数据结构--AVL树(平衡二叉树)

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一、AVL树是什么？（含义、性质）

1.AVL树的概念

AVL树是最先发明的自平衡二叉树，AVL树是⼀颗高度平衡二叉搜索树，通过控制高度差去控制平衡。为什么叫它AVL树？AVL 是大学教授 G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis 名称的缩写，他们提出了平衡二叉树的概念，为了纪念他们，将平衡二叉树称为 AVL树。在介绍AVL树之前，我们先介绍一下二叉搜索树的性质。

二叉搜索树或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的⼆叉树:
• 若它的左⼦树不为空，则左⼦树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值
• 若它的右⼦树不为空，则右⼦树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值
• 它的左右⼦树也分别为⼆叉搜索树

如图所示，这是一颗二叉搜索树，特点就是左子树上所有结点均小于等于根节点的值，而右子树上所有结点均大于等于根节点的值。

2.AVL树的性质

AVL是⼀颗空树或具备下列性质的⼆叉搜索树：

它的左右子树都是AVL树
左右子树的高度差的绝对值不超过1。
树高为O(log2N)

2.1 平衡因子（Balance Factor，简写为bf）

平衡因子（bf）：结点的右子树的深度减去左子树的深度。

即： 结点的平衡因子 = 右子树的高度 - 左子树的高度 。

在 AVL树中，所有节点的平衡因子都必须满足： -1<=bf<=1;

如图所示，以结点10和根节点8为例，10：bf=1-0=1，8：bf=2-3=-1

请记住：我们通过平衡因子来控制树的平衡！

2.2 区分是否是AVL树

下面是AVL树和非AVL树对比的例图：右边的树虽然是一个二叉搜索树但很明显不符合AVL树的性质2 即左右子树的高度差的绝对值不超过1，所以右边的树并不是AVL树,而左边符合AVL树的性质。

二、AVL的使用场景以及查找效率

1.AVL树的作用

我们知道，对于一般的二叉搜索树（Binary Search Tree），其期望高度（即为一棵平衡树时）为log2n，其各操作的时间复杂度（O(log2n)）同时也由此而决定。但是，在某些极端的情况下（如在插入的序列是有序的时），二叉搜索树将退化成近似链或链，此时，其操作的时间复杂度将退化成线性的，即O(n)。我们可以通过随机化建立二叉搜索树来尽量的避免这种情况，但是在进行了多次的操作之后，由于在删除时，我们总是选择将待删除节点的后继代替它本身，这样就会造成总是右边的节点数目减少，以至于树向左偏沉。这同时也会造成树的平衡性受到破坏，提高它的操作的时间复杂度。

例如：我们按顺序将一组数据 1,2,3,4,5,6 分别插入到一颗空二叉查找树和AVL树中，插入的结果如下图：

由上图可知，同样的结点，由于插入方式不同导致树的高度也有所不同。特别是在带插入结点个数很多且正序的情况下，会导致二叉树的高度是O(N)，而AVL树就不会出现这种情况，树的高度始终是O(log2N)。高度越小，对树的一些基本操作的时间复杂度就会越小。这也就是我们引入AVL树的原因。

2.与二分查找的区别

当我们在内存中存储和搜索数据,用AVL树就能完美满足我们的需求，它搜索速度很快，效率也很高，因为它是一个平衡二叉搜索树，高度为O(log2N) ，查找效率也为O(log2N) ，AVL树增删查改时间复杂度为：O(N)

虽然⼆分查找也可以实现 O(log2N) 级别的查找效率，但是二分查找有两大缺陷：1. 需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且数据要有序。2. 插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插入和删除数据⼀般需要挪动数据。

这里也就体现出了平衡⼆叉搜索树的价值。

三、如何实现一个AVL树（底层代码逻辑）

1.AVL树的结构

我们首先定义一个AVL结点的结构体和AVL树的类，代码如下

template<class K,class V>
struct AVLTreeNode{pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _parent;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;int _bf; //平衡因子AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv):_kv(kv),_parent(nullptr),_left(nullptr),_right(nullptr),_bf(0){}
};template<class K,class V>
class  AVLTree {typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public://.......
private:Node* _root = nullptr;
};

2. AVL树的插入

2.1插入的过程

根据值的大小（二叉搜索树的规则）寻找空结点的位置找到位置后开辟新空间
新增结点以后，只会影响祖先结点的⾼度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因⼦，所以更新从新增结点->根结点路径上的平衡因⼦，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停⽌了，具体情况我们下⾯再详细分析。
更新平衡因⼦过程中没有出现问题，则插⼊结束
更新平衡因⼦过程中出现不平衡，对不平衡⼦树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了⼦树的⾼度，不会再影响上⼀层，所以插⼊结束。

2.2.平衡因子更新

更新原则：
• 平衡因⼦ = 右子树高度-左子树高度
• 只有⼦树⾼度变化才会影响当前结点平衡因⼦。
• 插⼊结点，会增加⾼度，所以新增结点在parent的右⼦树，parent的平衡因⼦++，新增结点在parent的左⼦树，parent平衡因⼦--
• parent所在⼦树的⾼度是否变化决定了是否会继续往上更新

更新停止条件：（三种情况）
• 更新后parent的平衡因子等于0，更新中parent的平衡因⼦变化为-1->0 或者 1->0，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的结点插⼊在低的那边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会影响parent的父亲结点的平衡因子，更新结束。
• 更新后parent的平衡因子等于1 或 -1，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为0->1 或者 0->-1，说明更新前parent⼦树两边⼀样⾼，新增的插⼊结点后，parent所在的⼦树⼀边⾼⼀边低，parent所在的⼦树符合平衡要求，但是⾼度增加了1，会影响parent的父亲结点的平衡因子，所以要继续向上更新。
• 更新后parent的平衡因子等于2 或 -2，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为1->2 或者 -1->-2，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的插⼊结点在⾼的那边，parent所在的⼦树⾼的那边更⾼了，破坏了平衡，parent所在的⼦树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的⽬标有两个：1、把parent⼦树旋转平衡。2、降低parent⼦树的⾼度，恢复到插⼊结点以前的⾼度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插⼊结束。

下面给出插入过程的部分代码，旋转部分在第三小点着重讲解

bool Insert(const pair<K, V>& kv) {//树为空 直接插入if (!_root) {_root = new Node(kv); //生成新节点return true;}//树不为空//先找到插入的空位置Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur) {if (cur->_kv.first < kv.first) {parent = cur;cur = cur->_right; //往大结点移动;}else if (cur->_kv.first > kv.first) {parent = cur;cur = cur->_left; //往小结点移动}else {return false; //此处不考虑相等的情况}}//找到位置后 开辟新空间cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){ //父小 放在父节点的右边parent->_right = cur;}else{ //父大 放在父节点的左边parent->_left = cur;}//链接父亲cur->_parent = parent;//控制平衡while (parent) {if (parent->_left == cur) {parent->_bf--;}else if (parent->_right == cur) {parent->_bf++;}else assert("balance false");if (parent->_bf == 0) {break; //此时已经达到平衡 不影响上面父节点}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) {//0-> 1 |-1 需要继续向上cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2) {//此时已经不符合平衡二叉搜索树的条件 需要旋转//....(旋转逻辑代码)break;}else {assert("balance false!");}}return true;
}

3.AVL树的旋转

一边子树的高度过高会导致二叉搜索树的不平衡，所以我们需要旋转来降低树高度

旋转的原则
1. 保持搜索树的规则
2. 让旋转的树从不满⾜变平衡，其次降低旋转树的⾼度
旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。

3.1右单旋

当前结点cur(5)为左子树高平衡因子为-1且parent(10)的平衡因子为-2时，需要右单旋来达到平衡.

以parent为旋转点将sublr变为parent(10)的左子树 parent(10)变为cur(5)的右子树 此时平衡

3.2左单旋

当前结点cur(15)右子树高平衡因子为1且parent(10)的平衡因子为2时，需要左单旋来达到平衡.

以parent为旋转点将subrl变为parent(10)的右子树 parent(10)变为cur(15)的左子树 此时平衡

3.3左右双旋

当为以下情况结点cur右子树高平衡因子为1且parent的平衡因子为-2时，需要左右双旋

先以subl为旋转点左单旋再以parent为旋转点右单旋

3.4右左双旋

当为以下情况结点cur左子树高平衡因子为-1且parent的平衡因子为2时，需要右左双旋

先以subr为旋转点右单旋再以parent为旋转点左单旋

上述过程最好在草稿纸上推演一边，一般情况很多，这里只给出抽象情况，感兴趣的可以自己分析

总结

在插入的过程中，会出现一下四种情况破坏AVL树的特性，我们可以采取如下相应的旋转。

插入位置	状态	操作
在结点T的左结点（L）的左子树（L）上做了插入元素	左左型	右旋
在结点T的左结点（L）的右子树（R）上做了插入元素	左右型	左右旋
在结点T的右结点（R）的右子树（R）上做了插入元素	右右型	左旋
在结点T的右结点（R）的左子树（L）上做了插入元素	右左型	右左旋

注意：
T 表示平衡因子(bf)绝对值大于1的节点。

不知道大家发现规律没，这个规则还是挺好记，下面来个图示：

插入代码最终完整版

bool Insert(const pair<K, V>& kv) {//树为空 直接插入if (!_root) {_root = new Node(kv); //生成新节点return true;}//树不为空//先找到插入的空位置Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur) {if (cur->_kv.first < kv.first) {parent = cur;cur = cur->_right; //往大结点移动;}else if (cur->_kv.first > kv.first) {parent = cur;cur = cur->_left; //往小结点移动}else {return false; //此处不考虑相等的情况}}//找到位置后 开辟新空间cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){ //父小 放在父节点的右边parent->_right = cur;}else{ //父大 放在父节点的左边parent->_left = cur;}//链接父亲cur->_parent = parent;//控制平衡while (parent) {if (parent->_left == cur) {parent->_bf--;}else if (parent->_right == cur) {parent->_bf++;}else assert("balance false");if (parent->_bf == 0) {break; //此时已经达到平衡 不影响上面父节点}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) {//0-> 1 |-1 需要继续向上cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2) {//此时已经不符合平衡二叉搜索树的条件 需要旋转if (parent->_bf == -2&&cur->_bf== -1) { //最左侧树不平衡 需要右旋RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) { //最右侧树不平衡 需要左旋RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) { //需要左右旋RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) { //需要右左旋RotateRL(parent);}else {assert("false");}break;}else {assert("balance false!");}}return true;
}void RotateR(Node* parent) {Node* pp = parent->_parent;Node* subl = parent->_left;Node* sublr = subl->_right;//链接过程 发生变化的可能有6个点parent->_left = sublr;parent->_parent = subl;subl->_right = parent;if (sublr) { //如果sublr存在 那么父指向psublr->_parent = parent;}//改变pp以及subl的父指向if (pp) {if (pp->_left == parent) {pp->_left = subl;}else {pp->_right = subl;}subl->_parent = pp;}else { //pp为空 parent为根结点 此时subl为新根节点_root = subl;subl->_parent = nullptr;}parent->_bf = subl->_bf = 0; //旋转后 已经平衡 改变平衡因子
}
void RotateL(Node* parent) {Node* pp = parent->_parent;Node* subr = parent->_right;Node* subrl = subr->_left;parent->_right = subrl;parent->_parent = subr;subr->_left = parent;if (subrl) { //如果subrl存在 那么父指向psubrl->_parent = parent;}//改变pp以及subr的父指向if (pp) {if (pp->_left == parent) {pp->_left = subr;}else pp->_right = subr;subr->_parent = pp;}else { //pp为空 parent为根结点 此时subr为新根节点_root = subr;subr->_parent = nullptr;}parent->_bf = subr->_bf = 0; //旋转后 已经平衡 改变平衡因子
}
void RotateLR(Node* parent) {Node* subl = parent->_left;Node* sublr = subl->_right;int bf = sublr->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == 0) {subl->_bf = 0;parent->_bf = 0;sublr->_bf = 0;}else if (bf == -1) {subl->_bf = 0;parent->_bf = 1;sublr->_bf = 0;}else if (bf == 1) {subl->_bf = -1;parent->_bf = 0;sublr->_bf = 0;}else {assert("RotateLR false");}
}
void RotateRL(Node* parent) {Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 0){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == 1){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert("RotateRL false");}
}

4.AVL树的查找

以⼆叉搜索树逻辑实现即可，搜索效率为 O(log2N)

Node* Find(const K& key) {/*if (!_root) {return false;}*/Node* cur = _root; //树为空不进入循环直接返回Falsewhile (cur) {if (cur->_kv.first < key) {//此时值小 往大的右走cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > key) {//此时值大 往左cur = cur->_left;}else {return cur;}}return nullptr;
}

5.AVL树平衡检测

int _Height(Node* root)
{if (root == nullptr)return 0;int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}
bool _IsBalanceTree(Node* root)
{// 空树也是AVL树if (nullptr == root)return true;// 计算pRoot结点的平衡因⼦：即pRoot左右⼦树的高度差int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);int diff = rightHeight - leftHeight;// 如果计算出的平衡因⼦与pRoot的平衡因子不相等，或者// pRoot平衡因⼦的绝对值超过1，则⼀定不是AVL树if (abs(diff) >= 2){cout << root->_kv.first << "高度差异常" << endl;return false;}if (root->_bf != diff){cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;return false;}// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树⼀定是AVL树return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
}