DP(背包模型）

01背包问题

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V 用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

输入样例

输出样例：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;
int v[N],w[N];  // 体积 价值 
int f[N][N]; // f[i][j], j体积下前i个物品的最大价值
int main()
{int n,m;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){//  当前背包容量装不进第i个物品，则价值等于前i-1个物品if(j<v[i]) f[i][j]=f[i-1][j];// 能装，需进行决策是否选择第i个物品else f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);}}cout<<f[n][m]<<endl;return 0;
}

一维

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;
int v[N],w[N];
int f[N];
int main()
{int n,m;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=m;j>=v[i];j--){f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);}}cout<<f[m]<<endl;return 0;
}

完全背包问题

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 ii 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

输入样例

输出样例：

基本框架 O(n^3) 会超时

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;
int v[N],w[N];
int f[N][N];
int main()
{int n,m;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=0;j<=m;j++){for(int k=0;k*v[i]<=j;k++){f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);}}}cout<<f[n][m]<<endl;return 0;
}

优化

f[i , j ] = max( f[i-1,j] , f[i-1,j-v]+w , f[i-1,j-2*v]+2*w , f[i-1,j-3*v]+3*w , .....)
f[i , j-v]= max( f[i-1,j-v] , f[i-1,j-2*v] + w , f[i-1,j-3*v]+2*w , .....)
由上两式，可得出如下递推关系：
f[i][j]=max(f[i,j-v]+w , f[i-1][j])

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;
int v[N],w[N];
int f[N][N];
int main()
{int n,m;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=0;j<=m;j++){f[i][j]=f[i-1][j];if(j>=v[i]){f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);}}}cout<<f[n][m]<<endl;return 0;
}

一维

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;
int v[N],w[N];
int f[N];
int main()
{int n,m;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=0;j<=m;j++){//原来二维与之对应的是 f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);对应正是第i层 不是i-1层 故从小到大即可if(j>=v[i]) f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);}}cout<<f[m]<<endl;return 0;
}

多重背包问题 I

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si 用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤100
0<vi,wi,si≤100

输入样例

输出样例：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=110;
int v[N],w[N],s[N];
int f[N][N];
int main()
{int n,m;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];for(int i=1;i<=n;i++)//枚举背包{for(int j=0;j<=m;j++)//枚举体积{f[i][j]=f[i-1][j];for(int k=0;k*v[i]<=j&&k<=s[i];k++){f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]*k]+w[i]*k);}}}cout<<f[n][m]<<endl;return 0;
}