1. 推导过程

建立提升树的加法模型
- 假设构成第i个弱分类器的参数为 $θ_i$ ，第i个弱分类器则表示为 $T(x,θ_i)$
- 当前弱分类器若表示为 $T(x,θ_m)$ ，强分类器则表示为: $f_m(x) = f_{m-1}(x)+T(x,θ_m)$
- 预测结果为 $y_{pre}=f_m(x)=f_{m-1}(x)+T(x,θ_m)$
损失函数Loss采用平方误差损失函数
- 使用CART回归树作为弱分类器，那么每次选取的特征及特征值，都会使平方误差损失函数达到最低
- 但弱分类器是不需要完全CART回归树一次性就把所有特征及特征值都遍历训练完成的，只需要挑选平方损失函数最低的那个特征及特征值
  弱分类器，只进行一个树杈的划分
- 弱分类器内部的平方损失函数，是取二分树杈的左右两个数据集的平方损失之和最小
  $Loss_{tree} = ∑(y_i^{left}-\bar{y}_{left})^2+ ∑(y_j^{right}-\bar{y}_{right})^2$
- 强分类器的平方损失函数，是取所有样本的预测值与真实值的平方损失之和最小
  $Loss = ∑(y_i-y_i^{pre})^2$ ， $y_i$ 表示真实值， $y_i^{pre}$ 表示预测值
用来选取弱分类器的特征及特征值，进而将所有样本数据划分成两个子集
每个子集的预测值，是子集的均值
- 根据 $y_{pre}=f_m(x)=f_{m-1}(x)+T(x,θ_m)$ ，可得
  - $Loss=∑(y_i-f_{m-1}(x)-T(x,θ_m))^2$
  - 其中 $y_i-f_{m-1}(x)$ 表示上次强分类器的预测值与实际值的差，一般叫做残差（残留的差值）
  - 我们可以设为 $r_i = y_i-f_{m-1}(x)$ ，表示残差
  - 那么要使Loss达到最小，只需要当前的弱分类器，尽可能地拟合残差即可， $Loss=∑(r_i-T(x,θ_m))^2$
  - 那么我们无需求出当前弱分类器的参数 θ，只要计算出每次的强分类器后的残差，再新增一个弱分类器，对残差进行CART回归树的拟合即可
每次只对残差拟合，直到Loss函数达到某个极小的阈值、特征及特征值已完全分完了，或达到迭代次数即可

2. 程序推演

设置阈值
获取所有特征及特征值
第一轮：

更改CART决策树，让它只每次只选择一个特征及特征值，划分数据集
每次划分后，计算出当前弱分类器的预测值 $T_m(x,θ)$ ——对样本的数值预测
计算出强分类器的预测值 $f_m=f_{m-1}+T(x,θ)$
再计算所有样本的残差（预测值-真实值）
计算强分类器的平方损失函数Loss，判断是否低于阈值，若低于阈值，停止程序

第二轮：

根据残差，再用CART决策树，选择一个特征及特征值，划分数据集
每次划分后，计算出当前弱分类器的预测值 $T_m(x,θ)$ ——对样本更新后的残差预测
计算出强分类器的预测值 $f_m=f_{m-1}+T(x,θ)$
再计算所有样本残差的残差(预测值-残差值）
计算强分类器的平方损失函数Loss，判断是否低于阈值，若低于阈值，停止程序

第三轮同第二轮…

perfect！

二叉回归树代码

确实，预测值的还不错的感觉，但不知道会不会过拟合，还没用测试数据去试。。。大概率是会过拟合的吧。。。
最终预测值和原值的残差，呈正态分布，且大多数聚集在0附近，本来想做个配对样本T检验的。。。但好像均值差距太小，搞不起来
在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

import numpy as np
import pandas as pd
import warnings
warnings.filterwarnings('ignore')
pd.options.display.max_columns = None
pd.options.display.max_rows = None
# 获取所需数据：'推荐分值', '专业度','回复速度','服务态度','推荐类型'
datas = pd.read_excel('./datas4.xlsx')
important_features = ['专业度','回复速度','服务态度','推荐分值'] #datas_1 = datas[important_features]
Y = datas_1['推荐分值']
X = datas_1.drop('推荐分值',axis=1)
X_features = X.columns
Y_features = '推荐分值'# 设置阈值
# 获取所有特征及特征值
# 单次：
# 1. 更改CART决策树，让它只每次只选择一个特征及特征值，划分数据集
# 2. 每次划分后，计算出当前弱分类器的预测值$T_m(x,θ)$
# 3. 计算出强分类器的预测值$f_m=f_{m-1}+T(x,θ)$
# 4.  **再计算并更新所有样本的残差（预测值-真实值）**
# 5. 计算强分类器的平方损失函数Loss，判断是否低于阈值，若低于阈值，停止程序
class CartRegTree:def __init__(self,datas,Y_feat,X_feat):self.tree_num = 0self.datas = datasself.Y_feat = Y_featself.X_feat = X_featself.all_feat_and_point = self.get_feat_and_point()self.T = {} # 用于存储所有弱分类器self.last_Loss = 0# 获取所有特征及特征值def get_feat_and_point(self):all_feat_and_point = {}for i in self.X_feat:divide_points = self.datas[i].unique()points = [j for j in divide_points]all_feat_and_point[i]=pointsreturn all_feat_and_pointdef get_tree_name(self):self.tree_num += 1return 'T'+str(self.tree_num)def get_subtree(self,datas):# 1. 选择最优的特征及特征值，划分数据集min_Loss = Nonefeat_and_point = Nonefor feat,points in self.all_feat_and_point.items():for point in points:temp_Loss = self.get_Loss_tree(datas,feat,point)if min_Loss == None or temp_Loss<min_Loss:min_Loss = temp_Lossfeat_and_point = (feat,point)left_datas = datas[datas[feat_and_point[0]]<=feat_and_point[1]]right_datas = datas[datas[feat_and_point[0]] > feat_and_point[1]]# 2.计算出当前弱分类器的预测值，存储左右子树的预测值left_Y = left_datas[self.Y_feat].mean()right_Y = right_datas[self.Y_feat].mean()T_name = self.get_tree_name()self.T[T_name]={'feat':feat_and_point[0],'point':feat_and_point[1],'left_Y':left_Y,'right_Y':right_Y}# 3. 计算并更新所有样本的残差，datas['Tm'] = np.where(datas[feat_and_point[0]]<=feat_and_point[1],left_Y,right_Y)datas[self.Y_feat] = datas[self.Y_feat]-datas['Tm']# 4. 计算残差平方和，判断是否停止Loss = round((datas[self.Y_feat]**2).sum(),2)if Loss==self.last_Loss or self.tree_num>10**3:return self.Telse:self.last_Loss = Lossself.get_subtree(datas)def get_Loss_tree(self,datas,feat,point):left_datas = datas[datas[feat]<=point]right_datas = datas[datas[feat]>point]# 求左右两边的平方损失和left_mean = left_datas[self.Y_feat].mean()right_mean = right_datas[self.Y_feat].mean()left_r = left_datas[self.Y_feat]-left_meanright_r = right_datas[self.Y_feat]-right_meanleft_loss = (left_r**2).sum()right_loss = (right_r**2).sum()Loss = left_loss+right_lossreturn Lossdef predict_one(self,data):Y_temp = 0for tree_key,tree_value in self.T.items():feat = tree_value['feat']point = tree_value['point']left_Y = tree_value['left_Y']right_Y = tree_value['right_Y']if data[feat]<=point:Y_temp += left_Yelse:Y_temp += right_Yreturn Y_tempdef predict(self,datas):Y_pre_all = datas.apply(self.predict_one,axis=1)return Y_pre_all
# 应用了pandas中的apply函数，将每行数据都进行predict运算预测
tree = CartRegTree(datas_1,Y_features,X_features)
tree.get_subtree(datas_1)
Y_hat = tree.predict(datas_1)
lenth = len(Y_hat)
result = pd.DataFrame([[i[0],i[1],i[2]] for i in zip(Y,Y_hat,Y-Y_hat)])
# result = pd.DataFrame([list(Y),list(Y_hat),list(Y-Y_hat)])
print(result)
# print(f"{Y},{Y_hat},残差：{Y-Y_hat}")writer = pd.ExcelWriter('datas_reg_result.xlsx')
# 获取所需数据
result.to_excel(writer,"result")
writer._save()