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一.邻接矩阵
1.无向图编辑
2.有向图
补充:网(有权图)的邻接矩阵表示法
二.邻接表
1.无向图
2.有向图
三.邻接矩阵与邻接表的关系
一.邻接矩阵
1.无向图
(1)对角线上是每一个顶点与自身之间的关系,没有到自身的边,所以对角线上为0
(2)无向图的邻接矩阵是对称的
两个顶点之间如果有边的话,那么两个顶点互为邻接关系,值为1
(3)顶点i的度=第i行(列)中1的个数
注:完全图的邻接矩阵,对角元素为0,其余为1
2.有向图
(1)在有向图的邻接矩阵中
第i行含义:以结点为尾的弧(即出度边)
顶点的出度=第i行元素之和
第i列含义:以结点为头的弧(即入度边)
顶点的入度=第i列元素之和
顶点的度=第i行元素之和+第i列元素之和
(2)有向图的邻接矩阵可能是不对称的
补充:网(有权图)的邻接矩阵表示法
邻接矩阵存储
#define MaxInt 32767
#define MVNum 100 //最大顶点数
typedef char VerTexType; //设顶点的数据类型为字符型
typedef int ArcType; //假设边的权值类型为整型typedef struct{VerTex vex[MVNum]; //顶点表ArcType arcs[MVNum][MVNum]; //邻接矩阵int vexnum,arcnum; //图的当前点数和边数
}AMGraph;
以无向网为例
int LocateVex(AMGraph G,VertexType u)
{
//查找图G中的顶点u,存在则返回顶点表中的下标;否则返回-1int i;for(i=0;i<G.vexnum;++i)//有几条边就循环多少次{if(u==G.vexs[i])return i;return -1;}
}Status CreateUDN(AMGraph &G)
{int i;cin>>G.vexnum>>G.arcnum;//总顶点,总边数for(i=0;i<G.vexnum;++i)cin>>G.vexs[i];//依次输入点的信息for(i=0;i<G.vexnum;++i)//初始化邻接矩阵{for(int j=0;j<G.vexnum;++j){G.arcs[i][j]=MaxInt;//边的权值均置为极大值}}for(int k=0;k<G.arcnum;++k)//构造邻接矩阵{cin>>v1>>v2>>w;//输入一条边所依附的顶点以及边的权值i=LocateVex(G,v1);j=LocateVex(G,v2);//确定v1,v2在G中的位置G.arcs[i][j]=w;//边<v1,v2>的权值置wG.arcs[j][i]=G.arcs[i][j];//<v1,v2>的对称边<v2,v1>的权值也为w}return OK;
}
无向图,有向网,有向图与无向网是类似的
•对于无向图而言,其与无向网相比没有权值
初始化邻接矩阵时,w=0 ,构建邻接矩阵时,w=1
Status CreateUDG(AMGraph &G)
{int i;cin>>G.vexnum>>G.arcnum;//总顶点,总边数for(i=0;i<G.vexnum;++i)cin>>G.vexs[i];//依次输入点的信息for(i=0;i<G.vexnum;++i)//初始化邻接矩阵{for(int j=0;j<G.vexnum;++j){G.arcs[i][j]=0;//边的权值均置为0}}for(int k=0;k<G.arcnum;++k)//构造邻接矩阵{cin>>v1>>v2;//输入一条边所依附的顶点int w=1;//1表示连接、0表示无连接i=LocateVex(G,v1);j=LocateVex(G,v2);//确定v1,v2在G中的位置G.arcs[i][j]=w;//边<v1,v2>的权值置wG.arcs[j][i]=G.arcs[i][j];//<v1,v2>的对称边<v2,v1>的权值也为w}return OK;
}
•对于有向网而言,与无向网不同的是,其每一条弧,都是从一个顶点指向另外一个顶点的
仅为G.arcs[i][j]赋值,不为G.arcs[j][i]赋值
Status CreateDN(AMGraph &G)
{int i;cin>>G.vexnum>>G.arcnum;//总顶点,总边数for(i=0;i<G.vexnum;++i)cin>>G.vexs[i];//依次输入点的信息for(i=0;i<G.vexnum;++i)//初始化邻接矩阵{for(int j=0;j<G.vexnum;++j){G.arcs[i][j]=MaxInt;//边的权值均置为极大值}}for(int k=0;k<G.arcnum;++k)//构造邻接矩阵{cin>>v1>>v2>>w;//输入一条边所依附的顶点以及边的权值i=LocateVex(G,v1);j=LocateVex(G,v2);//确定v1,v2在G中的位置G.arcs[i][j]=w;//边<v1,v2>的权值置w}return OK;
}
•对于有向图而言,只需要将无向图和有向网的修改结合一下就行
没有权值,连接两个顶点的边是弧
Status CreateDG(AMGraph &G)
{int i;cin>>G.vexnum>>G.arcnum;//总顶点,总边数for(i=0;i<G.vexnum;++i)cin>>G.vexs[i];//依次输入点的信息for(i=0;i<G.vexnum;++i)//初始化邻接矩阵{for(int j=0;j<G.vexnum;++j){G.arcs[i][j]=0;//边的权值均置为0}}for(int k=0;k<G.arcnum;++k)//构造邻接矩阵{cin>>v1>>v2;//输入一条边所依附的顶点int w=1;//1表示连接、0表示无连接i=LocateVex(G,v1);j=LocateVex(G,v2);//确定v1,v2在G中的位置G.arcs[i][j]=w;//边<v1,v2>的权值置w}return OK;
}
邻接矩阵的优点
•方便检查任意一对顶点间是否存在边
•方便找任一顶点的所有“邻接点”(有边直接相连的顶点)
•方便计算任一顶点的“度”(从该点发出的边数为“出度”,指向该点的边数为“入度”)
•无向图:对应行 (或列)非0元素的个数
•有向图:对应行非0元素的个数是“出度”;对应列非0元素的个数是“入度
邻接矩阵的缺点
•不便于增加和删除顶点
•邻接矩阵的空间复杂度为O(),跟其有的边的条数无关,只与其顶点数有关,无论边少还是边多,空间复杂度都为O(),浪费空间----存稀疏图(点很多而边很少)有大量无效元素
•浪费时间----统计稀疏图中一共有多少条边,因为必须遍历所有元素
二.邻接表
1.无向图
顶点:按编号顺序存储在一维数组中
这里的一维数组和邻接矩阵中的一维数组不同,数组中每个元素有两个成员
第一个是数据元素的信息,第二个是指针,存储的是第一个边的地址
关联同一顶点的边:用线性链表存储,例如3,表示邻接的顶点是下标为3的元素(v4)
如果有边\弧的信息,还可以在表结点中增加一项
第一个表示邻接点在顶点表中的序号
第二个元素是一个指针,指向的是下一条边(弧)
第三个元素表示边的信息(权值)
(1)邻接表是不唯一
例如“v1”指针指向的是邻接点v4和v2的下标,分别为3,1,这些边的顺序是可以改变的。
(2)若无向图中有n个顶点,e条边,则其邻接表需n个头结点和2e个表结点,适宜存储稀疏图。
使用每条边时会出现两次,从v1到v2和从v2到v1用的是同一条边,所以有e条边,就有2e个表结点
所以无向图的存储空间为O(n+2e):n表示点,2e表示边
有向图的存储空间为O(n+e)
注对于邻接矩阵而言,存储空间为O(),所以邻接表在存储稀疏图时比较节省空间
(3)无向图中顶点的度为第i个单链表中的结点数
•顶点的存储结构
typedef struct VNode
{VerTexType data; //顶点信息ArcNode *firstarc; //指向第一条依附该顶点的边的指针
}VNode,AdjList[MVNum];
注:AdjList[MVNum]==VNnode v[MVNum]
•弧(边)的结点结构
#define MVNum 100 //最大顶点数
typedef struct ArcNode //边结点
{int adjvex; //该边所指向的顶点的位置struct ArcNode *nextarc; //指向下一条边的指针OtherInfo info; //和边相关的信息(权值等)
}ArcNode;
•图的结构定义
typedef struct
{AdjList vertices; //存放各个顶点的数组int vexnum, arcnum; //图的当前顶点数和弧数
}ALGraph;
•邻接表操作举例说明
ALGraph G; //定义了邻接表表示的图G
G.vexnum = 5; G.arcnum = 6; //图G中包含5个顶点,6条边
G.vertices[1].data = 'b'; //图G中的第2个顶点是b
p = G.vertices[1].firstarc; //指针p指向顶点b的第一条边结点
p->adjvex = 4; //指针p所指边结点是到下标为4的结点的边
2.有向图
(1)顶点的出度为第i个单链表中的结点个数
(2)顶点的入度为整个单链表中邻接点域值是(i-1)的结点个数
根据以上结论,可以看出对于这样的每一个顶点存储出度边的有向图而言,找出度是容易的,找入度则比较难,例如,找终点为v1的边,那么就需要遍历所有边结点,找到邻结点为0的入度边
也可以每一个顶点存储其入度边,如下图:逆邻接表
和邻接表的结论相反:找入度容易,找出度难
(1)顶点的入度为第i个单链表中的结点个数
(2)顶点的出度为整个单链表中邻接点域值是(i-1)的结点个数
例题:画出该邻接表对应的网络图
结果如下
用邻接表创建无向图
int LocateVex(AMGraph G,VertexType u)
{
//查找图G中的顶点u,存在则返回顶点表中的下标;否则返回-1int i;for(i=0;i<G.vexnum;++i)//有几条边就循环多少次{if(u==G.vexs[i])return i;return -1;}
}Status CreateUDG(ALGraph &G)
{int i, j, k;cin >> G.vexnum >> G.arcnum; // 输入总顶点数,总边数for (i = 0; i < G.vexnum; ++i) // 输入各点,构造表头(顶点)节点表{cin >> G.vertices[i].data; // 输入顶点值G.vertices[i].firstarc = NULL; // 初始化表头结点的指针域}for (k = 0; k < G.arcnum; ++k) // 输入各边,构造邻接表{int v1, v2;cin >> v1 >> v2; // 输入一条边依附的两个顶点i = LocateVex(G, v1);j = LocateVex(G, v2);ArcNode* p1 = new ArcNode; // 生成一个新的边结点*p1p1->adjvex = j; // 邻接点序号为jp1->nextarc = G.vertices[i].firstarc;G.vertices[i].firstarc = p1; // 将新结点*p1插入顶点vi的边表头部(头插法)ArcNode* p2 = new ArcNode; // 生成一个新的边结点*p2p2->adjvex = i; // 邻接点序号为ip2->nextarc = G.vertices[j].firstarc;G.vertices[j].firstarc = p2; // 将新结点*p2插入顶点vj的边表头部(头插法)}return OK;
}
这里的头插法特别解释一下
p1->nextarc = G.vertices[i].firstarc;
G.vertices[i].firstarc = p1; //将新结点*p1插入顶点vi的边表头部(头插法)
用邻接表创建有向图
只需将边改为弧,将以下代码去掉
p2 = new ArcNode; //生成一个新的边结点*p2
p2->adjvex = i; //邻接点序号为i
p2->nextarc = G.vertices[j].firstarc;
G.vertices[j].firstarc = p2; //将新结点*p2插入顶点vj的边表头部(头插法)
Status CreateDG(ALGraph &G)
{cin >> G.vexnum >> G.arcnum; // 输入总顶点数,总边数for (int i = 0; i < G.vexnum; ++i) // 输入各点,构造表头(顶点)节点表{cin >> G.vertices[i].data; // 输入顶点值G.vertices[i].firstarc = NULL; // 初始化表头结点的指针域}for (int k = 0; k < G.arcnum; ++k) // 输入各边,构造邻接表{int v1, v2;cin >> v1 >> v2; // 输入一条边依附的两个顶点int i = LocateVex(G, v1);int j = LocateVex(G, v2);ArcNode* p = new ArcNode; // 生成一个新的边结点*pp->adjvex = j; // 邻接点序号为jp->nextarc = G.vertices[i].firstarc; G.vertices[i].firstarc = p; // 将新结点*p插入顶点vi的边表头部(头插法)}return OK;
}
用邻接表创建有向网
只需加入weight(权重值即可)
cin >> v1 >> v2 >> weight;
p->info=weight;
Status CreateWeightedDN(ALGraph &G)
{cin >> G.vexnum >> G.arcnum; // 输入总顶点数,总边数for (int i = 0; i < G.vexnum; ++i) // 输入各点,构造表头(顶点)节点表{cin >> G.vertices[i].data; // 输入顶点值G.vertices[i].firstarc = NULL; // 初始化表头结点的指针域}for (int k = 0; k < G.arcnum; ++k) // 输入各边,构造邻接表{int v1, v2, weight;cin >> v1 >> v2 >> weight; // 输入一条边依附的两个顶点和权值int i = LocateVex(G, v1);int j = LocateVex(G, v2);ArcNode* p = new ArcNode; // 生成一个新的边结点*pp->adjvex = j; // 邻接点序号为jp->info = weight; // 边的权值为weightp->nextarc = G.vertices[i].firstarc; G.vertices[i].firstarc = p; // 将新结点*p插入顶点vi的边表头部(头插法)}return OK;
}
用邻接表创建无向网
只需在无向图的基础上加入weight(权重值即可)
cin >> v1 >> v2 >> weight;
p1->info=weight;
p2->info=weight;
Status CreateWeightedUDN(ALGraph &G)
{cin >> G.vexnum >> G.arcnum; // 输入总顶点数,总边数for (int i = 0; i < G.vexnum; ++i) // 输入各点,构造表头(顶点)节点表{cin >> G.vertices[i].data; // 输入顶点值G.vertices[i].firstarc = NULL; // 初始化表头结点的指针域}for (int k = 0; k < G.arcnum; ++k) // 输入各边,构造邻接表{int v1, v2, weight;cin >> v1 >> v2 >> weight; // 输入一条边依附的两个顶点和权值int i = LocateVex(G, v1);int j = LocateVex(G, v2);ArcNode* p1 = new ArcNode; // 生成一个新的边结点*p1p1->adjvex = j; // 邻接点序号为jp1->info = weight; // 边的权值为weightp1->nextarc = G.vertices[i].firstarc;G.vertices[i].firstarc = p1; // 将新结点*p1插入顶点vi的边表头部(头插法)ArcNode* p2 = new ArcNode; // 生成一个新的边结点*p2p2->adjvex = i; // 邻接点序号为ip2->info = weight; // 边的权值为weightp2->nextarc = G.vertices[j].firstarc;G.vertices[j].firstarc = p2; // 将新结点*p2插入顶点vj的边表头部(头插法)}return OK;
}
邻接表的特点
•方便找任一顶点的所有“邻接点”
•节约稀疏图的空间
•需要N个头指针 + 2E个结点 (每个结点至少2个域)
•方便计算任一顶点的“度”
对无向图:是的
对有向图:只能计算“出度”需要构造"逆邻接表"(存指向自己的边)来方便计算"入度"
•不方便检查任意一对顶点间是否存在边
三.邻接矩阵与邻接表的关系
1.联系:邻接表中每个链表对应于邻接矩阵中的一行,链表中结点个数等于一行中非零元素的个数
2.区别:
①对于任一确定的无向图,邻接矩阵是唯一的 (行列号与顶点编号致),但邻接表不唯一 (链接次序与顶点编号无关,与链接的算法有关(头插法或尾插法))
②邻接矩阵的空间复杂度为O(),而邻接表的空间复杂度为O(n+e),对于稀疏图而言,用邻接表的方式存储,空间复杂度更低。
3.用途:邻接矩阵多用于稠密图,邻接表多用于稀疏图。