细节其实被漏掉了（比如有的for循环从1开始有的从0开始；又如本题中的dist[n] == 0x3f3f3f3f，之前memset写习惯0x3f，也通过此对memset字节读取有了更正确的理解。）
• ⑤上手写AC后，最后可以再思考挖掘其中的拓展信息
  • a.代码中一些巧妙的设计，它是怎么在代码易懂的前提下简化代码的？
    • 如本题中的分析点⑤
  • b.对代码有了完整的了解后，根据体会是否能用人类的语言感性地、形象化地描述这个算法 ==> 利于记忆，也让算法变得鲜活有趣
    • 如对于分析点⑤：我的体悟，像推倒多米诺骨牌的第一张牌，只有dist[1]=0是我手动设置的，其余后面的都顺着我写的代码（我预先排列好的牌阵），一一倒下（一一记录更新dist数组中）
    • 又如[[1.基础算法#二维差分的例题]]中：我对差分的体悟，复刻前缀和数组同时，对于差分也是塑造、找回完整自我的过程。
    • 又如[[2.数据结构#KMP]]中：网友提供的体悟“一个人能走得多远，不在于他在顺境时能走得多快，而在于他在逆境时多久能找到曾经的自己。”
• ⑥不放心自己是否理解，就睡前回忆下大致框架
  • 以前听他人提供过这样的思路，但一直没动力，觉得费事，就是懒。但其实若是碰上真心想学会掌握清楚的知识，我发现自己也能睡前去自觉地做这样一个回顾。
  • 心态上的转变就是：怕自己这么费事好像能终于掌握七七八八的知识，唯恐它丢了。自己视若珍宝的东西总是会习惯性地、有事没事看看，确保它还在、没丢。
  • 为了一种安全感，也因为一种不安全感，所以这样的心态会一定程度地打压抗拒和犯懒的心理。
• 其他：焦虑的时候，想找人聊天解压或排解寻找建议 ==> 可以找chatGPT
  • ①chatGPT挺会安慰人的。
  • ②它说话提供的建议1.2.3…地列出来，能让我主动去分析问题。
    • 即使它给的学习方法等参考思路，比较泛泛而谈，但这问题不大。
    • 因为我的目的并不在于它提供给我多好或多正确的建议，能让我照搬照抄，而是在于通过它的理性表述，冷静下来，从而以“取舍它提供的建议”这一步作为开始，调动自己的思辨力主动去行动起来。
    • 有用的行动不仅助于推动问题的解决，也能缓解焦虑的消极心态。
  • 如此，不必担心给朋友输送负面能量，或者聊着聊着学习的魂就飘到玩乐上了，或者朋友没时间等等情况
    

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(🔺)堆优化版dijkstra迪杰斯特拉算法

• 时间复杂度 O(mlogn), n表示点数，m表示边数

• 优化版其实就是用堆，堆朴素版dijkstra进行优化。如下是时间复杂度分析：

  • ①寻找路径最短的点：
    • 在朴素dijkstra算法中，效率最低的一步是遍历找距离最小的点（O(n²)）==> 而该步目的是“在一堆树中找最短的数”，故可用数据结构中的堆解决。用堆优化后每次循环时间复杂度为O(1) ==> 故本次总计算量为n次
  • ②加入集合s：s←t==>计算量为n次
  • ③更新距离：但同时，由于采用堆的方式，所以在“用t更新其他点的距离”这步也会采用堆。而在堆当中修改一个数的时间复杂度是logn，修改m次==> 故这步计算量为mlogn
  • 故堆优化版最大计算量为mlogn

• 用堆实现的方式

  • ① 手写堆 --> 时刻保证堆中有n个数
  • ② C++库中的优先队列（一般直接用优先队列）；python中的set
    • [[章11.stack和queue#六、优先级队列priority_queue]]优先队列不支持修改任意一个元素的操作，它的修改操作是每次往队列里插入新的数
    • 优势：方便不用手写堆了；
    • 劣势：元素可能冗余，有m个（时间复杂度变成mlogm；但由于m≤n²，logm≤logn²，即logm≤2logn ==> 故logm和logn其实是同个级别，它俩时间复杂度是一样的 ==>也因此统一说堆优化版dijkstra时间复杂度为mlogn）

堆优化版dijkstra的模板

typedef pair<int, int> PII;int n;      // 点的数量
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;       // 邻接表存储所有边
int dist[N];        // 存储所有点到1号点的距离
bool st[N];     // 存储每个点的最短距离是否已确定// 求1号点到n号点的最短距离，如果不存在，则返回-1
int dijkstra()
{memset(dist, 0x3f, sizeof dist);dist[1] = 0;priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;heap.push({0, 1});      // first存储距离，second存储节点编号while (heap.size()){auto t = heap.top();heap.pop();int ver = t.second, distance = t.first;if (st[ver]) continue;st[ver] = true;for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if (dist[j] > distance + w[i]){dist[j] = distance + w[i];heap.push({dist[j], j});}}}if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;return dist[n];
}

堆优化版dijkstra的例题

• 例题：850. Dijkstra求最短路 II - AcWing题库

• （以下分析点对应序号具体标记在代码展示部分）

• 与849 Dijkstra求最短路 I - AcWing题库不同的在于：

  • ①本题的权重是非负数，比上一种多了权重为0的情况。
  • ②n，m∈[1,1.5*10^5] > n~m>稀疏图==>邻接表

• 思路：

  • ①1号点距离初始化为0（dist[1]=0），其余点初始化为无穷大
  • ②将1号点放入堆中（heap.push({0, 1});）
  • ③不断循环（直到堆空），更新最短距离。每次循环操作如下：
    • 确认数后 ==> 弹出堆顶，并标记已找到该点最短距离 ==>

• 图解

  • 举例：图示
  • h[]数组及节点w、e、ne值图示

  

• 代码分析：

  • 分析点①~②：重边的处理过程，假设1->2有权重为2和3的边，再遍历到点1的时候2号点的距离会更新两次放入堆中==>因此堆中会有很多冗余的点，但是在弹出的时候还是会弹出最小值2+x（x为之前确定的最短路径）==> 并标记st为true，所以下一次弹出3+x会continue不会向下执行。
  • 分析点②：continue若距离已经确定（已经出现过ver该点，说明这个点是冗余备份），就跳过该行以下所有步骤(不必处理该点),直接再进入下次while循环
    • 由于小根堆即使能直接找到dist最短的点，但附带的不足是会产生冗余点，所以仍需st标志状态
    • 进一步思考continue的意义:
      • 正因为dj算法保证了先走到的永远是dist最短的==>即它的目的就是保证先走出图示中红色的路线
      • 为什么continue?
        • 因为1 3 12和2 3 9即使都比2 4 3更早存入小根堆中,但由于一直走小根堆里的top一直先走红色的路(即4 3 4虽然晚到,但它dist小,所以提前先走它),前俩者就一直被留在堆里,没办法走.
        • 等到轮到它俩的时候,4 3 4这条最短的路已经走到3号节点了 ==> 3号节点最短路径确定,st[3]=true ==> continue能保护在轮到1 3 12和2 3 9它俩走的时候,它们也没办法影响dist[3]了,因为3号节点已经被固定了
        • 个人体悟:只要优势足够大,后来者依旧拥有优先的特权.-- 优先队列模拟实现小根堆
  • 分析点③：依次插入距离和节点编号。顺序不能倒，pair排序时是先根据first，再根据second。
    • first：小根堆是根据距离来排的 ==> 所以first要先存距离
    • second：从堆中拿出来的时候要知道知道这个点是哪个点，从而更新邻接点 ==> 故第二个变量要存点编号
  • 分析点④：本题由于节点数量n和边数m的范围相同，故可以写作int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;，但若n和m不同的话，要用链式数组处理，正确应写作int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
  • 分析点⑤：小根堆优先队列规定写法格式。
    • priority_queue默认大根堆，其后加vector<类型>，greater<类型>可以设置成小根堆
    • 之前要求写法greater<PII> >，即需要在greater<PII>后加空格，避免被识别作位运算右移符号，但C++11已修改该问题。
  • 分析点⑥：此项for循环用于更新ver所指向的节点距离，更新后入堆（以待下轮堆中确定dist最短的数）
    • 为什么只有ver指向的节点更新最短路径呢？==> 因为只有被ver指向的才有对应的w[i]，才可能有更短的距离
    • 而这些节点都被邻接表记录起来，不必像上题邻接矩阵这步从头一一循环。
      • 也正因为邻接表记录起来，能在一个链里依次找到所有ver指向的节点，其中也包含着重边的冗余项==>dist[data] > dist[ver] + w[i]就能保证dist只记录冗余项中最短的权重边（长的权重边进入不了if语句，无法push到heap中）。

• 具体代码部分

//y总代码参考及自我理解注释
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>//堆的头文件using namespace std;typedef pair<int, int> PII;//堆里存储距离和节点编号const int N = 1e6 + 10;//或1.5*1e5 + 10也可int n, m;//节点数量和边数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;//分析点④；邻接矩阵存储稀疏图；w[]存权重
int dist[N];//存储距离
bool st[N];//存储状态(true说明该点最短路径已经确定)void add(int a, int b, int c)//分析点①a→b，权重c
{e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}int dijkstra()
{memset(dist, 0x3f, sizeof dist);//距离初始化为无穷大dist[1] = 0;//采用小根堆优先队列写法维护所有距离priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;//分析点⑤heap.push({0, 1});//分析点③：依次插入距离和节点编号；把1号点放进去再更新其他点（顺序不可颠倒，因为pair是按first排序的）while (heap.size())//队列不空{//每次取距离源点最近的点auto t = heap.top();heap.pop();//distance:源点距离ver的距离；ver:节点编号int  distance = t.first,ver = t.second;if (st[ver]) continue;//分析点②st[ver] = true;//分析点⑥：更新ver所指向的节点距离，并存入堆for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i]){//j存储编号int data = e[i];if (dist[data] > dist[ver] + w[i]){dist[data] = dist[ver] + w[i];heap.push({dist[data], data});//距离变小，则入堆}}}if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;return dist[n];
}int main()
{memset(h, -1, sizeof h);scanf("%d%d", &n, &m);while (m -- ){int a, b, c;scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);add(a, b, c);}int t=dijkstra();printf("%d\n",t);return 0;
}