C/C++ 数据结构与算法【哈夫曼树】哈夫曼树详细解析【日常学习，考研必备】带图+详细代码

哈夫曼树（最优二叉树）

1）基础概念

**路径：**从树中一个结点到另一个结点之间的分支构成这两个结点间的路径。

**结点的路径长度：**两结点间路径上的分支数。

在这里插入图片描述

**树的路径长度：**从树根到每一个结点的路径长度之和。记作：TL。

在这里插入图片描述

结点数目相同的二叉树中，完全二叉树是路径长度最短的二叉树。

**权：**将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。

**结点的带权路径长度：**从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。

**树的带权路径长度：**树中所有叶子结点的带权路径长度之和。

在这里插入图片描述

2）构造哈夫曼树

在这里插入图片描述

顺序存储结构——一维结构数组

（1）定义结构

在这里插入图片描述

typedef struct {int weight; int parent, lch, rch;
}HTNode, * HuffmanTree;HuffmanTree H;

（2）步骤：

在这里插入图片描述

初始化HT [1…2n-1]：lch = rch = parent = 0；
输入初始几个叶子结点：置HT[1…n]的 weight 值；
进行以下n-1次合并，依次产生n-1个结点HT[i]，i = n + 1…2n-1：
- 在HT[1…i-1]中选两个未被选过(从parent ==0 的结点中选)的weight最小的两个结点 HT[S1] 和 HT[S2]，s1、s2为两个最小结点下标；
- 修改 HT[s1] 和 HT[s2] 的parent值：HT[s1].parent = i; HT[s2] .parent = i;
- 修改新产生的HT[i]：

HT[i].weight = HT[s1].weight + HT[s2].weight;
HTli].Ich = s1; 
HT[i].rch = s2;

void CreatHuffmanTree(HuffmanTree& HT, int n) { //构造哈夫曼树--哈夫曼算法if (n <= 1) return;int m = 2 * n - 1; // 数组共2n-1个元素HT = new HTNode[m + 1]; // 动态分配内存，0号单元未用，HT[m]表示根结点// 初始化2n-1个元素的lch、rch、parent为0for (int i = 1; i <= m; ++i) {HT[i].lch = HT[i].rch = HT[i].parent = 0;}// 输入前n个元素的weight值cout << "请输入" << n << "个字符的频率：" << endl;for (int i = 1; i <= n; ++i) {cin >> HT[i].weight;}// 构建哈夫曼树for (int i = n + 1; i <= m; i++) {int s1, s2;Select(HT, i - 1, s1, s2);HT[s1].parent = i;HT[s2].parent = i;HT[i].lch = s1;HT[i].rch = s2;HT[i].weight = HT[s1].weight + HT[s2].weight;}
}

（3）总代码：

权值为整数：

#include <iostream>
#include <limits.h>using namespace std;// 定义哈夫曼树节点结构
typedef struct {int weight;int parent, lch, rch;
} HTNode;typedef HTNode* HuffmanTree;// 选择两个双亲域为0且权值最小的结点
void Select(const HTNode* HT, int i, int& s1, int& s2) {s1 = s2 = -1;int min1 = INT_MAX, min2 = INT_MAX;for (int j = 1; j <= i; ++j) {if (HT[j].parent == 0 && HT[j].weight < min1) {min2 = min1;s2 = s1;min1 = HT[j].weight;s1 = j;}else if (HT[j].parent == 0 && HT[j].weight < min2) {min2 = HT[j].weight;s2 = j;}}
}void CreatHuffmanTree(HuffmanTree& HT, int n) { //构造哈夫曼树--哈夫曼算法if (n <= 1) return;int m = 2 * n - 1; // 数组共2n-1个元素HT = new HTNode[m + 1]; // 动态分配内存，0号单元未用，HT[m]表示根结点// 初始化2n-1个元素的lch、rch、parent为0for (int i = 1; i <= m; ++i) {HT[i].lch = HT[i].rch = HT[i].parent = 0;}// 输入前n个元素的weight值cout << "请输入" << n << "个字符的频率：" << endl;for (int i = 1; i <= n; ++i) {cin >> HT[i].weight;}// 构建哈夫曼树for (int i = n + 1; i <= m; i++) {int s1, s2;Select(HT, i - 1, s1, s2);HT[s1].parent = i;HT[s2].parent = i;HT[i].lch = s1;HT[i].rch = s2;HT[i].weight = HT[s1].weight + HT[s2].weight;}
}int main() {int n;cout << "请输入叶子节点的数量：";cin >> n;HuffmanTree HT;CreatHuffmanTree(HT, n);// 打印哈夫曼树（示例）cout << "哈夫曼树构造完成，打印结果如下：" << endl;for (int i = 1; i < 2 * n; ++i) {cout << "Node " << i << ": Weight=" << HT[i].weight<< ", Parent=" << HT[i].parent<< ", Left Child=" << HT[i].lch<< ", Right Child=" << HT[i].rch << endl;}delete[] HT; // 释放动态分配的内存return 0;
}

权值为浮点数

#include <iostream>
#include <limits.h> // 如果不再使用 INT_MAX，可以不需要这个头文件using namespace std;// 定义哈夫曼树节点结构，将 weight 改为 double 类型
typedef struct {double weight;  // 权值改为 double 类型int parent, lch, rch;
} HTNode;typedef HTNode* HuffmanTree;// 选择两个双亲域为0且权值最小的结点
void Select(const HTNode* HT, int i, int& s1, int& s2) {s1 = s2 = -1;double min1 = DBL_MAX, min2 = DBL_MAX; // 使用 DBL_MAX 作为最大值初始化for (int j = 1; j <= i; ++j) {if (HT[j].parent == 0 && HT[j].weight < min1) {min2 = min1;s2 = s1;min1 = HT[j].weight;s1 = j;}else if (HT[j].parent == 0 && HT[j].weight < min2) {min2 = HT[j].weight;s2 = j;}}
}void CreatHuffmanTree(HuffmanTree& HT, int n) { //构造哈夫曼树--哈夫曼算法if (n <= 1) return;int m = 2 * n - 1; // 数组共2n-1个元素HT = new HTNode[m + 1]; // 动态分配内存，0号单元未用，HT[m]表示根结点// 初始化2n-1个元素的lch、rch、parent为0for (int i = 1; i <= m; ++i) {HT[i].lch = HT[i].rch = HT[i].parent = 0;HT[i].weight = 0.0; // 初始化 weight 为 0.0}// 输入前n个元素的weight值cout << "请输入" << n << "个字符的小数频率：" << endl;for (int i = 1; i <= n; ++i) {cin >> HT[i].weight;}// 构建哈夫曼树for (int i = n + 1; i <= m; i++) {int s1, s2;Select(HT, i - 1, s1, s2);HT[s1].parent = i;HT[s2].parent = i;HT[i].lch = s1;HT[i].rch = s2;HT[i].weight = HT[s1].weight + HT[s2].weight;}
}int main() {int n;cout << "请输入叶子节点的数量：";cin >> n;HuffmanTree HT;CreatHuffmanTree(HT, n);// 打印哈夫曼树（示例）cout << "哈夫曼树构造完成，打印结果如下：" << endl;for (int i = 1; i <= 2 * n - 1; ++i) { // 注意这里应该是 2*n-1 而不是 2*ncout << "Node " << i << ": Weight=" << HT[i].weight<< ", Parent=" << HT[i].parent<< ", Left Child=" << HT[i].lch<< ", Right Child=" << HT[i].rch << endl;}delete[] HT; // 释放动态分配的内存return 0;
}

（4）运行结果：

在这里插入图片描述

3）哈夫曼编码

在远程通讯中，要将待传字符转换成由二进制的字符串：
在这里插入图片描述

若将编码设计为长度不等的二进制编码，即让待传字符串中出现次数较多的字符采用尽可能短的编码，则转换的二进制字符串便可能减少。
在这里插入图片描述

问题1 ：什么样的前缀码能使得电文总长最短？

——哈夫曼编码

方法:

1、统计字符集中每个字符在电文中出现的平均概率（概率越大要求编码越短）。

2、利用哈夫曼树的特点：权越大的叶子离根越近；将每个字符的概率值作为权值，构造哈夫曼树。则概率越大的结点，路径越短。

3、在哈夫曼树的每个分支上标上0或1：

结点的左分支标0，右分支桥 1。
把从根到每个吐子的路径上的标号连接起来，作为该叶子代表的字符的编码。

在这里插入图片描述

问题2 ：为什么哈夫曼编码能够保证是前缀编码?

因为没有一片树叶是另一片树叶的祖先，所以每个叶结点的编码就不可能是其它叶结点编码的前缀。

问题 3 ：为什么哈夫曼编码能够保证字符编码总长最短?

因为哈夫曼树的带权路径长度最短，故字符编码的总长最短。

性质1 哈夫曼编码是前缀码
性质2 哈夫曼编码是最优前缀码

算法实现：

// 从叶子到根逆向求每个字符的哈夫曼编码，存储在编码表HC中
void CreatHuffmanCode(const HuffmanTree& HT, HuffmanCode& HC, int n) {HC = new char*[n + 1]; // 分配n个字符编码的头指针数组char* cd = new char[n]; // 分配临时存放编码的动态数组空间cd[n - 1] = '\0'; // 编码结束符for (int i = 1; i <= n; ++i) {int start = n - 1;int c = i;int f = HT[i].parent;// 从叶子结点开始向上回溯，直到根结点while (f != 0) {--start;if (HT[f].lch == c)cd[start] = '0'; // 结点c是f的左孩子，则生成代码0elsecd[start] = '1'; // 结点c是f的右孩子，则生成代码1c = f;f = HT[f].parent;}// 计算编码长度并分配适当的空间int codeLength = n - start;HC[i] = new char[codeLength];strncpy(HC[i], &cd[start], codeLength);HC[i][codeLength - 1] = '\0'; // 确保字符串以空字符终止}delete[] cd; // 释放临时空间
}

strncpy(HC[i], &cd[start], codeLength);语句在C++中确实可以用于复制字符数组，但它有一些潜在的问题和局限性。特别是当你使用strncpy时，如果目标缓冲区没有足够的空间来包含源字符串加上终止空字符（\0），它不会自动添加终止空字符，这可能会导致后续操作出现问题。

此外，在现代C++中，更推荐使用std::string来处理字符串，因为它们更安全、更方便，并且可以避免手动管理内存的复杂性和风险。

// 从叶子到根逆向求每个字符的哈夫曼编码，存储在编码表HC中
void CreatHuffmanCode(const HuffmanTree& HT, HuffmanCode& HC, int n) {HC.resize(n + 1); // 分配n个字符编码的空间for (int i = 1; i <= n; ++i) {string code = "";int c = i;int f = HT[i].parent;// 从叶子结点开始向上回溯，直到根结点while (f != 0) {if (HT[f].lch == c)code = '0' + code; // 结点c是f的左孩子，则生成代码0elsecode = '1' + code; // 结点c是f的右孩子，则生成代码1c = f;f = HT[f].parent;}HC[i] = code;}
}

总代码实现：

在这里插入图片描述

#include <iostream>
#include <cstring> // 用于 strcpy 和 strlen
#include <limits>  // 用于 std::numeric_limitsusing namespace std;// 定义哈夫曼树节点结构
typedef struct HTNode {double weight; // 权重改为 double 类型int parent, lch, rch;
} HTNode;typedef HTNode* HuffmanTree;// 定义哈夫曼编码结构
typedef char** HuffmanCode;// 选择两个双亲域为0且权值最小的结点
void Select(const HTNode* HT, int i, int& s1, int& s2) {s1 = s2 = -1;double min1 = numeric_limits<double>::max(), min2 = numeric_limits<double>::max();for (int j = 1; j <= i; ++j) {if (HT[j].parent == 0 && HT[j].weight < min1) {min2 = min1;s2 = s1;min1 = HT[j].weight;s1 = j;} else if (HT[j].parent == 0 && HT[j].weight < min2) {min2 = HT[j].weight;s2 = j;}}
}// 构造哈夫曼树--哈夫曼算法
void CreatHuffmanTree(HuffmanTree &HT, int n) {if (n <= 1) return;int m = 2 * n - 1; // 数组共2n-1个元素HT = new HTNode[m + 1]; // 动态分配内存，0号单元未用，HT[m]表示根结点// 初始化2n-1个元素的lch、rch、parent为0for (int i = 1; i <= m; ++i) {HT[i].lch = HT[i].rch = HT[i].parent = 0;HT[i].weight = 0.0; // 初始化权重为 0.0}// 输入前n个元素的weight值cout << "请输入" << n << "个字符的频率（浮点数）：" << endl;for (int i = 1; i <= n; ++i) {cin >> HT[i].weight;}// 构建哈夫曼树for (int i = n + 1; i <= m; i++) {int s1, s2;Select(HT, i - 1, s1, s2);HT[s1].parent = i;HT[s2].parent = i;HT[i].lch = s1;HT[i].rch = s2;HT[i].weight = HT[s1].weight + HT[s2].weight;}
}// 从叶子到根逆向求每个字符的哈夫曼编码，存储在编码表HC中
void CreatHuffmanCode(HuffmanTree HT, HuffmanCode& HC, int n) {HC = new char*[n + 1]; // 分配n个字符编码的头指针数组char* cd = new char[n]; // 分配临时存放编码的动态数组空间cd[n - 1] = '\0'; // 编码结束符for (int i = 1; i <= n; ++i) {int start = n - 1;int c = i;int f = HT[i].parent;// 从叶子结点开始向上回溯，直到根结点while (f != 0) {--start;if (HT[f].lch == c)cd[start] = '0'; // 结点c是f的左孩子，则生成代码0elsecd[start] = '1'; // 结点c是f的右孩子，则生成代码1c = f;f = HT[f].parent;}// 计算编码长度并分配适当的空间int codeLength = n - start;HC[i] = new char[codeLength];strncpy(HC[i], &cd[start], codeLength);HC[i][codeLength - 1] = '\0'; // 确保字符串以空字符终止}delete[] cd; // 释放临时空间
}// 测试函数
int main() {int n;cout << "请输入叶子节点的数量：";cin >> n;HuffmanTree HT;CreatHuffmanTree(HT, n);HuffmanCode HC;CreatHuffmanCode(HT, HC, n);// 打印哈夫曼编码cout << "哈夫曼编码如下：" << endl;for (int i = 1; i <= n; ++i) {cout << "Character " << i << ": " << HC[i] << endl;}// 清理资源for (int i = 1; i <= n; ++i) {delete[] HC[i];}delete[] HC;delete[] HT;return 0;
}

改进后的代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <limits>using namespace std;// 定义哈夫曼树节点结构
typedef struct HTNode {double weight; // 权重改为 double 类型int parent, lch, rch;
} HTNode;typedef HTNode* HuffmanTree;// 选择两个双亲域为0且权值最小的结点
void Select(const vector<HTNode>& HT, int i, int& s1, int& s2) {s1 = s2 = -1;double min1 = numeric_limits<double>::max(), min2 = numeric_limits<double>::max();for (int j = 1; j <= i; ++j) {if (HT[j].parent == 0 && HT[j].weight < min1) {min2 = min1;s2 = s1;min1 = HT[j].weight;s1 = j;} else if (HT[j].parent == 0 && HT[j].weight < min2) {min2 = HT[j].weight;s2 = j;}}
}// 构造哈夫曼树--哈夫曼算法
void CreatHuffmanTree(vector<HTNode>& HT, int n) {if (n <= 1) return;int m = 2 * n - 1; // 数组共2n-1个元素// 初始化2n-1个元素的lch、rch、parent为0，权重为0.0HT.resize(m + 1);for (int i = 1; i <= m; ++i) {HT[i] = {0.0, 0, 0, 0};}// 输入前n个元素的weight值cout << "请输入" << n << "个字符的频率（浮点数）：" << endl;for (int i = 1; i <= n; ++i) {cin >> HT[i].weight;}// 构建哈夫曼树for (int i = n + 1; i <= m; i++) {int s1, s2;Select(HT, i - 1, s1, s2);HT[s1].parent = i;HT[s2].parent = i;HT[i].lch = s1;HT[i].rch = s2;HT[i].weight = HT[s1].weight + HT[s2].weight;}
}// 从叶子到根逆向求每个字符的哈夫曼编码，存储在编码表HC中
void CreatHuffmanCode(const vector<HTNode>& HT, vector<string>& HC, int n) {HC.resize(n + 1); // 分配n个字符编码的空间for (int i = 1; i <= n; ++i) {string code = "";int c = i;int f = HT[i].parent;// 从叶子结点开始向上回溯，直到根结点while (f != 0) {if (HT[f].lch == c)code = '0' + code; // 结点c是f的左孩子，则生成代码0elsecode = '1' + code; // 结点c是f的右孩子，则生成代码1c = f;f = HT[f].parent;}HC[i] = code;}
}// 测试函数
int main() {int n;cout << "请输入叶子节点的数量：";cin >> n;vector<HTNode> HT;CreatHuffmanTree(HT, n);vector<string> HC;CreatHuffmanCode(HT, HC, n);// 打印哈夫曼编码cout << "哈夫曼编码如下：" << endl;for (int i = 1; i <= n; ++i) {cout << "Character " << i << ": " << HC[i] << endl;}return 0;
}

改进后：

#include <iostream>
#include <cstring> // 用于 strcpy 和 strlen
#include <limits>  // 用于 std::numeric_limitsusing namespace std;// 定义哈夫曼树节点结构
typedef struct HTNode {double weight; // 权重改为 double 类型int parent, lch, rch;
} HTNode;typedef HTNode* HuffmanTree;// 定义哈夫曼编码结构
typedef char** HuffmanCode;// 选择两个双亲域为0且权值最小的结点
void Select(const HTNode* HT, int i, int& s1, int& s2) {s1 = s2 = -1;double min1 = numeric_limits<double>::max(), min2 = numeric_limits<double>::max();for (int j = 1; j <= i; ++j) {if (HT[j].parent == 0 && HT[j].weight < min1) {min2 = min1;s2 = s1;min1 = HT[j].weight;s1 = j;} else if (HT[j].parent == 0 && HT[j].weight < min2) {min2 = HT[j].weight;s2 = j;}}
}// 构造哈夫曼树--哈夫曼算法
void CreatHuffmanTree(HuffmanTree &HT, int n) {if (n <= 1) return;int m = 2 * n - 1; // 数组共2n-1个元素HT = new HTNode[m + 1]; // 动态分配内存，0号单元未用，HT[m]表示根结点// 初始化2n-1个元素的lch、rch、parent为0for (int i = 1; i <= m; ++i) {HT[i].lch = HT[i].rch = HT[i].parent = 0;HT[i].weight = 0.0; // 初始化权重为 0.0}// 输入前n个元素的weight值cout << "请输入" << n << "个字符的频率）：" << endl;for (int i = 1; i <= n; ++i) {cin >> HT[i].weight;}// 构建哈夫曼树for (int i = n + 1; i <= m; i++) {int s1, s2;Select(HT, i - 1, s1, s2);HT[s1].parent = i;HT[s2].parent = i;HT[i].lch = s1;HT[i].rch = s2;HT[i].weight = HT[s1].weight + HT[s2].weight;}
}// 从叶子到根逆向求每个字符的哈夫曼编码，存储在编码表HC中
void CreatHuffmanCode(HuffmanTree HT, HuffmanCode& HC, int n) {HC = new char*[n + 1]; // 分配n个字符编码的头指针数组for (int i = 1; i <= n; ++i) {string code = ""; // 使用string来构建编码int c = i;int f = HT[i].parent;// 从叶子结点开始向上回溯，直到根结点while (f != 0) {if (HT[f].lch == c)code = '0' + code; // 结点c是f的左孩子，则生成代码0elsecode = '1' + code; // 结点c是f的右孩子，则生成代码1c = f;f = HT[f].parent;}// 将string转换为C风格字符串并分配适当的空间HC[i] = new char[code.length() + 1];strcpy(HC[i], code.c_str());}
}// 测试函数
int main() {int n;cout << "请输入叶子节点的数量：";cin >> n;if (n <= 0) {cerr << "叶子节点数量必须大于0." << endl;return 1;}HuffmanTree HT;CreatHuffmanTree(HT, n);HuffmanCode HC;CreatHuffmanCode(HT, HC, n);// 打印哈夫曼编码cout << "哈夫曼编码如下：" << endl;for (int i = 1; i <= n; ++i) {cout << "Character " << i << ": " << HC[i] << endl;}// 清理资源for (int i = 1; i <= n; ++i) {delete[] HC[i];}delete[] HC;delete[] HT;return 0;
}