大家可以先看看效果

第一章 序

足式机器人较传统的四轮式和履带式有着无与伦比的优势，其在复杂环境中具有更高的机动性，在军事任务和抢险任务中能够发挥出比传统轮式更大的作用。要想让机器人更智能，首先要做到的是让机器人能够像人或动物一样自由行动。在马克・雷波特看来，要想实现这一目标，必须让机器人具备以下三项能力：

①平衡性和动态运动能力:能够让机器人在任意地方、任何地形保持平衡，并实现自由活动，这意味着机器人的工作范围得到了有效扩展。

②对运动的控制能力:指机器人可以灵活地操控物体（如使用键盘和遥控器等），同时进行自由活动，这意味着机器人能够在移动的过程中轻松完成各项操作任务。

③移动感知能力:指机器人能够感知空间中物体的稳定存在，即便视线移向别处也能够避开障碍物，这意味着机器人能够绘制出周边环境中障碍物的位置图，从而在移动的过程中能够有效避开障碍物。

该项目就是致力于开发出一套完整有效四足机器人控制系统。在笔者看来，第一点是最基本的，因此我们的研究也是从第一点开始一步一步前进。对于四足机器人的平衡控制，其牵涉到的内容比较繁杂，需要一点先验知识，因此我们将其摆在运动控制之后论述。下面我们先从最简单运动控制开始，即实现机器人的移动，对此部分的控制，我们提出了基于平面三轴的运动控制方法。

在介绍这套控制方法之前，我们先简单介绍一下关于四足机器人的一些基本知识，由于我们的控制方法是基于北理大出版的《仿生四足机器人技术》里提出的CPG控制网络，因此以下内容大部分为书上原话稍加整理给出，笔者就不对具体的技术细节过多解释了，有兴趣的小伙伴可以自行翻阅此书。

第二章 运动状态

本章先讨论一个基础的问题：如何描述机器人的位姿。位姿包括位置和姿态。我们可以用$P=[x,y{]}^T$来表示平面上一个点的位置。相应的，也可以用来$P=[x,y,z{]}^T$表示空间里一个点的位置。

姿态的数学描述比位置稍为抽象一点。平面上一个点的姿态可以只用一个旋转角表达，而空间中姿态的表达方式则有多种，常见的如欧拉角、四元数、旋转矩阵等，这里不展开论述[5]。总之，有了位置和姿态，我们就可以解决机器人的定位问题,以及坐标转换的问题。

该项目提出这样一个设想：在不考虑各腿的协同运动时，可以简单地把机器人当成一个刚体，因此其运动可看作是空间中刚体的运动，这里我们选用欧拉角表示机器人的姿态，因此其运动包括：Roll，Pitch，Liner_Z，Liner_X，Liner_Y，Yaw，前三者用于控制机器人的姿态，后三者控制机器人的位置。注意这里笔者把Liner_Z归入姿态控制而Yaw归入运动控制，因为在机器人的实际运动当中，Liner_Z控制机器人质心离地面的高度，对于平整路面而言，其高度应为定值，可看作是机器人的一个姿态，因此笔者把Z轴方向的运动归入姿态控制；对于Yaw，其控制的是机器人在平面内的旋转运动，属方向控制，因此归入运动控制。

姿态控制

上文已经提到过Roll，Pitch，Liner_Z这三轴的运动是用来控制机器人的姿态的，而姿态控制更多的应用在环境响应那部分，因此在这里暂时不细说，先来看运动控制部分。

运动控制

1、运动分解

由于四足机器人在平整地面上运动时，质心离地高度（Liner_Z），pitch，roll角均基本保持不变，因此可以将其看成是平面内的运动。其位姿表示成$P=[x,y,\theta {]}^T$。该项目现阶段的主要目标是：通过该控制模型，机器人能够按照给定轨迹$P(t)=[x(t),y(t),\theta (t){]}^T$运动。其基本运动组成如下：

①沿X轴的平移（Liner_X）
②沿Y轴的平移（Liner_Y）
③绕Z轴的旋转（Yaw）

2、运动叠加

平面上几乎所有的运动均可拆解成上述三种基本运动的组合，这里我们举例最常见的两种运动：

①+②：平面内任意方向的斜向直线运动
①+③：指定半径的转向运动

需要注意的是对于组成复合运动的基本运动，其发生的顺序是不一定的，既可以同时发生，亦可以按时间先后发生，具体取决于实际环境中对运动轨迹的约束。

第三章 步态

参考清华大学张秀丽等前辈的《足式机器人生物控制方法和应用》，足式动物的运动模式可以用“步态”来表示。步态指的是各腿在行走时具有固定相位关系的行走模式。

行进速度较慢的情况下，四足动物的每一步行走都处于较为稳定的三足支撑状态，如乌龟等。该运动模式称为行进步态，是一种四拍步态。行进速度较快一点的是小跑步态（Tort）和溜蹄步态（Pace），这两者都是两拍步态。为了用数学语言描述步态，我们需要知道以下参数定义：

①步态周期T：一个完整运动循环所用的时间；
②步长S：一个步态周期内，支撑腿驱动躯体质心相对于地面移动的距离；
③抬腿高度h：一步内足端离地最大距离；
④相位差${\phi }_i$：第i条腿着地时刻相对于参考腿的延时与周期的比；
⑤支撑（stance）：腿与地面接触支撑躯体并推动躯体前行的状态；
⑥摆动（swing）：腿抬起在空中摆动的状态；
⑦负载因子$\beta$：处在支撑相的腿撑在地面的时间占整个运动周期的比例。

以上参数为动物步态参数，由于四足机器人的步态是参照动物步态指定的，因此其参数定义与动物类似，具体可查阅其他资料，在此不展开细说。下面给出4种常见步态的相位图。

经研究发现，有以下规律：以机器人左前腿为基准，将其相位定义为${\phi }_{LF}=0$，相对相位可以表达为负载因子β和右后腿相位${\phi }_{RH}$的函数,这在步态转换部分将起到重要作用：

第四章 CPG控制网络

介绍

众所周知，动物最常见的运动方式是节律运动，即按照一定的节奏、有力度地重复、协调、持续进行的动作，是低级神经中枢的自激行为。生物学上，动物的节律运动控制区被认为是分层并且模块化的，其控制以中枢模式发生器为中心，既可以接受来自高层的高级神经中枢的主观控制，也可以响应来自躯体各种感受器官的反射，这就是CPG控制机理。

前人已经按照CPG控制机理建立了不同形式的数学模型，它们能够产生的周期振荡的信号，使其能够满足节律运动的特点。

CPG模型分类

目前比较经典的CPG模型可划分为以下两大类：

①基于神经元的模型：Matsuoka神经元震荡模型、Kimura模型等，该类模型生物学意义明确，但参数较多，动态特性分析比较复杂。

②基于非线性振荡器的模型：Kuramoto相位振荡器、Hopf谐波振荡器等，该类模型参数较少，模型比较成熟。

在保证能够输出稳定的周期性震荡信号的前提下，那些形式简单、参数较少、计算量小、便于分析、易于实现的CPG模型是更好的选择。根据这一个原则，我们选取了HOPF振荡器作为CPG的单元模型。

基于HOPF振荡器的CPG单元模型

1、HOPF振荡器

HOPF振荡器在状态空间中存在一个稳定的极限环，即对于任意非零初始值，均能使得振荡器产生相同形状的周期性振荡信号，其数学模型如下：

假设$\alpha =100,\mu =1,\omega =2\pi$,振荡器产生的极限环和输出结果如下：

从图像可以看出，对于该微分方程组，取任意初始值x（0）， y（0），在稳定输出后，均能收敛到同一个圆上。将其输出信号放大进行观察：

经过对比发现输出信号上升沿与下降沿所用时间是一致的，我们设定上升沿为摆动相，下降沿为支撑相，因此，采用HOPF振荡器时，机器人腿部摆动持续时间与支撑持续时间是一致的。为了能够对这两者进行单独控制，使其能够适应不同负载因子下的运动模式，对$\omega$进行以下改进：

其中${\omega }_{st},{\omega }_{sw}$分别表示支撑相频率和摆动相频率，参数a决定$\omega$在这两者之间的变化速度，$\beta$为负载因子，按照上文总结出的规律，其用于决定机器人的运动模式，即控制不同步态。最终数学模型的形式如下：

其中，

α用于控制振荡器收敛到极限环的速度；
a决定了ω在${\omega }_{st}$和${\omega }_{sw}$之间的变化速度；
μ决定振荡器的幅值，关系式为$A=\sqrt{\mu }$；
β为负载因子（范围0-1）；
${\omega }_{sw}$表示摆动相频率；
${\omega }_{st}$表示支撑相频率，且${\omega }_{st}=\frac{1-\beta }{\beta }{\omega }_{sw}$。

2、动态特性

设置参数$\alpha =100,a=50,\beta =0.5,\mu =1,{\omega }_{sw}$取不同值时的输出曲线：

设置参数$\alpha =100,a=50,{\omega }_{sw}=2\pi ,\mu =1,\beta$取不同值时的输出曲线：

设置参数$\alpha =100,a=50,\beta =0.5,{\omega }_{sw}=2\pi ,\mu$取不同值时的输出曲线：

通过上述对比可知，振荡器输出信号的幅值、周期、上升/下降沿所占时间比，都能通过相应的参数进行控制，且各参数之间不存在耦合。下面总结一下：

①$\mu$：控制输出信号的幅值$A=\sqrt{\mu }$;
②${\omega }_{sw}$：控制调节输出信号的周期;
③$\beta$：控制输出信号上升/下降沿所占时间比例。

CPG网络控制模型

以上内容已经简要介绍了单个振荡器的特性，但是，我们的四足机器人至少有12个主动关节，仅靠一个振荡器显然是不够的，因此我们需要一个CPG控制网络来实现各腿的协同运动。CPG按照不同的连接方式可分为链式连接和网络连接，连接起来的CPG能够实现多个肢体的协同运动，并且在时域上保持相关性。

这里我们先不考虑机器人的侧向髋关节的运动，仍旧参考北京理工大学《仿生四足机器人技术》里面提出的CPG控制网络模型。基本思路是这样的：采用4个HOPF振荡器分别对应四足机器人的4条腿，将每个振荡器的x输出直接作为髋关节的角度控制信号，对y输出进行变换，再将变换之后的信号用作膝关节的角度控制信号。

需要注意的是，我们的4个振荡器必须是相互关联的，按照前辈们的方法，就是设立一个耦合项，利用其来表征振荡器之间的关系（至于为什么能这样，笔者目前学识有限，惭愧地讲一句抱歉不能给大家解释这里），最终数学模型如下：

其中，

①$A_h,A_k$分别为髋关节，膝关节幅值，$\varphi$为关节标志，该项与硬件结构配置有关，我们的机器人采用前肘后膝式。即LF_k, RF_k为1， LH_k, RH_k为-1

②$R({\theta }_j^i)$控制各腿控制信号的耦合关系,且${\theta }_j^i=2\pi ({\phi }_i-{\phi }_j)$，${\phi }_i$为第i个振荡器的相位（相位图请看第三章：步态）,其数学表达式如下:

③为了更加直观，我们把耦合项展开成以下矩阵形式（一个8*4矩阵，按行求和）:

④同样我们可以把数学模型写成更加直观的微分方程：

$$\frac{d{x}_i}{dt}=\alpha (\mu -r_i^2)x_i^2-{\omega }_i{y}_i+\sum _{j=1}^4(\cos {\theta }_j^i{x}_j-\sin {\theta }_j^i{y}_j)$$

$$\frac{d{y}_i}{dt}=\alpha (\mu -r_i^2)y_i^2+{\omega }_i{x}_i+\sum _{j=1}^4(\sin {\theta }_j^i{x}_j+\cos {\theta }_j^i{y}_j)$$

⑥${\theta }_{hi},{\theta }_{ki}$分别为第i条腿的髋关节，膝关节的控制信号，是一条关于时间的函数。

至此我们已经建立起了最基础的控制网络模型，但是，仅仅是这样还不够，正如单个HOPF振荡器需要好几个参数一样，该控制模型亦是如此。那么这些参数跟我们的机器人有什么关系呢？又是如何确定的呢？这里先给大家留个悬念(-ω-)，大家可以先思考一下，或者查阅相关资料，问题的答案在参考文献里面能找到，我也会在下一篇文章中“手把手”讲解。

Tips

这里我给出一个仿真实例，视频我会上传到B站，搜“四足机器人”，认准我的头像就ok了。

按照Tort步态的相位分布，给定以下参数$\alpha =1000,a=100,\beta =0.5,A_k=3.3,A_h=9.8,{\omega }_{sw}=5\pi$，（需要注意各数值单位间的换算，这里给定的$A_h,A_k$为角度制），输出结果如下：

其中，蓝色信号为髋关节信号，红色信号为膝关节信号。从图像可以看出此时的输出信号满足Tort步态运动规律，左前腿与右后腿保持同相关系，另外两者同样如此，在髋关节信号上升沿为正，其余为0，符合摆动相的要求。

下面终于到了展示成果的环节了，仿真结果如下（✧٩(ˊωˋ*)و✧）：

参考文献

[1].罗庆生, 罗霄著. 仿生四足机器人技术[M]. 北京:北京理工大学, 2016. 15-30

[2]韩宝玲, 王秋丽, 罗庆生. 六足仿生步行机器人足端工作空间和灵活度研究[J]. 机械设计与研究, 2006,22(4): 11-12

[3]常青, 韩宝玲, 罗庆生. 四足机器人转向与斜向运动规划理论及方法[J]. 北京理工大学学报, 2015, 35(5): 1-2

[4]施宏阳. 基于WCPG的步态生成与运动控制方法[D]. *:华中科技大学, 2015. 15-18

[5]高翔. 视觉SLAM十四讲[M]. *:电子工业出版社, 2017

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