13-把矩阵看作是对系统的描述

探索矩阵乘法：更深刻的理解与应用视角 🧩🔍

引言 📖

在我们进一步探讨矩阵乘法之前，让我们从不同的角度来理解什么是矩阵，以及如何将矩阵视为一个系统。我们之前已经介绍了矩阵的基本概念和运算，接下来我们看矩阵的乘法，不过为了让大家能够更加深刻的理解什么是矩阵的乘法，这篇会首先向大家介绍我是如何看待矩阵的，另外一个视角就是把矩阵看作是一个系统.

在前几篇中我向大家介绍了什么是矩阵以及矩阵的基本运算，但是一个矩阵和一个更加复杂的对象相乘，可能相对来说就会复杂一些。

矩阵：不同的视角 👀

在之前的文章中，我们将矩阵比作一个数据表格，这只是矩阵的最简单视角之一。然而，在不同的应用场景中，我们可以以不同的方式看待矩阵。一个值得思考的角度是将矩阵视为一个系统的表现形式。那么在篇文章中，我们先来处理一个矩阵和一个向量的乘法是怎么定义的.

后面我们可以使用不同的视角，在不同的应用场景中把矩阵看成不同的内容，那最为典型的实际应用矩阵的地方，就是可以把矩阵看作是一个所谓的系统。

系统的应用案例 📊

什么是系统呢？以经济系统为例，其实就是在经济系统中，无论是一个国家也好，一个公司也好，每年都要进行财政预算，

比如说我以一个国家为例，我把这个问题变得简单一些，可能在年末的时候要对第二年在it、电子、矿产、房产这四个领域的投资额度进行一个估算，那么我将对这四个领域的投资额度分别表示成 $x_{it}, x_{e}, x_{m}, x_{h}$ ，这个e就是electronic表示电子。m就是mining表示矿产，还有h就是housing表示的是房产，那么在进行这个投入预算的时候，很多专家就会计算分析，我们必须让我们的投入额满足某些需求，那么最常见的所满足的这个需求，

通常就是既要满足整个系统的一个外部需求，又要满足整个系统的一个内部需求，什么意思呢？比如说我们对it这个领域投入了一定的资金，那么经过专家测算，在第二年it领域至少需要100个亿，在这里随便取了一个单位，假设是亿元，所以对于我们it这个领域的投资额，至少它要等于100亿，但是我们只投入100亿是不够的。是因为我们在建设其他领域的时候，在做电子、矿产和房产领域时可能还需要it领域相关的这种行业支撑。

$x_{it} = 100 + 0.2x_{e} + 0.1x_{m} + 0.5x_{h}$

换句话说，为了支撑我们第二年电子行业的发展。如果对电子行业投入的是 $x_{e}$ 这么多的话，那么相应的我们对IT行业还需要再多投入0.2 $x_{e}$ 的资金才能支撑电子行业这种规模的发展，那么对于矿产和房产是同理的，可能经过专家的测算发现，我们在IT行业还需要多投入0.1 $x_{m}$ 这么多的资金才能支撑，对矿产行业的相应的发展发展以及需要投入0.5 $x_{h}$ 这么多的资金才能支撑房产行业相应的发展，那么最终我们预估的对于第二年，我们需要对IT行业的投资额度就是这样的一个的等式。

同理，我们的这些专家就可以经过各种不同的测算，来拿到对于其他领域的投入所需要满足的关系，比如说在电子领域的投入可能得到的关系 $x_{e} = 50 + 0.5x_{it} +0.2x_{m} + 0.1x_{h}$ ，我们至少要投入50亿元，与此同时呢，为了支撑 $x_{it}$ 这么大规模的IT行业的发展，我们要多投入 $0.5x_{it}$ 的资金，在这个电子行业中也是如此，我们为了支撑 $x_{m}$ 这么多的矿产行业的发展，我们要多投入 $0.2x_{m}$ 的资金，在电子行业对于房产行业一样，我们为了支撑 $x_{h}$ 这么大规模的房产行业的发展，我们要多投资 $0.1x_{h}$ 这么多的资金在电子行业上，那么相应的可能专家测算出，对于矿产行业就遵循这样的一个式子， $x_{m}=20 + 0.4x_{e} + 0.3x_{h}$ 那么在这个式子中，大家可以看我给它设置成了没有 $x_{it}$ 这一项，这是因为有可能我们并不需要额外的资金投入到矿产行业来支撑IT行业的发展，所以呢，只有 $x_{e}$ 和 $x_{h}$ 这一项，这是因为对于电子行业的发展，可能是需要一些稀有的金属，需要矿产行业的发展，而对于房产行业的发展呢， $x_{h}=666+0.2x_{it}$ 我们也需要一些原材料，那么这些原材料钢铁，铝合金等等的冶炼也可能需要矿产行业的发展, 所以相应的就有这样的式子，那么最后对于房产行业可能国家对房产行业投资额是最大的，我们在下一年要投资666这么多亿元，除此之外，对于房产行业来说，为了支撑 $x_{it}$ 这么多规模的，这个IT行业的发展，我们还要多投资 $0.2x_{it}$ 这么多的金额，

在房产行业，那么这可能是因为由于IT行业从业人员非常的多，那么他们都有住房的需求，所以我们就需要根据IT行业的发展规模来调整一下房产行业相应投入的资金，那么当然啦，这里只是随便举例子，不要当真。这里关键在于我们的这个简化的经济系统的这种测算中，我们只考虑了it、电子、矿产、房产这四个行业相应的方程式，我们就得到了这样的四个方程，那么这四个方程联立起来就形成了方程组，我们的整个系统必须满足这个方程组所表达的这些条件。

那么我们就可以说这个方程组就表达了一个系统，也就是所谓的一个非常简单的经济系统。当然，大家可以想象实际的经济分析中行业非常非常的多，它们之间的约束条件也非常的复杂，我们得到的这个方程组很有可能是一个非常巨大的方程组，不管怎样我们都可以这样使用一个方程组来描述一个系统。

网络系统的例子 🌐

我们再来看一个例子就是所谓的网络，那么大家可能学习计算机的时候都接触过一个非常重要的内容图论——计算机在离散数学中的分支领域叫做图论，图论的一个重要的应用就是在网络中的应用。

在这里网络不仅仅是平时大家上百度上淘宝所用的那个网络，实际上在我们的世界中到处都是网络。最典型的比如说交通网络，那么在一个交通网络中，可能每一个十字路口就是网络中的一个节点，相应的从一个路口到另外一个路口，对应的这个街道就是在网络中节点到节点之间的边，当然对于我们的模型，从交通的角度就可以非常容易的进行拓展，比如说对于地铁线路来说，每一个地铁站就是节点，地铁站和地铁站之间运行的这个轨道就是网络中的边，对于公交站以及公交站之间的这个公交线路也是如此。向更大的方向说，可能城市和城市之间的这个铁路也形成了一个网络，国家和国家之间的航班也可以形成网络，这些其实都是交通网络的范畴。那么信息网络其实是同理的。大家们知道我们在网上获取任何的资料，我们的请求以及我们请求得到的结果都是在网络中的各个节点之间不断的传送的，那么所有的这些网络节点以及网络节点之间的联通，它们传输速度的快慢、带宽等等，整体就构成了一个信息网络在我们的实际的生活中研究这种网络是极其有意义的。

在这里呢，随便的抽象绘制一个网络，大家可以把这个网络中的每一个节点都理解成是一个公交站、一个地铁站、或者是一个城市里的火车站，也可以把它理解成是信息网络中的一个路由节点，那么可能我们就有这样的一个需求，比如说我们用最直观的方法把这个网络看成是一个交通网络，那么对于这个交通网络可能初始的这四个节点代表四个小区，那么这四个小区的人们，可能他们上班都要去某一个地方，比如说这个地方就是中关村，那么相应的，可能这四个小区各有100个人，他们每天都要跑到中关村去上班，那么现在交通部门可能就会有一个任务了，他们需要观测在整个这个道路交通网络中，从这四个小区一直到中关村中间的各个路径相应的网络情况，进而就可以决定，比如说下次在修路的时候，哪些路可以拓宽一些，或者在哪里可以多增加一些路，或者多增设一些公交站，地铁站等等。
在这里插入图片描述

换言之，交通部门可能需要了解在这个网络中，各个不同的路线，它们的流量是多少，那么在这里从一个节点到另外一个节点，在这个边上相应的都可能有流量，我就可以把这些流量都设置成是未知数，在这里一共有12条边，我把它设置成是从x1一直到x12，那么这样一来，在我们这个网络中相应的，我们就可以列出很多的等式来描述这个网络中相关的约束。整体而言，在我们的每一个节点上，都对应着一个约束。比如说在我们的这个节点上，大家们可以看到第一个小区里所有的100个人在初始的时候只能通过x1这条路径。向前行进，所以我们就得到了一个约束，这个x1就等于100非常简单，而对于第二个小区来说，相应的小区的人们可以选择走x2或者x3这两条路，那么我们就知道了这100个人可以被分流成x2和x3，这两条路上就有了x2+x3=100，那么同理对于这第三个小区的人们只能走x4这条路， x4就等于100，而对于第四个小区的人们可以分流在x5和x6，相应的我们就有x5+x6=100，

那么我们再看后续的这些节点，那么对于第二列第一个节点，大家们可以看x1和x2来的人们经过这个节点又可以分流儿进x7和x8这两个路线中，所以我们就有了这样的一个约束x7+x8相应的这个人等于x1+x2对应的人流，同理在这个节点中，大家们可以看x9这个路径上的所有的人流。汇集了来自x3、x4、x5这三个流向相应的人流，我们就有了这样的一个等式x9=x3+x4+x5，那么对于x10非常简单，它所有的人流儿都来自x6，我们就有了x10=x6，我们继续看。

那么，对于第三列第一个节点就有了x11的人流是来自x7、x9这两个路径上的人流。我们有了这样的等式 $x_{11}=x_{7} + x_{8}$ ，那么相应的这个x12这个路径上的人流就是有来自x8、x10这两个路径上的人流，最后我们知道所有的人最终都来到了这个中关村，那么在这个模型中我们最终来到中关村的总人群应该是400个人，是我们最初的四个小区，每个小区都有100个人，得到的这400个人就应该都来自x11和x12这两个路径，我们就有了x11 + x12=400这样的一个式子，那么大家可以看我们经过简单的分析了这个交通网络相应的得到了，

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这一共是十个方程，这十个方程就是我们的这个交通网络所对应的一个约束，依然是我列出了一个巨大的方程组，我用这个方程组来描述我们的整个交通网络, 当然了，大家还可以把我们的这个网络看作是一个信息的网络，那么这个100可能表示的是有100个信息包，这100个信息包最终都要汇总到某一个服务器上，那么要经过这样的网络，其实道理是一样的，我们也是需要列出这样的十个方程，我们再一次看到了我们使用方程组来描述这样的一个系统，这个系统是一个网络系统。又或者物理中的电路中的电压电流电阻的关系方程组，化学中的化学反应方程式也是一个方程组…等等

在这里已经举了足够的例子，很多同学可能在初中甚至是在小学就接触过的一个基本的概念就是线性方程组的一个简单的形式，这些例子都是在告诉我们，其实在各个领域，甚至是很前沿，很高端的领域都有着重要的应用，那么在线性代数的世界中，我们将更加系统的研究线性方程组，这是个看起来非常简单的话题，但是我们在实际的应用中使用线性方程组这种形式的话，就不像我们在小学或者初中考试那样列出两三个方程进行联立求解就好了，真实的情况在一个线性方程组中有可能未知数的数量是巨大的成百上千个，同时方程的个数也是非常多的，成百上千个，因此我们需要更加系统的手段来研究线性方程组的求解问题。那么，在线性代数中就称这样的一个线性方程组为线性系统。

系统和矩阵到底有什么关系呢？其实非常简单，大家再回忆我之前举的一个例子，我们模拟了一个小型的经济系统，我们就列出了这样的一个线性方程组

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那么这个线性方程组，现在大家就知道了，我们也可以把它看作是一个线性系统，那么对于这个线性方程组，其实大家可以看在方程组的左侧，每一个未知数的前面都有一个系数那么我就可以把这些系数综合起来，看作是一个矩阵，换句话说，这个线性方程组的左侧，我只需要使用这样的一个矩阵来代替就好了。那么，这个矩阵的每一行就表示这个方程组中的一个方程，而每一列表示的是在不同的方程中某一个未知数前面的那个系数，

在这个矩阵中，对于这四列就分别代表 $x_{it}, x_{e}, x_{m}, x_{h}$ ，这样一来，这个看起来很复杂的，令人眼花缭乱的线性方程组，它的左侧部分, 其实就是这样的一个矩阵，而右侧部分，我们直接可以拿这样的一个向量来表示，在这里大家可以很自然的看到,我们使用的是这种列向量的形式，只有这样，我们才能把这个向量给排成和这个矩阵相对应的形式，那么这一列中的每一行对应的就是这个矩阵中的相应的这一列。