上一篇博客介绍了GRNN-GA：GRNN神经网络遗传算法(GRNN-GA)函数极值寻优——非线性函数求极值，神经网络用的是GRNN神经网络，RBF神经网络（径向基函数神经网络）和GRNN神经网络有相似之处。本篇博客将GRNN神经网络替换成RBF神经网络，希望能帮助大家快速入门RBF网络。

1.背景条件

要求：对于未知模型（函数表达式未知）求解极值。
条件：已知模型的一些输入输出数据。

程序的示例是根据用神经网络遗传算法寻优非线性函数 $y=x_1^2+x_2^2$ 的极值，输入参数有2个，输出参数有1个，易知函数有极小值0，极小值点为(0, 0)。已知的只有一些输入输出数据（用rand函数生成输入，然后代入表达式生成输出）：

for i=1:4000input(i,:)=10*rand(1,2)-5;output(i)=input(i,1)^2+input(i,2)^2;
end

2.RBF神经网络函数说明

newrbe

RBF神经网络参数设置函数（严格(exact)RBF网络函数）
函数形式：

net = newrbe(P,T,spread)

P:输入数据矩阵。
T:输出数据矩阵。
spread：径向基函数的扩展速度。默认为1。RBF神经网络和GRNN网络一样，都有一个 spread 参数，GRNN神经网络其实是RBF神经网络的一种变形。

例如：

net=newrbe(inputn,outputn,0.1)

近似(approximate)RBF网络函数：

net=newrb(inputn,outputn)

用 newrb() 创建 RBF网络是一个不断尝试的过程，在创建过程中，需要不断增加中间层神经元和个数，直到网络的输出误差满足预先设定的值为止。

3.近似RBF神经网络

%% 清空环境变量
clctic
%% 载入数据
load data%从1到4000间随机排序
k=rand(1,4000);
[m,n]=sort(k);%划分训练数据和预测数据
input_train=input(n(1:3900),:)';
output_train=output(n(1:3900),:)';
input_test=input(n(3901:4000),:)';
output_test=output(n(3901:4000),:)';[inputn,inputps]=mapminmax(input_train);
[outputn,outputps]=mapminmax(output_train);%% RBF网络训练
% %初始化网络结构
net=newrb(inputn,outputn); % 近似RBF网络%% RBF网络预测
%预测数据归一化
inputn_test=mapminmax('apply',input_test,inputps);%网络预测输出
an=sim(net,inputn_test);%网络输出反归一化
RBFoutput=mapminmax('reverse',an,outputps);%% 结果分析
error=output_test-RBFoutput;
errorsum=sum(abs(error))tocsave data net inputps outputps

运行之后得到：（ctrl + C 中止）

当隐藏层神经元个数为50的时候，误差已经很小了。

4.完整代码

data.m

用于生成神经网络拟合的原始数据。

for i=1:4000input(i,:)=10*rand(1,2)-5;output(i)=input(i,1)^2+input(i,2)^2;
end
output=output';save data input output

RBF.m

用函数输入输出数据训练RBF神经网络，使训练后的网络能够拟合非线性函数输出，保存训练好的网络用于计算个体适应度值。根据非线性函数方程随机得到该函数的4000组输入输出数据，存储于data中，其中input为函数输入数据，output为函数对应输出数据，从中随机抽取3900组训练数据训练网络，100组测试数据测试网络拟合性能。最后保存训练好的网络。

%% 清空环境变量
clctic
%% 载入数据
load data%从1到4000间随机排序
k=rand(1,4000);
[m,n]=sort(k);%划分训练数据和预测数据
input_train=input(n(1:3900),:)';
output_train=output(n(1:3900),:)';
input_test=input(n(3901:4000),:)';
output_test=output(n(3901:4000),:)';[inputn,inputps]=mapminmax(input_train);
[outputn,outputps]=mapminmax(output_train);%% RBF网络训练
% %初始化网络结构
net=newrbe(inputn,outputn,0.1); % 严格RBF网络
%net=newrb(inputn,outputn); % 近似RBF网络
view(net)%% RBF网络预测
%预测数据归一化
inputn_test=mapminmax('apply',input_test,inputps);%网络预测输出
an=sim(net,inputn_test);%网络输出反归一化
RBFoutput=mapminmax('reverse',an,outputps);%% 结果分析
error=output_test-RBFoutput;
errorsum=sum(abs(error))figure(1);
plot(RBFoutput,':og');
hold on
plot(output_test,'-*');
legend('Predictive output','Expected output','fontsize',10);
title('RBF network output','fontsize',12);
xlabel("samples",'fontsize',12);figure(2);
plot(error,'-*');
title('RBF Neural network prediction error');
xlabel("samples",'fontsize',12);figure(3);
plot(100*(output_test-RBFoutput)./output_test,'-*');
title('RBF Neural network prediction error percentage (%)');
xlabel("samples",'fontsize',12);tocsave data net inputps outputps

Code.m

编码成染色体。

function ret=Code(lenchrom,bound)
%本函数将变量编码成染色体，用于随机初始化一个种群
% lenchrom   input : 染色体长度
% bound      input : 变量的取值范围
% ret        output: 染色体的编码值
flag=0;
while flag==0pick=rand(1,length(lenchrom));ret=bound(:,1)'+(bound(:,2)-bound(:,1))'.*pick; %线性插值，编码结果以实数向量存入ret中flag=test(lenchrom,bound,ret);     %检验染色体的可行性
end

fun.m

把训练好的RBF神经网络预测输出作为个体适应度值。

function fitness = fun(x)
% 函数功能：计算该个体对应适应度值
% x           input     个体
% fitness     output    个体适应度值%
load data net inputps outputps%数据归一化
x=x';
inputn_test=mapminmax('apply',x,inputps);%网络预测输出
an=sim(net,inputn_test);%网络输出反归一化
fitness=mapminmax('reverse',an,outputps);

对于求极小值的函数，适应度可以设为RBF网络预测结果，如果需要求极大值，可以对适应度取反。

Select.m

选择操作采用轮盘赌法从种群中选择适应度好的个体组成新种群。

function ret=select(individuals,sizepop)
% 本函数对每一代种群中的染色体进行选择，以进行后面的交叉和变异
% individuals input  : 种群信息
% sizepop     input  : 种群规模
% ret         output : 经过选择后的种群fitness1=1./individuals.fitness;
sumfitness=sum(fitness1);
sumf=fitness1./sumfitness;
index=[]; 
for i=1:sizepop   %转sizepop次轮盘pick=rand;while pick==0    pick=rand;        endfor i=1:sizepop    pick=pick-sumf(i);        if pick<0        index=[index i];            break;  %寻找落入的区间，此次转轮盘选中了染色体i，注意：在转sizepop次轮盘的过程中，有可能会重复选择某些染色体endend
end
individuals.chrom=individuals.chrom(index,:);
individuals.fitness=individuals.fitness(index);
ret=individuals;

Cross.m

交叉操作从种群中选择两个个体，按一定概率交叉得到新个体。

function ret=Cross(pcross,lenchrom,chrom,sizepop,bound)
%本函数完成交叉操作
% pcorss                input  : 交叉概率
% lenchrom              input  : 染色体的长度
% chrom     input  : 染色体群
% sizepop               input  : 种群规模
% ret                   output : 交叉后的染色体for i=1:sizepop  %每一轮for循环中，可能会进行一次交叉操作，染色体是随机选择的，交叉位置也是随机选择的，%但该轮for循环中是否进行交叉操作则由交叉概率决定（continue控制）% 随机选择两个染色体进行交叉pick=rand(1,2);while prod(pick)==0pick=rand(1,2);endindex=ceil(pick.*sizepop);% 交叉概率决定是否进行交叉pick=rand;while pick==0pick=rand;endif pick>pcrosscontinue;endflag=0;while flag==0% 随机选择交叉位pick=rand;while pick==0pick=rand;endpos=ceil(pick.*sum(lenchrom)); %随机选择进行交叉的位置，即选择第几个变量进行交叉，注意：两个染色体交叉的位置相同pick=rand; %交叉开始v1=chrom(index(1),pos);v2=chrom(index(2),pos);chrom(index(1),pos)=pick*v2+(1-pick)*v1;chrom(index(2),pos)=pick*v1+(1-pick)*v2; %交叉结束flag1=test(lenchrom,bound,chrom(index(1),:));  %检验染色体1的可行性flag2=test(lenchrom,bound,chrom(index(2),:));  %检验染色体2的可行性if   flag1*flag2==0flag=0;else flag=1;end    %如果两个染色体不是都可行，则重新交叉endend
ret=chrom;

test.m

检验染色体的可行性。

function flag=test(lenchrom,bound,code)
% lenchrom   input : 染色体长度
% bound      input : 变量的取值范围
% code       output: 染色体的编码值x=code; %先解码
flag=1;
if (x(1)<bound(1,1))&&(x(2)<bound(2,1))&&(x(1)>bound(1,2))&&(x(2)>bound(2,2))flag=0;
end

Mutation.m

变异操作从种群中随机选择一个个体，按一定概率变异得到新个体。

function ret=Mutation(pmutation,lenchrom,chrom,sizepop,pop,bound)
% 本函数完成变异操作
% pcorss                input  : 变异概率
% lenchrom              input  : 染色体长度
% chrom     input  : 染色体群
% sizepop               input  : 种群规模
% opts                  input  : 变异方法的选择
% pop                   input  : 当前种群的进化代数和最大的进化代数信息
% ret                   output : 变异后的染色体
for i=1:sizepop   %每一轮for循环中，可能会进行一次变异操作，染色体是随机选择的，变异位置也是随机选择的，%但该轮for循环中是否进行变异操作则由变异概率决定（continue控制）% 随机选择一个染色体进行变异pick=rand;while pick==0pick=rand;endindex=ceil(pick*sizepop);% 变异概率决定该轮循环是否进行变异pick=rand;if pick>pmutationcontinue;endflag=0;while flag==0% 变异位置pick=rand;while pick==0      pick=rand;endpos=ceil(pick*sum(lenchrom));  %随机选择了染色体变异的位置，即选择了第pos个变量进行变异v=chrom(i,pos);        v1=v-bound(pos,1);        v2=bound(pos,2)-v;        pick=rand; %变异开始        if pick>0.5delta=v2*(1-pick^((1-pop(1)/pop(2))^2));chrom(i,pos)=v+delta;elsedelta=v1*(1-pick^((1-pop(1)/pop(2))^2));chrom(i,pos)=v-delta;end   %变异结束flag=test(lenchrom,bound,chrom(i,:));     %检验染色体的可行性end
end
ret=chrom;

Genetic.m

%% 清空环境变量
clc
% clear%% 初始化遗传算法参数
%初始化参数
maxgen=100;                         %进化代数，即迭代次数
sizepop=20;                        %种群规模
pcross=[0.4];                       %交叉概率选择，0和1之间
pmutation=[0.2];                    %变异概率选择，0和1之间lenchrom=[1 1];          %每个变量的字串长度，如果是浮点变量，则长度都为1
bound=[-5 5;-5 5];  %数据范围individuals=struct('fitness',zeros(1,sizepop), 'chrom',[]);  %将种群信息定义为一个结构体
avgfitness=[];                      %每一代种群的平均适应度
bestfitness=[];                     %每一代种群的最佳适应度
bestchrom=[];                       %适应度最好的染色体%% 初始化种群计算适应度值
% 初始化种群
for i=1:sizepop%随机产生一个种群individuals.chrom(i,:)=Code(lenchrom,bound);   x=individuals.chrom(i,:);%计算适应度individuals.fitness(i)=fun(x);   %染色体的适应度
end
%找最好的染色体
[bestfitness bestindex]=min(individuals.fitness);
bestchrom=individuals.chrom(bestindex,:);  %最好的染色体
avgfitness=sum(individuals.fitness)/sizepop; %染色体的平均适应度
% 记录每一代进化中最好的适应度和平均适应度
trace=[avgfitness bestfitness]; %% 迭代寻优
% 进化开始
for i=1:maxgeni% 选择individuals=Select(individuals,sizepop); avgfitness=sum(individuals.fitness)/sizepop;% 交叉individuals.chrom=Cross(pcross,lenchrom,individuals.chrom,sizepop,bound);% 变异individuals.chrom=Mutation(pmutation,lenchrom,individuals.chrom,sizepop,[i maxgen],bound);% 计算适应度 for j=1:sizepopx=individuals.chrom(j,:); %解码individuals.fitness(j)=fun(x);   end%找到最小和最大适应度的染色体及它们在种群中的位置[newbestfitness,newbestindex]=min(individuals.fitness);[worestfitness,worestindex]=max(individuals.fitness);% 代替上一次进化中最好的染色体if bestfitness>newbestfitnessbestfitness=newbestfitness;bestchrom=individuals.chrom(newbestindex,:);endindividuals.chrom(worestindex,:)=bestchrom;individuals.fitness(worestindex)=bestfitness;avgfitness=sum(individuals.fitness)/sizepop;trace=[trace;avgfitness bestfitness]; %记录每一代进化中最好的适应度和平均适应度
end
%进化结束%% 结果分析
[r c]=size(trace);
plot([1:r]',trace(:,2),'r-');
title('适应度曲线','fontsize',12);
xlabel('进化代数','fontsize',12);ylabel('适应度','fontsize',12);
disp('适应度                   变量');
x=bestchrom;
% 窗口显示
disp([bestfitness x]);

5.代码使用说明

上述代码运行顺序

data.m 生成数据（如果已有 input output 数据可跳过），
RBF.m 进行RBF神经网络训练及函数拟合，
Genetic.m（主函数）利用遗传算法求极值。

求最大值的方法

上述代码用于求解最小值，对于求解最大值的需求，可以在适应度函数里面，对适应度计算结果求反，把求解最大值的问题转化为求解最小值的问题。

例如：对于非线性函数 $y=-(x_1^2+x_2^2)+4$ ：

for i=1:4000input(i,:)=10*rand(1,2)-5;output(i)=-(input(i,1)^2+input(i,2)^2)+4;
end

求最大值时，需要在 fun.m 里面，修改最后一行代码：

fitness=-mapminmax('reverse',an,outputps);

注意：每次运行结果不尽相同。

6.代码运行结果

对 $y=x_1^2+x_2^2$ 求极小值

RBF神经网络拟合

运行RBF.m之后：

输出：

errorsum =0.0013历时 9.232266 秒。

注意：每次运行结果不尽相同。

遗传算法寻优

运行主函数 Genetic.m之后：

输出：

...
i =100适应度                   变量0.0001   -0.0042    0.0074历时 20.067215 秒。

最终结果最优个体为（-0.0042，0.0074），适应度为 0.0001。

注意：每次运行结果不尽相同。

参考

《MATLAB神经网络30个案例分析》