概率论中交并集的公式

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对于相容事件且独立事件

连续掷骰子2次
A: 掷一次骰子点数为1
B: 掷一次骰子点数为2

1. 同时出现的概率,即 P ( A ∩ B ) P(A\cap B) P(AB):

按照公式计算: P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ) P(A\cap B)=P(A) \cdot P(B) P(AB)=P(A)P(B)
P ( A ) = 1 6 P(A) = \frac16 P(A)=61
P ( B ) = 1 6 P(B) = \frac16 P(B)=61
P ( A ∩ B ) = 1 36 P(A\cap B) = \frac1{36} P(AB)=361

2. 出现任意一个的概率,即 P ( A ∪ B ) P(A\cup B) P(AB):

法1: 按照公式计算: P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) P(A\cup B)=P(A) + P(B) - P(A\cap B) P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)
P ( A ∪ B ) = 1 3 − 1 36 = 11 36 P(A\cup B) = \frac13 - \frac 1{36} = \frac {11}{36} P(AB)=31361=3611
法2: 对于独立事件:任意一个出现的概率即为对立事件同时出现的概率
即: P ( A ∪ B ) = 1 − P ( A c ) × P ( B c ) P(A\cup B) = 1- P(A^c)\times P(B^c) P(AB)=1P(Ac)×P(Bc)
故而: P ( A ∪ B ) = 1 − 5 6 × 5 6 = 11 36 P(A\cup B) =1 - \frac56 \times \frac 56 = \frac {11}{36} P(AB)=165×65=3611

对于相容事件且依赖事件

掷骰子1次
A.骰子点数为偶数
B.骰子点数大于等于4. 即456的可能

1. 同时出现的概率,即 P ( A ∩ B ) P(A\cap B) P(AB):

P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ∣ A ) 或 P ( A ∣ B ) ⋅ P ( B ) P(A\cap B)= P(A) \cdot P(B∣A)或 P(A∣B) \cdot P(B) P(AB)=P(A)P(BA)P(AB)P(B)
P ( A ∣ B ) P(A∣B) P(AB):在事件 B 已经发生的条件下,事件 A 发生的条件概率。
P ( B ∣ A ) P(B∣A) P(BA):在事件 A 已经发生的条件下,事件 B 发生的条件概率。

P ( A ) P(A) P(A)即为偶数的可能,即{1,2,3,4,5,6}中取到{2,4,6},即 P ( A ) = 1 2 P(A)= \frac 12 P(A)=21
P ( B ∣ A ) P(B|A) P(BA)即在A已经发生的条件下,发生B的概率,即{2,4,6}中取到{4,6},即 P ( B ∣ A ) = 2 3 P(B|A)=\frac23 P(BA)=32
P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ∣ A ) = 1 2 × 2 3 = 1 3 P(A\cap B)=P(A)P(B∣A)=\frac12\times \frac 23 =\frac 13 P(AB)=P(A)P(BA)=21×32=31
可见:

特殊的,对于独立事件

若事件 ( A ) 和 ( B ) 独立,意味着 ( A ) 的发生不影响 ( B ) 的发生(反之亦然)。在这种情况下,条件概率满足:
P ( B ∣ A ) = P ( B ) 且 P ( A ∣ B ) = P ( A ) P(B \mid A) = P(B) \quad \text{且} \quad P(A \mid B) = P(A) P(BA)=P(B)P(AB)=P(A)
于是:
P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ) P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) P(AB)=P(A)P(B)

2. 出现任意一个的概率,即 P ( A ∪ B ) P(A\cup B) P(AB):

即{1,2,3,4,5,6}中取到{2,4,5,6}的概率
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) = 1 2 + 1 2 − 1 3 = 2 3 P(A\cup B)=P(A) + P(B) - P(A\cap B)=\frac12+\frac12-\frac13=\frac23 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=21+2131=32

总结公式

交集(Intersection)公式总结

一般情况

两个事件 A A A B B B 的交集 P ( A ∩ B ) P(A \cap B) P(AB) 的公式为:

P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ∣ A ) = P ( B ) ⋅ P ( A ∣ B ) P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) = P(B) \cdot P(A \mid B) P(AB)=P(A)P(BA)=P(B)P(AB)

特殊情况
  1. 独立事件
    如果 A A A B B B 是独立事件,则:
    P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ) P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) P(AB)=P(A)P(B)

并集(Union)公式总结

一般情况

两个事件 A A A B B B 的并集 P ( A ∪ B ) P(A \cup B) P(AB) 的公式为:

P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)

特殊情况
  1. 互斥事件
    如果 A A A B B B 是互斥事件(即它们不可能同时发生),则:
    P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) P(A \cup B) = P(A) + P(B) P(AB)=P(A)+P(B)

  2. 独立事件
    如果 A A A B B B 是独立事件,则交集的概率为 P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ) P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) P(AB)=P(A)P(B),因此:
    P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ) ⋅ P ( B ) P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B) P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B)

  3. 包含关系
    如果事件 A A A 完全包含于事件 B B B(即 A ⊆ B A \subseteq B AB),则:
    P ( A ∪ B ) = P ( B ) P(A \cup B) = P(B) P(AB)=P(B)

  4. 相等事件
    如果 A = B A = B A=B,则:
    P ( A ∪ B ) = P ( A ) = P ( B ) P(A \cup B) = P(A) = P(B) P(AB)=P(A)=P(B)

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