理论基础

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什么是动态规划

如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的，所以动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的，例如：有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包，第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i]，每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大，动态规划中dp[j]是由dp[j-weight[i]]推导出来的，然后取max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])，但如果是贪心呢，每次拿物品选一个最大的或者最小的就完事了，和上一个状态没有关系，所以贪心解决不了动态规划的问题其实大家也不用死扣动规和贪心的理论区别，后面做做题目自然就知道了，而且很多讲解动态规划的文章都会讲最优子结构啊和重叠子问题啊这些，这些东西都是教科书的上定义，晦涩难懂而且不实用，大家知道动规是由前一个状态推导出来的，而贪心是局部直接选最优的，对于刷题来说就够用了，上述提到的背包问题，后序会详细讲解

动态规划的解题步骤

对于动态规划问题，我将拆解为如下五步曲，这五步都搞清楚了，才能说把动态规划真的掌握了！

1. 确定dp数组以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

动态规划应该如何debug

找问题的最好方式就是把dp数组打印出来，看看究竟是不是按照自己思路推导的！做动规的题目，写代码之前一定要把状态转移在dp数组的上具体情况模拟一遍，心中有数，确定最后推出的是想要的结果

509. 斐波那契数

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斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列，该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和，也就是：
F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1
给定 n ，请计算 F(n)

输入：n = 4
输出：3

动规五部曲：
这里我们要用一个一维dp数组来保存递归的结果，确定dp数组以及下标的含义，dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]，确定递推公式，为什么这是一道非常简单的入门题目呢？因为题目已经把递推公式直接给我们了：状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];dp数组如何初始化，题目中把如何初始化也直接给我们了，如下：

dp[0] = 0;
dp[1] = 1;

确定遍历顺序
从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的，举例推导dp数组，按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的

class Solution {
public:int fib(int N) {if (N <= 1) return N;vector<int> dp(N + 1);dp[0] = 0;dp[1] = 1;for (int i = 2; i <= N; i++) {dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];}return dp[N];}
};

当然可以发现，我们只需要维护两个数值就可以了，不需要记录整个序列
代码如下：

class Solution {
public:int fib(int N) {if (N <= 1) return N;int dp[2];dp[0] = 0;dp[1] = 1;for (int i = 2; i <= N; i++) {int sum = dp[0] + dp[1];dp[0] = dp[1];dp[1] = sum;}return dp[1];}
};

递归解法

class Solution {
public:int fib(int N) {if (N < 2) return N;return fib(N - 1) + fib(N - 2);}
};

70. 爬楼梯

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假设你正在爬楼梯，需要 n 阶你才能到达楼顶，每次你可以爬 1 或 2 个台阶，你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

输入：n = 3
输出：3

本题如果没有接触过的话，会感觉比较难，多举几个例子，就可以发现其规律，爬到第一层楼梯有一种方法，爬到二层楼梯有两种方法，那么第一层楼梯再跨两步就到第三层 ，第二层楼梯再跨一步就到第三层，所以到第三层楼梯的状态可以由第二层楼梯 和 到第一层楼梯状态推导出来，那么就可以想到动态规划了
我们来分析一下，动规五部曲：
定义一个一维数组来记录不同楼层的状态
1.确定dp数组以及下标的含义
dp[i]： 爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法
2.确定递推公式
如何可以推出dp[i]呢？从dp[i]的定义可以看出，dp[i] 可以有两个方向推出来，首先是dp[i - 1]，上i-1层楼梯，有dp[i - 1]种方法，那么再一步跳一个台阶不就是dp[i]了么，还有就是dp[i - 2]，上i-2层楼梯，有dp[i - 2]种方法，那么再一步跳两个台阶不就是dp[i]了么，那么dp[i]就是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和！所以dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，在推导dp[i]的时候，一定要时刻想着dp[i]的定义，否则容易跑偏这体现出确定dp数组以及下标的含义的重要性！
3.dp数组如何初始化
再回顾一下dp[i]的定义：爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法，那么i为0，dp[i]应该是多少呢，这个可以有很多解释，但基本都是直接奔着答案去解释的，例如强行安慰自己爬到第0层，也有一种方法，什么都不做也就是一种方法即：dp[0] = 1，相当于直接站在楼顶，但总有点牵强的成分，那还这么理解呢：我就认为跑到第0层，方法就是0啊，一步只能走一个台阶或者两个台阶，然而楼层是0，直接站楼顶上了，就是不用方法，dp[0]就应该是0.其实这么争论下去没有意义，大部分解释说dp[0]应该为1的理由其实是因为dp[0]=1的话在递推的过程中i从2开始遍历本题就能过，然后就往结果上靠去解释dp[0] = 1，从dp数组定义的角度上来说，dp[0] = 0 也能说得通，需要注意的是：题目中说了n是一个正整数，题目根本就没说n有为0的情况，所以本题其实就不应该讨论dp[0]的初始化！我相信dp[1] = 1，dp[2] = 2，这个初始化大家应该都没有争议的，所以我的原则是：不考虑dp[0]如何初始化，只初始化dp[1] = 1，dp[2] = 2，然后从i = 3开始递推，这样才符合dp[i]的定义
4.确定遍历顺序
从递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，遍历顺序一定是从前向后遍历的
5.举例推导dp数组
举例当n为5的时候，dp table（dp数组）应该是这样的

如果代码出问题了，就把dp table 打印出来，看看究竟是不是和自己推导的一样，此时大家应该发现了，这不就是斐波那契数列么！唯一的区别是，没有讨论dp[0]应该是什么，因为dp[0]在本题没有意义

class Solution {
public:int climbStairs(int n) {if (n <= 1) return n; // 因为下面直接对dp[2]操作了，防止空指针vector<int> dp(n + 1);dp[1] = 1;dp[2] = 2;for (int i = 3; i <= n; i++) { // 注意i是从3开始的dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];}return dp[n];}
};

746. 使用最小花费爬楼梯

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给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用，一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶，你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯，请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费

输入：cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]
输出：6

1.确定dp数组以及下标的含义
使用动态规划，就要有一个数组来记录状态，本题只需要一个一维数组dp[i]就可以了，dp[i]的定义：到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]，对于dp数组的定义，一定要清晰！
2.确定递推公式
可以有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]，dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]，dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]，那么究竟是选从dp[i - 1]跳还是从dp[i - 2]跳呢？一定是选最小的，所以dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
3.dp数组如何初始化
看一下递归公式，dp[i]由dp[i - 1]，dp[i - 2]推出，既然初始化所有的dp[i]是不可能的，那么只初始化dp[0]和dp[1]就够了，其他的最终都是dp[0]dp[1]推出，那么 dp[0] 应该是多少呢？ 根据dp数组的定义，到达第0台阶所花费的最小体力为dp[0]，那么有同学可能想，那dp[0] 应该是 cost[0]，例如 cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] 的话，dp[0] 就是 cost[0] 应该是1，这里就要说明本题力扣为什么改题意，而且修改题意之后 就清晰很多的原因了，新题目描述中明确说了 “你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。” 也就是说 到达 第 0 个台阶是不花费的，但从 第0 个台阶 往上跳的话，需要花费 cost[0]，所以初始化 dp[0] = 0，dp[1] = 0;
4.确定遍历顺序
最后一步，递归公式有了，初始化有了，如何遍历呢？本题的遍历顺序其实比较简单，简单到都忽略了思考这一步直接就把代码写出来了，因为是模拟台阶，而且dp[i]由dp[i-1]dp[i-2]推出，所以是从前到后遍历cost数组就可以了，但是稍稍有点难度的动态规划，其遍历顺序并不容易确定下来。 例如：01背包，都知道两个for循环，一个for遍历物品嵌套一个for遍历背包容量，那么为什么不是一个for遍历背包容量嵌套一个for遍历物品呢？ 以及在使用一维dp数组的时候遍历背包容量为什么要倒序呢？这些都与遍历顺序息息相关
5.举例推导dp数组
拿示例2：cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] ，来模拟一下dp数组的状态变化，如下

class Solution {
public:int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {vector<int> dp(cost.size() + 1);dp[0] = 0; // 默认第一步都是不花费体力的dp[1] = 0;for (int i = 2; i <= cost.size(); i++) {dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);}return dp[cost.size()];}
};