【AI】数学基础——高数(积分部分)

高数(函数&微分部分)

文章目录

    • 1.4 微积分
      • 1.4.1 基本思想
      • 1.4.2 定积分
        • 定义
        • 定义计算定积分
        • 定积分性质
        • 定理
        • N-L公式
        • 泰勒公式
        • 麦克劳林公式
    • 1.5 求极值
      • 1.5.1 无条件极值
      • 1.5.2 条件极值
      • 1.5.3 多条件极值
      • 1.5.4 凹函数与凸函数

1.4 微积分

用于求解速度、面积、体积等可累积量

1.4.1 基本思想

以直代曲

在这里插入图片描述

[ a , b ] [a,b] [a,b] 间插入若干点,得到 n n n 个小区间,每个小矩形面积 A i = f ( ξ i ) Δ x i ⇒ A ( a , b ) = ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i A_i=f(\xi_i)\Delta x_i\Rightarrow A_{(a,b)}=\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i Ai=f(ξi)ΔxiA(a,b)=i=1nf(ξi)Δxi

λ \lambda λ 为小区间的最大值, A = lim ⁡ λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i A=\lim_{\lambda\rightarrow 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i A=limλ0i=1nf(ξi)Δxi

记为 ∫ a b f ( x ) d x \int_{a}^b f(x)dx abf(x)dx

微分与导数关系

在这里插入图片描述

d y dy dy :切线增量

Δ y \Delta y Δy :曲线增量

导数(切线斜率): f ′ ( x ) = d y d x f'(x)=\frac{dy}{dx} f(x)=dxdy

Δ y = d y + o ( Δ x ) \Delta y=dy+o(\Delta x) Δy=dy+o(Δx)

1.4.2 定积分

定义

在这里插入图片描述

函数可积定义: f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的定积分存在时,则称 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b] 可积

几何意义:面积A

在这里插入图片描述

{ f ( x ) > 0 ∫ a b f ( x ) d x = A > 0 f ( x ) < 0 ∫ a b f ( x ) d x = − A < 0 \left\{ \begin{aligned} &f(x)>0&\int_{a}^bf(x)dx=A>0\\ &f(x)<0&\int_{a}^bf(x)dx=-A<0 \end{aligned} \right. f(x)>0f(x)<0abf(x)dx=A>0abf(x)dx=A<0

定义计算定积分

∫ 0 1 x 2 d x \int_0^1x^2dx 01x2dx :将 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1] n等分,分点为 x i = i n , ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) x_i=\frac{i}{n},(i=1,2,\cdots,n) xi=ni,(i=1,2,,n)

小区间 [ x i − 1 , x i ] [x_{i-1},x_i] [xi1,xi] 的长度 Δ x i = 1 n , ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) \Delta x_i=\frac{1}{n},(i=1,2,\cdots,n) Δxi=n1,(i=1,2,,n)

ξ i = x i \xi_i=x_i ξi=xi ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i = ∑ i = 1 n ξ i 2 Δ x i = ∑ i = 1 n ( i n ) 2 1 n = 1 n 3 ∑ i = 1 n i 2 = 1 n 3 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i=\sum_{i=1}^n\xi_i^2\Delta x_i=\sum_{i=1}^n(\frac{i}{n})^2\frac{1}{n}=\frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^ni^2=\frac{1}{n^3}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} i=1nf(ξi)Δxi=i=1nξi2Δxi=i=1n(ni)2n1=n31i=1ni2=n316n(n+1)(2n+1)

∣ Δ x ∣ → 0 ⇒ n → ∞ \vert \Delta x\vert\rightarrow 0\Rightarrow n\rightarrow \infty ∣Δx0n lim ⁡ n → ∞ ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 n 2 = 1 3 ⇒ ∫ 0 1 x 2 d x = ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i = 1 3 \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}=\frac{1}{3}\Rightarrow \int_0^1x^2dx=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i=\frac{1}{3} limn6n2(n+1)(2n+1)=3101x2dx=i=1nf(ξi)Δxi=31

定积分性质

∫ a b [ f ( x ) ± g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x ± ∫ a b g ( x ) d x \int_{a}^b[f(x)\pm g(x)]dx=\int_a^bf(x)dx\pm \int_a^bg(x)dx ab[f(x)±g(x)]dx=abf(x)dx±abg(x)dx

∫ a b k f ( x ) d x = k ∫ a b f ( x ) d x , ( k 为常数 ) \int_a^bkf(x)dx=k\int_a^bf(x)dx,(k为常数) abkf(x)dx=kabf(x)dx,(k为常数)

∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x \int_a^b{f(x)}dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx

[ a , b ] [a,b] [a,b] 上, f ( x ) ≥ 0 ⇒ ∫ a b f ( x ) d x ≥ 0 , ( a < b ) f(x)\ge 0\Rightarrow \int_a^bf(x)dx\ge 0,(a<b) f(x)0abf(x)dx0,(a<b)

定理

积分第一中值定理: f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b] 上连续,则在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上至少存在一点 ξ \xi ξ ,使 ∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) \int_a^b f(x)dx=f(\xi)(b-a) abf(x)dx=f(ξ)(ba)

在这里插入图片描述

积分上限函数: f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b] 上连续,对于定积分 ∫ a x f ( x ) d x \int_a^x f(x)dx axf(x)dx 每个取值 f ( x ) f(x) f(x) 有一个值 Φ ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t \Phi(x)=\int_a^x f(t)dt Φ(x)=axf(t)dt

N-L公式

F ( x ) F(x) F(x) 连续且未 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b] 上原函数, ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) \int_{a}^bf(x)dx =F(b)-F(a) abf(x)dx=F(b)F(a)

在这里插入图片描述

几何意义

F ( b ) − F ( a ) = ∑ Δ y i F(b)-F(a)=\sum\Delta y_i F(b)F(a)=Δyi

Δ x → 0 \Delta x\rightarrow 0 Δx0 时,有 d y i ≈ Δ y i , F ′ ( x ) = d F ( x ) d x = d y d x dy_i\approx \Delta y_i,F'(x)=\frac{dF(x)}{dx}=\frac{dy}{dx} dyiΔyi,F(x)=dxdF(x)=dxdy

∴ F ( b ) − F ( a ) = ∑ Δ y i = ∑ d y i = ∑ f ( x ) d x = ∫ a b f ( x ) d x \therefore\quad F(b)-F(a)=\sum\Delta y_i=\sum dy_i=\sum f(x)dx=\int_a^bf(x)dx F(b)F(a)=Δyi=dyi=f(x)dx=abf(x)dx

基本公式

∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) ⏟ 积分中值定理 = F ′ ( ξ ) ( b − a ) ⏟ 微分中值定理 = F ( b ) − F ( a ) \underbrace{\int_{a}^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)}_{积分中值定理}=\underbrace{F'(\xi)(b-a)}_{微分中值定理}=F(b)-F(a) 积分中值定理 abf(x)dx=f(ξ)(ba)=微分中值定理 F(ξ)(ba)=F(b)F(a)

泰勒公式

以直代曲:多项式代替原函数

常用泰勒公式

在这里插入图片描述

x → 0 x\rightarrow 0 x0 时, e x ≈ 1 + x e^x\approx 1+x ex1+x l n ( 1 + x ) ≈ x ln(1+x)\approx x ln(1+x)x


P n ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) 2 2 ! + f ′ ′ ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) 3 3 ! + ⋯ + f ( n ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) n n ! P_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+f''(x_0)\frac{(x-x_0)^2}{2!}+f'''(x_0)\frac{(x-x_0)^3}{3!}+\cdots+f^{(n)}(x_0)\frac{(x-x_0)^n}{n!} Pn(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+f′′(x0)2!(xx0)2+f′′′(x0)3!(xx0)3++f(n)(x0)n!(xx0)n

导数作用

  • 一阶导作用:确定上升/下降趋势

    在这里插入图片描述

  • 二阶导作用:确定弯曲方向(凹凸性)

    在这里插入图片描述

阶越高,增长速度越快

低阶能更好描述当前点,阶越高在右侧影响越大

在这里插入图片描述

阶乘作用

在低阶,保证 x 5 , x 6 x^5,x^6 x5,x6 次项作用(高次项) x + x 2 2 ! + ⋯ + x 5 5 ! x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^5}{5!} x+2!x2++5!x5

在高阶,保证 x , x 2 x,x^2 x,x2 次项作用(低次项)

若无阶乘,高阶压制低阶,函数呈高次项特性

如: x 9 + x 2 x^9+x^2 x9+x2

在这里插入图片描述

引入阶乘,图像先呈现 x 2 x^2 x2 特性,再呈现 x 9 x^9 x9 特性

在这里插入图片描述

x x x 小时, 1 9 ! \frac{1}{9!} 9!1 可限制 x 9 x^9 x9

x x x 增加, 1 9 ! \frac{1}{9!} 9!1 作用变小,无法再限制 x 9 x^9 x9

麦克劳林公式

f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ′ ′ ( 0 ) x 2 2 ! + ⋯ + f ( n ) x n n ! + f ( n + 1 ) ( θ x ) x ( n + 1 ) ( n + 1 ) ! , 0 < θ < 1 f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)\frac{x^2}{2!}+\cdots+f^{(n)}\frac{x^n}{n!}+f^{(n+1)}(\theta x)\frac{x^{(n+1)}}{(n+1)!},0<\theta < 1 f(x)=f(0)+f(0)x+f′′(0)2!x2++f(n)n!xn+f(n+1)(θx)(n+1)!x(n+1),0<θ<1

  • s i n x = f ′ ( 0 ) x − x 3 3 ! f ( 3 ) ( 0 ) + x 5 5 ! f ( 5 ) ( 0 ) − ⋯ = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! + ⋯ + ( − 1 ) ( n − 1 ) x ( 2 n − 1 ) 2 n − 1 sinx=f'(0)x-\frac{x^3}{3!}f^{(3)}(0)+\frac{x^5}{5!}f^{(5)}(0)-\cdots=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^{(n-1)}\frac{x^{(2n-1)}}{2n-1} sinx=f(0)x3!x3f(3)(0)+5!x5f(5)(0)=x3!x3+5!x5++(1)(n1)2n1x(2n1)

    R n + 1 = ( − 1 ) n c o s ( θ x ) ( 2 n + 1 ) ! x ( 2 n + 1 ) , ( 0 < θ < 1 ) R_{n+1}=(-1)^{n}\frac{cos(\theta x)}{(2n+1)!}x^{(2n+1)},(0<\theta < 1) Rn+1=(1)n(2n+1)!cos(θx)x(2n+1),(0<θ<1)

1.5 求极值

1.5.1 无条件极值

z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) P 0 P_0 P0 邻域内连续,且有一阶、二阶偏导数,求 z z z 在邻域内的极值

求解

f x ( x , y ) = 0 , f y ( x , y ) = 0 ⇒ P 0 ( x 0 , y 0 ) f_x(x,y)=0,f_y(x,y)=0\Rightarrow P_0(x_0,y_0) fx(x,y)=0fy(x,y)=0P0(x0,y0)

A = f x x ( x , y ) ∣ P 0 A=f_{xx}(x,y)\vert _{P_0} A=fxx(x,y)P0 B = f x y ( x , y ) ∣ P 0 B=f_{xy}(x,y)\vert_{P_0} B=fxy(x,y)P0 C = f y y ( x , y ) ∣ P 0 C=f_{yy}(x,y)\vert_{P_0} C=fyy(x,y)P0

  • A C − B 2 > 0 AC-B^2>0 ACB2>0 ,则 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) P 0 P_0 P0 处为极值点
    • A > 0 A>0 A>0 ,则为极小值
    • A < 0 A<0 A<0 ,则为极大值
  • A C − B 2 < 0 AC-B^2<0 ACB2<0 ,则 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) P 0 P_0 P0 处不是极值点
  • A C − B 2 = 0 AC-B^2=0 ACB2=0 ,待定

1.5.2 条件极值

x , y x,y x,y 满足 φ ( x , y ) = 0 φ ( x , y ) = 0 \varphi(x,y)=0\varphi(x,y)=0 φ(x,y)=0φ(x,y)=0 , 求 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) 的极值

在这里插入图片描述

φ ( x , y ) = 0 \varphi(x,y)=0 φ(x,y)=0 x o y xoy xoy 面上的曲线,将 φ ( x , y ) = 0 \varphi(x,y)=0 φ(x,y)=0 投影到曲面 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) 上,有曲线 Γ ( x , y , z ) \Gamma(x,y,z) Γ(x,y,z)

在曲线 Γ \Gamma Γ 上找极值点为一个无条件极值问题,故用一个独立参数 t t t 表示曲线 Γ \Gamma Γ 不受任何约束,即 { x = x ( t ) y = y ( t ) \left\{\begin{aligned}x=x(t)\\y=y(t)\end{aligned}\right. {x=x(t)y=y(t) ,有 z = { x ( t ) , y ( t ) } ⇒ z = z ( t ) z=\{x(t),y(t)\}\Rightarrow z=z(t) z={x(t),y(t)}z=z(t)


极值条件:
{ d z d t = 0 ⟺ ∂ z ∂ x x ′ ( t ) + ∂ z ∂ y y ′ ( t ) = 0 d φ d t = 0 ⟺ ∂ φ ∂ x x ′ ( t ) + ∂ φ ∂ y y ′ ( t ) = 0 ⇒ y ′ ( t ) = − ∂ φ ∂ x ∂ φ ∂ y x ′ ( t ) [ ∂ z ∂ x − ∂ z ∂ y ∂ φ ∂ x ∂ φ ∂ y ] x ′ ( t ) = 0 [ ∂ z ∂ x ∂ φ ∂ y − ∂ z ∂ y ∂ ϕ ∂ x ] x ′ ( t ) = 0 ⟺ ( ∂ z ∂ x , ∂ z ∂ y ) ⋅ ( ∂ φ ∂ y , − ∂ φ ∂ x ) = 0 ⟺ ▽ z ( x , y ) ⋅ ( ∂ φ ∂ y , − ∂ φ ∂ x ) = 0 \begin{aligned} \left\{ \begin{aligned} \frac{dz}{dt}=0\iff \frac{\partial z}{\partial x}x'(t)+\frac{\partial z}{\partial y}y'(t)=0\\ \frac{d\varphi}{dt}=0\iff \frac{\partial \varphi}{\partial x}x'(t)+\frac{\partial \varphi}{\partial y}y'(t)=0 \end{aligned} \right.\\ \xRightarrow{y'(t)=-\frac{\frac{\partial \varphi}{\partial x}}{\frac{\partial \varphi}{\partial y}}x'(t)} \left[\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\frac{\partial \varphi}{\partial x}}{\frac{\partial \varphi}{\partial y}}\right]x'(t)=0\\ \left[\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial \varphi}{\partial y}-\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial \phi}{\partial x}\right]x'(t)=0\\ \iff\left(\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}\right)\cdot\left(\frac{\partial \varphi}{\partial y},-\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)=0\\ \iff \bigtriangledown z(x,y) \cdot \left(\frac{\partial \varphi}{\partial y},-\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)=0 \end{aligned} dtdz=0xzx(t)+yzy(t)=0dtdφ=0xφx(t)+yφy(t)=0y(t)=yφxφx(t) [xzyzyφxφ]x(t)=0[xzyφyzxϕ]x(t)=0(xz,yz)(yφ,xφ)=0z(x,y)(yφ,xφ)=0
显然,有 ( ∂ φ ∂ y , − ∂ φ ∂ x ) \left(\frac{\partial \varphi}{\partial y},-\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right) (yφ,xφ) ▽ ϕ = ( ∂ φ ∂ x , ∂ φ ∂ y ) \bigtriangledown \phi=\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x},\frac{\partial \varphi}{\partial y}\right) ϕ=(xφ,yφ) 垂直

故可得结论:极值点处满足 ▽ z \bigtriangledown z z ▽ φ \bigtriangledown \varphi φ 共线,即 ▽ z + λ ▽ φ = 0 ⇒ ▽ [ z ( x , y ) + λ φ ( x , y ) ] = 0 \bigtriangledown z+\lambda \bigtriangledown \varphi=0\Rightarrow \bigtriangledown\left[z(x,y)+\lambda\varphi(x,y)\right]=0 z+λφ=0[z(x,y)+λφ(x,y)]=0
限制条件 : φ ( x , y ) = 0 限制条件下的无条件极值 : f x ( x , y ) + λ φ x ( x , y ) = 0 f y ( x , y ) + λ φ y ( x , y ) = 0 } ⇒ { x 0 = y 0 = λ = ∴ ( x 0 , y 0 ) 为 z = f ( x , y ) 在条件 φ ( x , y ) = 0 下的极值点 \begin{aligned} &\left. \begin{aligned} &限制条件:\varphi(x,y)=0\\ &限制条件下的无条件极值:\\ &\quad f_x(x,y)+\lambda\varphi_x(x,y)=0\\ &\quad f_y(x,y)+\lambda\varphi_y(x,y)=0\\ \end{aligned} \right\} \Rightarrow\left\{ \begin{aligned} x_0=\\y_0=\\\lambda= \end{aligned} \right.\\ &\therefore (x_0,y_0) 为 z=f(x,y)在条件 \varphi(x,y)=0下的极值点 \end{aligned} 限制条件:φ(x,y)=0限制条件下的无条件极值:fx(x,y)+λφx(x,y)=0fy(x,y)+λφy(x,y)=0 x0=y0=λ=(x0,y0)z=f(x,y)在条件φ(x,y)=0下的极值点

1.5.3 多条件极值

u = f ( x , y , z , t ) u=f(x,y,z,t) u=f(x,y,z,t) 在条件 φ ( x , y , z , t ) = 0 , ψ ( x , y , z , t ) = 0 \varphi(x,y,z,t)=0,\psi(x,y,z,t)=0 φ(x,y,z,t)=0,ψ(x,y,z,t)=0 下的极值,构造函数 F ( x , y , z , t ) = f ( x , y , z , t ) + λ 1 φ ( x , y , z , t ) + λ 2 ψ ( x , y , z , t ) F(x,y,z,t)=f(x,y,z,t)+\lambda_1\varphi(x,y,z,t)+\lambda_2\psi(x,y,z,t) F(x,y,z,t)=f(x,y,z,t)+λ1φ(x,y,z,t)+λ2ψ(x,y,z,t)

eg1

u = x 3 y 2 z , x + y + z = 12 u=x^3y^2z,x+y+z=12 u=x3y2z,x+y+z=12 ,求最大值

构造拉格朗日函数 F ( x , y , z , t ) = x 3 y 2 z + λ ( x + y + z − 12 ) = 0 F(x,y,z,t)=x^3y^2z+\lambda(x+y+z-12)=0 F(x,y,z,t)=x3y2z+λ(x+y+z12)=0

{ F x ′ = 3 x 2 y 2 z + λ = 0 F y ′ = 2 x 3 y z + λ = 0 F z ′ = x 3 y 2 + λ = 0 x + y + z = 12 ⇒ { x 0 = 6 y 0 = 4 z 0 = 2 \left\{\begin{aligned}&F_x'=3x^2y^2z+\lambda=0\\&F_y'=2x^3yz+\lambda=0\\&F_z'=x^3y^2+\lambda=0\\&x+y+z=12\end{aligned}\right.\Rightarrow \left\{\begin{aligned}x_0=6\\y_0=4\\z_0=2\end{aligned}\right. Fx=3x2y2z+λ=0Fy=2x3yz+λ=0Fz=x3y2+λ=0x+y+z=12 x0=6y0=4z0=2

1.5.4 凹函数与凸函数

已知两点 ( x , f ( x ) ) (x,f(x)) (x,f(x)) ( y , f ( y ) ) (y,f(y)) (y,f(y)) ,验证 f ( t x + ( 1 − t ) y ) ≤ t f ( x ) + ( 1 − t ) f ( y ) , t ∈ ( 0 , 1 ] f(tx+(1-t)y)\le tf(x)+(1-t)f(y),t\in (0,1] f(tx+(1t)y)tf(x)+(1t)f(y)t(0,1] ,则 f ( z ) f(z) f(z) 为凸函数

在这里插入图片描述

设直线 L ( z ) L(z) L(z) Y − f ( x ) = f ( y ) − f ( x ) y − x ( X − x ) Y-f(x)=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}(X-x) Yf(x)=yxf(y)f(x)(Xx)

[ x , y ] [x,y] [x,y] 中间的任一点横坐标可表示为 t x + ( 1 − t ) y tx+(1-t)y tx+(1t)y ,代入后直线方程可得 Y = f ( y ) − f ( x ) y − x [ t x + ( 1 − t ) y − x ] + f ( x ) = f ( y ) − f ( x ) y − x ( 1 − t ) ( y − x ) + f ( x ) = t f ( x ) + ( 1 − t ) f ( y ) Y=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}[tx+(1-t)y-x]+f(x)=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}(1-t)(y-x)+f(x)=tf(x)+(1-t)f(y) Y=yxf(y)f(x)[tx+(1t)yx]+f(x)=yxf(y)f(x)(1t)(yx)+f(x)=tf(x)+(1t)f(y)

若某一自变量曲线上值 f ( z ) f(z) f(z) 小于直线上值 L ( z ) L(z) L(z) , 即满足 f ( t x + ( 1 − t ) y ) ≤ t f ( x ) + ( 1 − t ) f ( y ) , t ∈ ( 0 , 1 ] f(tx+(1-t)y)\le tf(x)+(1-t)f(y),t\in (0,1] f(tx+(1t)y)tf(x)+(1t)f(y)t(0,1] ,函数 f ( z ) f(z) f(z) 为凸函数

易于沿梯度寻找最优值,作为激活函数

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.rhkb.cn/news/111642.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系长河编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

vue3+ts+tinynce富文本编辑器+htmlDocx+file-saver 配合实现word下载

vue3 请下载html-docx-js-typescript&#xff0c;否则会报错类型问题 //报告导出word import * as htmlDocx from "html-docx-js-typescript";//ts-ignore import { saveAs } from file-saver// 下载文件&#xff0c; const downloadFile (row)> {try {const co…

得物一面,场景题问得有点多!

题目来源&#xff1a;https://www.nowcoder.com/discuss/525371909735792640 前文 本期是【捞捞面经】系列文章的第 1 期&#xff0c;持续更新中…。 《捞捞面经》系列正式开始连载啦&#xff0c;据说看了这个系列的朋友都拿到了大厂offer~ 欢迎星标订阅&#xff0c;持续更新…

服务器端使用django websocket,客户端使用uniapp 请问服务端和客户端群组互发消息的代码怎么写的参考笔记

2023/8/29 19:21:11 服务器端使用django websocket,客户端使用uniapp 请问服务端和客户端群组互发消息的代码怎么写 2023/8/29 19:22:25 在服务器端使用Django WebSocket和客户端使用Uniapp的情况下&#xff0c;以下是代码示例来实现服务器端和客户端之间的群组互发消息。 …

Redis——》Pipeline

推荐链接&#xff1a; 总结——》【Java】 总结——》【Mysql】 总结——》【Redis】 总结——》【Kafka】 总结——》【Spring】 总结——》【SpringBoot】 总结——》【MyBatis、MyBatis-Plus】 总结——》【Linux】 总结——》【MongoD…

15-mongodb

一、 MongoDB 简介 1 什么是 MongoDB MongoDB 是一个基于分布式文件存储的数据库。由 C语言编写。在为 WEB 应用提供可扩展的高性能数据存储解决方案。 MongoDB 是一个介于关系数据库和非关系数据库之间的产品&#xff0c;是非关系数据库当中功能最丰富&#xff0c;最像关系…

ChatGPT⼊门到精通(4):ChatGPT 为何⽜逼

⼀、通⽤型AI 在我们原始的幻想⾥&#xff0c;AI是基于对海量数据的学习&#xff0c;锻炼出⼀个⽆所不知⽆所不能的模 型&#xff0c;并借助计算机的优势&#xff08;计算速度、并发可能&#xff09;等碾压⼈类。 但我们⽬前的AI&#xff0c;不管是AlphaGo还是图像识别算法&am…

生活类书单视频如何做?几个步骤轻松拿捏

生活类书单视频是一种很受欢迎的内容形式&#xff0c;它可以帮助观众了解各种生活类书籍&#xff0c;并提供一些有用的信息。在制作生活类书单视频时&#xff0c;我们需要注意几个步骤&#xff0c;以确保视频内容的质量和专业性。 首先&#xff0c;我们需要选择适合的书单背景。…

R语言绘图相关函数(含实例)

目录 plot:可用于创建多种类型的图形 dev.new():新建画板 hist&#xff1a;绘制直方图 dotchart&#xff1a;绘制点图的函数 pie:绘制饼图 pair&#xff1a;绘制散点图矩阵 boxplot&#xff1a;绘制箱线图 scatterplot3D&#xff1a; 绘制三维散点图 par&#xff1a;修…

Maven导入包

有些时候maven导入不进去包&#xff0c;这个时候可以去直接去maven仓库找到你需要的包 https://mvnrepository.com/ 在自己本地输入命令 &#xff08;这只是一个样例&#xff0c;请根据自己需要的包参考&#xff09; mvn install:install-file -Dfile"C:/Users//Downloa…

【Docker】Docker网络与存储(三)

前言&#xff1a; Docker网络与存储的作用是实现容器之间的通信和数据持久化&#xff0c;以便有效地部署、扩展和管理容器化应用程序。 文章目录 Docker网络桥接网络容器之间的通信 覆盖网络创建一个覆盖网络 Docker存储卷 总结 Docker网络 Docker网络是在容器之间提供通信的机…

Java之SpringCloud Alibaba【五】【微服务 Sentinel整合openfeign进行降级】

一、Sentinel整合openfeign 1、复制一下order-openfeign项目&#xff08;创建order-openfeign-sentinel&#xff09; 然后在stock-nacos当中编写对应的接口 RequestMapping("/reduct2")public String reduct2(){int a 1/0;System.out.println("扣减库存"…

使用安全复制命令scp在Windows系统和Linux系统之间相互传输文件

现在已经有很多远程控制服务器的第三方软件平台&#xff0c;比如FinalShell&#xff0c;MobaXterm等&#xff0c;半可视化界面&#xff0c;使用起来非常方便和友好&#xff0c;两个系统之间传输文件直接拖就行&#xff0c;当然也可以使用命令方式在两个系统之间相互传递。 目录…

计算机毕设 基于深度学习的植物识别算法 - cnn opencv python

文章目录 0 前言1 课题背景2 具体实现3 数据收集和处理3 MobileNetV2网络4 损失函数softmax 交叉熵4.1 softmax函数4.2 交叉熵损失函数 5 优化器SGD6 最后 0 前言 &#x1f525; 这两年开始毕业设计和毕业答辩的要求和难度不断提升&#xff0c;传统的毕设题目缺少创新和亮点&a…

AndroidStudio3.5.2修改项目项目包名

公司项目要打造成产品进行演示&#xff0c;需要更换不同的包名进行安装在同一设备上&#xff0c;即所谓的马甲包 更改步骤基本一样 https://blog.csdn.net/qq_35270692/article/details/78336049 需要注意的是&#xff0c;按照上边的步骤修改完后&#xff0c;如果项目中有数据…

秒懂算法2

视频链接 : 希望下次秒懂的是算法题_哔哩哔哩_bilibili P1094 [NOIP2007 普及组] 纪念品分组 原题链接 : [NOIP2007 普及组] 纪念品分组 - 洛谷 思路 : 排序 贪心 双指针首先先对输入进来的数组进行排序(由小到大)运用贪心的思想 : 前后结合,令l1,rn,若a[l]a[r]<w…

开发智能应用的新范式:大数据、AI和云原生如何构建智能软件

文章目录 1.利用大数据实现智能洞察2. 集成人工智能和机器学习3. 云原生架构的弹性和灵活性4. 实现实时处理和响应5. 数据安全和隐私保护6. 可解释性和透明性7. 持续创新和迭代8. 数据伦理和合规性 &#x1f388;个人主页&#xff1a;程序员 小侯 &#x1f390;CSDN新晋作者 &a…

macOS使用命令行连接Oracle(SQL*Plus)

Author: histonevonzohomail.com Date: 2023/08/25 文章目录 SQL\*Plus安装下载环境配置 SQL\*Plus远程连接数据库参考文献 原文地址&#xff1a;https://histonevon.top/archives/oracle-mac-sqlplus数据库安装&#xff1a;Docker安装Oracle数据库 (histonevon.top) SQL*Plus…

安防视频监控/视频集中存储/云存储平台EasyCVR无法播放HLS协议该如何解决?

视频云存储/安防监控EasyCVR视频汇聚平台基于云边端智能协同&#xff0c;支持海量视频的轻量化接入与汇聚、转码与处理、全网智能分发、视频集中存储等。音视频流媒体视频平台EasyCVR拓展性强&#xff0c;视频能力丰富&#xff0c;具体可实现视频监控直播、视频轮播、视频录像、…

继承AndroidView Model的错误

ViewModelProvider(this)[RegisterViewModel::class.java] 一行简单的代码&#xff0c;总是报这个错误 Caused by: java.lang.NoSuchMethodException: com.xinfa.registerlogin.viewmodel.LoginViewModel. [class android.app.Application] 经过一下午的思索&#xff0c;终于找…

查看edge浏览器插件的安装位置

C:\Users\zhang\AppData\Local\Microsoft\Edge\User Data\Default\Extensions 这是我的目录&#xff0c;把中间的的替换成你的电脑用户名就可以了 你也可以先输入目录的部分名称&#xff0c;下拉找对应的目录