Chapter 1

Lesson 8

${Hint}^1$：设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某邻域内有定义，如果$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta y=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0$，则称$f(x)$在点$x_0$连续。

${Hint}^2$：$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$说明连续。

${Hint}^3$：

如果函数在去心邻域内有定义，如果$f(x)$有以下三种情形之一：

$1)$ 在$x=x_0$处没有定义。
$2)$ 在$x=x_0$处有定义，但极限不存在。
$3)$ 有定义，有极限，但是$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\ne f(x_0)$
那么$f(x)$在$x_0$处不连续，$x_0$是$f(x)$的间断点。

${Hint}^4$：

间断点的分类

第一类间断点：左右极限都存在的间断点。
$$\{\begin{array}{rl}可去间断点：& 左右极限存在且相等\\ 跳跃间断点：& 左右极限存在但不相等\end{array}$$
第二类间断点： 左右极限中至少有一个不存在的间断点。【无穷和振荡】

${Hint}^5$：如果函数在$x_0$连续，并且$f(x_0)>0$，则存在$x_0$的邻域使得当$x\in U(x_0)$时，$f(x)>0$。【连续函数保号性】

Lesson 9

${Hint}^1$：

连续函数四则运算：
连续函数+不连续函数=不连续函数；
连续函数+连续函数=连续函数
乘除不确定。
复合函数：
仅当连续复合连续才是连续。

${Hint}^2$：反函数和原函数单调性相同。

${Hint}^3$：体会一下特殊函数$f(x)+g(x)$在取最值上的妙用。

例： 已知$f(x)$与$g(x)$在$x_0$处连续，证明函数 m a x { f ( x ) , g ( x ) } ， m i n { f ( x ) , g ( x ) } max\{f(x),g(x)\}，min\{f(x),g(x)\} max{f(x),g(x)}，min{f(x),g(x)}在$x_0$处连续。
证明：
已知$f(x)$与$g(x)$在$x_0$处连续，容易得到$h(x)=f(x)-g(x)$连续。
令$p=|h(x)|$，可证$p(x)$在$x_0$处连续。
而 a ( x ) = m a x { f ( x ) , g ( x ) } = f ( x ) + g ( x ) + h ( x ) 2 a(x)=max\{f(x),g(x)\}=\frac{f(x)+g(x)+h(x)}{2} a(x)=max{f(x),g(x)}=2f(x)+g(x)+h(x)​
b ( x ) = m i n { f ( x ) , g ( x ) } = f ( x ) + g ( x ) − h ( x ) 2 b(x)=min\{f(x),g(x)\}=\frac{f(x)+g(x)-h(x)}{2} b(x)=min{f(x),g(x)}=2f(x)+g(x)−h(x)​

${Hint}^4$：带三角函数的题也要注意和差化积。

例： 求$\underset{x\to \alpha }{\lim }\frac{\sin x-\sin \alpha }{x-\alpha }$
和差化积不需要特地去记，只需要记住：
$\frac{x+y}{2}$和$\frac{x-y}{2}$代进去即可得到答案。
$PS:$积化和差的时候比较难，需要最好代入所有情况，否则无法直接看出来。
或者背(不提倡）
解：
原式 $=\underset{x\to \alpha }{\lim }\frac{2\sin \frac{x-\alpha }{2}\cos \frac{x+\alpha }{2}}{x-\alpha }=\underset{x\to \alpha }{\lim }\frac{2\frac{(x-\alpha )}{2}\cos \frac{x+\alpha }{2}}{x-\alpha }=\underset{x\to \alpha }{\lim }\cos \frac{x+\alpha }{2}=\cos \alpha$

${Hint}^5$：尽量去凑等价无穷小，凑不成也要凑。

例： $\underset{x\to e}{\lim }\frac{\ln x-1}{x-e}$
解：
原式 $=\underset{x\to e}{\lim }\frac{\ln \frac{x}{e}}{x-e}=\underset{x\to e}{\lim }\frac{\ln (1+\frac{x}{e}-1)}{x-e}=\underset{x\to e}{\lim }\frac{\frac{x}{e}-1}{x-e}=\frac{1}{e}$

Lesson 10

${Hint}^1：$对于闭区间则有，有界性与最大值最小值定理。

${Hint}^2：$课堂小知识

$f(x)$关于$a$对称，$f(x)=f(2a-x)orf(a+x)=f(a-x)$
$f(x)$关于$a、b$对称,$f(x)=f(x+2b-2a)$

${Hint}^3：$零点存在性定理(前提是连续)

可以推广至开区间的极限，$\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)\ast f(b)<0$
奇次幂方程一定有根，因为$-\infty ,+\infty$会使得$f(a)f(b)<0$

${Hint}^4：$介值定理

设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)\ne f(b)$，则对于$f(a)$和$f(b)$之间的任何一个数$\mu$，至少存在一个点$ϵ\in (a,b)$，使$f(ϵ)=\mu$.
推广，以上最小值到最大值区间都可以取到。

${Hint}^5：$左右只要极限存在，并且保证定义域内连续，就一定有界。

证明也很简单，靠近端点的部分只要有极限，说明邻域有界，然后取两个邻域端点构成闭区间。从而使得整个函数都有界。

${Hint}^5：$和差化积

在实在划不出来的时候，应该把常数项转换成三角函数，进行和差化积。这里其实积形式出来后，上下消去$\cos$就结束了。
遇到积和差在一块的时候，要把和差化积，这样才能消去某些项。
例：$\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\lim }(\sin x{)}^{\tan x}$
解：

Chapter 2

Lesson 1

${Hint}^1：$$f^{\prime }(x_0)$的定义中分子必须包含函数值即$f(x_0)$。

${Hint}^2：$$f^{\prime }(x_0)=A\sim f^{\prime }(x_0^{-})=f^{\prime }(x_0^{+})=A$

${Hint}^3：$可导一定连续，连续不一定可导。

例：
$f(x)=x(x+1)(x+2)...(x+n)$，则$f^{\prime }(0)=n!$
用导数定义求解。
遇到一个点的导数要学会用导数定义。
例：
$f^{\prime }(x_0)$存在，$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$不能表示成导数的定义。
$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}=\frac{1}{2}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{f(x)-f(x-h)}{h}$
能拆开，那么如果这两个极限存在，才能保证该点极限存在，但这两个就是极限定义，即导数。
所以我们不能推导出来其存在。

${Hint}^4：$

$f(x)$是奇函数，$f^{\prime }(x)$是偶函数；反之也对。
周期函数的导函数还是以$T$为周期。

Lesson 2

${Hint}^1：$可导$\pm$不可导$=$不可导

${Hint}^2：$反函数$x=\varphi (y)$导数$=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$

${Hint}^3：$$\ln |x|$的导数是$\frac{1}{x}$

$y=\sqrt{(x-1)(x-2)}$，对数求导法转换成$\ln y=\ln |x-1|+\ln |x-2|$。
$\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}$

${Hint}^4$：$f(x)$可导，$f(x_0)=0$，$g(x)$在$x_0$连续。

若$g$可导，肯定可导。
若不可导，$\lim \frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}=\lim \frac{f(x)g(x)}{x-x_0}=\lim \frac{f(x)g(x)-f(0)g(x)}{x-x_0}=f^{\prime }(x_0)g(x_0)，即\in$.
若$f(x)$可导，$g(x)$连续不可导，且只考虑$x_0$的邻域，则当且仅当$f(x_0)=0$的时候，$f(x)g(x)$在$x_0$处可导。

选$A$。

Lesson 3

高阶导数求导

${Hint}^1$：归纳法求高阶导数

${Hint}^2$：分解法求高阶导数

$(e^{ax+b}{)}^{(n)}=a^n{e}^{ax+b}$
$[\sin (ax+b){]}^{(n)}=a^n\sin (ax+b+\frac{n\pi }{2})$
$[\cos (ax+b){]}^{(n)}=a^n\cos (ax+b+\frac{n\pi }{2})$
$[\ln (ax+b){]}^{(n)}=(-1{)}^{n-1}{a}^n\frac{(n-1)!}{(ax+b{)}^n}$
$(\frac{1}{ax+b}{)}^{(n)}=(-1{)}^n{a}^n\frac{n!}{(ax+b{)}^{n+1}}$

${Hint}^3$：莱布尼茨求解

$(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}C(n,k)u^{(n-k)}{v}^{(k)}$

${Hint}^4$:

已知$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{y‘}$，求$\frac{d^{2}x}{d{y}^2}=$
解：

Lesson 4

${Hint}^1$：

参数方程求导 $y^{\prime }=\frac{y^{\prime }(t)}{x^{\prime }(t)}$
二阶导 $y^{\prime \prime }=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dt}\ast \frac{dt}{dx}$

Lesson 5

${Hint}^1$：可微即可导：$dy{|}_{x=x_0}=f^{\prime }(x_0)\Delta x=f^{\prime }(x_0)dx$

后面的等号是人为规定(当$x$是自变量)

${Hint}^2$：$f(x)$在$x_0$的微分是函数，自变量是$dx$

${Hint}^3$：函数微分可以看做是切线的增量，所以一般$du!=\Delta u$，但是一次函数的话就是例外。