一、知识点

（一）弧微分

设函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内具有连续导数。

在曲线 $y=f(x)$ 上取固定点 $M_0(x_0,y_0)$ 作为度量弧长的基点，并规定依 $x$ 增大的方向作为曲线的正向。对曲线上任一点 $M(x,y)$，规定有向弧段 $M_{0}M$ 的值 $s$ 。

设弧上一点 $M^{\prime }$ 相对于点 $M$ 的坐标增量为 $(\Delta x,\Delta y)$，弧 $s$ 的增量为 $$\Delta s=M_0{M}_{弧}^{\prime }-M_0{M}_{弧}=M{M}_{弧}^{\prime }$$

则

$$\begin{array}{rl}(\frac{\Delta s}{\Delta x}{)}^2& =(\frac{M{M}_{弧}^{\prime }}{\Delta x}{)}^2=(\frac{M{M}_{弧}^{\prime }}{|M{M}_{弦}^{\prime }|}{)}^2\cdot \frac{|M{M}_{弦}^{\prime }{|}^2}{(\Delta x{)}^2}\\ & =(\frac{M{M}_{弧}^{\prime }}{|M{M}_{弦}^{\prime }|}{)}^2\cdot \frac{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}{(\Delta x{)}^2}\\ & =(\frac{M{M}_{弧}^{\prime }}{|M{M}_{弦}^{\prime }|}{)}^2[1+(\frac{\Delta y}{\Delta x}{)}^2]\end{array}$$

得

$$\frac{\Delta s}{\Delta x}=\pm \sqrt{(\frac{M{M}_{弧}^{\prime }}{|M{M}_{弦}^{\prime }|}{)}^2\cdot [1+(\frac{\Delta y}{\Delta x}{)}^2]}$$

令 $\Delta x\to 0$ 取极限，由于 $\Delta \to 0$ 时，$M^{\prime }\to M$，这时弧的长度与弦的长度之比的极限等于1，即

$$\underset{M^{\prime }\to M}{\lim }\frac{|M{M}_{弧}^{\prime }|}{|M{M}_{弦}^{\prime }|}=1$$

又

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=y^{\prime }$$

得

$$\frac{ds}{dx}=\pm \sqrt{1+y^{\prime 2}}$$

由于 $s=s(x)$ 是单调增加函数，从而根号前应取正号，有

$$ds=\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx\text{\hspace{1em}(1)}$$

这就是弧微分公式。

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（二）曲率及其计算公式

设曲线 $C$ 是光滑的，在曲线 $C$ 上选定一点 $M_0$ 作为度量弧 $s$ 的基点。

设曲线上点 $M$ 对应于弧 $s$，在点 $M$ 处切线的倾角为$\alpha$，曲线上另外一点$M^{\prime }$对应于弧$s+\Delta s$，在点$M^{\prime }$处切线的倾角为$\alpha +\Delta \alpha$。那么，弧段$M{M}^{\prime }$的长度为$|\Delta s|$，当动点从$M$移动到$M^{\prime }$时切线转过的角度为$|\Delta \alpha |$。

我们用比值$\frac{|\Delta \alpha |}{|\Delta s|}$，即单位弧段上切线转过的角度的大小表达弧段$M{M}^{\prime }$的平均弯曲程度，把这比值叫做弧段$M{M}^{\prime }$的平均曲率，记作$\overline{K}$，即
$$\overline{K}=\left|\begin{array}{c}\frac{\Delta \alpha }{\Delta s}\end{array}\right|.$$

当$\Delta s\to 0$时（即$M^{\prime }\to M$时），上述平均曲率的极限叫做曲线$C$在点$M$处的曲率，记作$K$，即

$$K=\underset{\Delta s\to 0}{\lim }\left|\begin{array}{c}\frac{\Delta \alpha }{\Delta s}\end{array}\right|.$$

在${\lim }_{\Delta s\to 0}\frac{\Delta \alpha }{\Delta s}=\frac{d\alpha }{ds}$存在的条件下，$K$也可以表示为

$$K=\left|\begin{array}{c}\frac{d\alpha }{ds}\end{array}\right|.$$

一般情况下，利用以下公式计算曲率

$$K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}.\text{\hspace{1em}(2)}$$

对于参数方程 $$\{\begin{array}{l}x=\varphi (t)\\ y=\phi (t)\end{array}$$

曲率计算公式为 $$K=\frac{|{\varphi }^{\prime }(t){\phi }^{\prime \prime }(t)-{\varphi }^{\prime \prime }(t){\phi }^{\prime }(t)|}{[{\varphi }^{\prime 2}(t)+{\phi }^{\prime 2}(t){]}^{\frac{3}{2}}}.\text{\hspace{1em}(3)}$$

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（三）曲率圆与曲率半径

设曲线$y=f(x)$在点$M(x,y)$处的曲率为$K(K\ne 0)$。

在点$M$处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点$D$，使$|DM|=\frac{1}{K}=\rho$。以$D$为圆心，$\rho$为半径作圆，这个圆叫做曲线在$M$处的曲率圆。曲率圆的圆心$D$叫做曲线在点$M$处的曲率中心。曲率圆的半径$\rho$叫做曲线在点$M$处的曲率半径。

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（四）曲率中心的计算公式

设已知曲线的方程是 $y=f(x)$，且其二阶导数 $y^{\prime \prime }$ 在点 $x$ 不为零，则曲线在对应点 $M(x,y)$ 的曲率中心 $D(\alpha ,\beta )$ 的坐标为 $$\{\begin{array}{l}\alpha =x-\frac{y^{\prime }(1+y^{\prime 2})}{y^{\prime \prime }}\\ \beta =y+\frac{1+y^{\prime 2}}{y^{\prime \prime }}.\end{array}$$

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（五）渐屈线与渐伸线

当点 $(x,f(x))$ 沿曲线 $C$ 移动时，相应的曲率中心 $D$ 的轨迹曲线 $G$ 称为曲线 $C$ 的渐屈线，而曲线 $C$ 称为曲线 $G$ 的渐伸线。

曲线 $y=f(x)$ 的渐屈线的参数方程为 $$\{\begin{array}{l}\alpha =x-\frac{y^{\prime }(1+y^{\prime 2})}{y^{\prime \prime }}\\ \beta =y+\frac{1+y^{\prime 2}}{y^{\prime \prime }}.\end{array}$$

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二、练习题

1.求椭圆 $4x^2+y^2=4$ 在点 $(0,2)$ 处的曲率。

解：

对函数求导得

$y^{\prime }=-\frac{4x}{y}$

$y^{\prime \prime }=-\frac{4y-4x{y}^{\prime }}{y^2}$

在点 $(0,2)$ 处 $y^{\prime }{|}_{x=0,y=2}=0$，$y^{\prime \prime }{|}_{x=0,y=2}=-2$

代入公式 $(2)$ 的

$K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}=2$

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2.求曲线 $y=lnsecx$ 在点 $(x,y)$ 处的曲率及曲率半径。

解：

$y^{\prime }=tanx$

$y^{\prime \prime }=se{c}^{2}x$

根据公式 $(2)$ 得曲线在点 $(x,y)$ 处的曲率为 $K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}=\frac{se{c}^{2}x}{(1+ta{n}^{2}x{)}^{\frac{3}{2}}}=|cosx|$

曲率半径为 $\rho =\frac{1}{K}=|secx|.$

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3.求抛物线 $y=x^2-4x+3$ 在其顶点处的曲率及曲率半径

解：

$y^{\prime }=2x-4$

$y^{\prime \prime }=2$

当 $y^{\prime }=0$ 时，$x=2,y=-1$，即抛物线的顶点为 $(2,-1)$

根据公式 $(2)$ 得其在顶点处得曲率为 $K=\frac{|2|}{(1+0{)}^{\frac{3}{2}}}=2$

曲率半径为 $\rho =\frac{1}{K}=\frac{1}{2}$.

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4.求曲线 $x=aco{s}^{3}t$，$y=asi{n}^{3}t$ 在 $t=t_0$ 相应的点处的曲率。

解：

$x^{\prime }=-3asintco{s}^{2}t$

$x^{\prime \prime }=3acost(2si{n}^{2}t-co{s}^{2}t)$

$y^{\prime }=3asi{n}^{2}tcost$

$y^{\prime \prime }=3asint(2co{s}^{2}t-si{n}^{2}t)$

根据公式 $(2)$，曲线在 $t=t_0$ 处的曲率为

$\begin{array}{rl}K& =\frac{-3asin{t}_{0}co{s}^2{t}_0(2co{s}^2{t}_0-si{n}^2{t}_0)-3asi{n}^2{t}_{0}cos{t}_{0}3acos{t}_0(2si{n}^2{t}_0-cos{t}_0)}{(9a^{2}si{n}^2{t}_{0}co{s}^4{t}_0+9a^{2}si{n}^4{t}_{0}co{s}^2{t}_0{)}^{\frac{3}{2}}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{9a^{2}si{n}^2{t}_{0}co{s}^2{t}_0}}\\ & =\frac{1}{3|asin{t}_{0}cos{t}_0|}\\ & =\frac{2}{3|asin2t_0|}\end{array}$

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5.对数曲线 $y=lnx$ 上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径。

解：

$y^{\prime }=\frac{1}{x}$

$y^{\prime \prime }=-\frac{1}{x^2}$

曲线上任一一点的曲率半径为 $\rho =\frac{1}{K}=\frac{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}{|y^{\prime \prime }|}=\frac{(1+\frac{1}{x^2}{)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{1}{x^2}}$

令 $t=\frac{1}{x^2}>0$

则 $\rho =\frac{(1+t{)}^{\frac{3}{2}}}{t}$

${\rho }^{\prime }=\frac{(1+t{)}^{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2}t-1)}{t^2}$

当 ${\rho }^{\prime }=0$ 时，$t=2$

$\because$ 在 $(0,2)$ 上 ${\rho }^{\prime }<0$，在 $(2,+\infty )$ 上 ${\rho }^{\prime }>0$

$\therefore \rho$ 在 $t=2$ 处取得最小值，此时 $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

即曲线在 $(\frac{\sqrt{2}}{2},ln\frac{\sqrt{2}}{2})$ 处曲率半径最小，为 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

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6.证明曲线 $y=ach\frac{x}{a}$ 在点 $(x,y)$ 处的曲率半径为 $\frac{y^2}{a}$.

证明：

$\because y^{\prime }=sh\frac{x}{a},y^{\prime \prime }=\frac{1}{a}\cdot ch\frac{x}{a}$

$\therefore$ 曲线 $y=ach\frac{x}{a}$ 在点 $(x,y)$ 处的曲率半径为

$\rho =\frac{1}{K}=\frac{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}{|y^{\prime \prime }|}=\frac{(c{h}^2\frac{x}{a}{)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{1}{a}\cdot ch\frac{x}{a}}=\frac{y^2}{a}$.

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7.一飞机沿抛物线路径 $y=\frac{x^2}{10000}$ （$y$ 轴铅直向上，单位为 $m$）作俯冲飞行，在坐标原点 $O$ 处飞机的速度为 $v=200m/s$. 飞行员体重 $G=70kg$. 求飞机俯冲至最低点即原点 $O$ 处时座椅对飞行员的反力.

解：

根据物理知识，向心力是指当一个物体沿着圆形路径移动时，作用在这个物体上朝向圆心方向的净力。这个力使物体不断改变其速度方向从而维持圆周运动。

本题中，在坐标原点处的向心力（向上）由飞行员自身的重力（向下）和座椅对飞行员的反力（向上）组合而成，即 $F_{向}=F_{反}-F_{重}$，可得 $F_{反}=F_{向}+F_{重}$

$(1)$ 求 $F_{向}$

$y^{\prime }=\frac{x}{5000}$

$y^{\prime \prime }=\frac{1}{5000}$

根据曲率半径公式 $\rho =\frac{1}{K}=\frac{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}{|y^{\prime \prime }|}$， 得抛物线在坐标原点 $(0,0)$ 处的曲率半径：$\rho =5000m$

根据向心力公式 $F_{向}=G\frac{v^2}{\rho }$ 得，飞机飞行到坐标原点时的向心力 $F_{向}=\frac{70\times 200^2}{5000}=560N$

$(2)$ 求 $F_{重}$

飞行员自身的重力约为 $F_{重}=G\cdot g\approx 70\times 10=700N$

$(3)$ 求 $F_{反}$

$F_{反}=F_{向}+F_{重}\approx 560+700=1260N$.

说明：为便于计算本题中重力加速度取 $10m/s^2$.

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8.汽车连同载重共 $5t$，在抛物线拱桥上行驶，速度为 $21.6km/h$，桥的跨度为 $10m$，拱的矢高为 $0.25m$。求汽车越过桥顶时对桥的压力。

解：

建立以桥顶为顶点开口向下的抛物线 $y=a{x}^2$

根据拱桥规格，认为抛物线过点 $(-5,0.25)$，即 $0.25=25a$，可得 $a=\frac{1}{100}$

$\therefore$ 抛物线方程为 $y=\frac{x^2}{100}$.

根据第8题的思路，汽车重力、向心力以及对桥的压力三者间的关系为 $F_{向}=F_{重}-F_{压}$

$\therefore F_{压}=F_{重}-F_{向}$

$(1)$ 求 $F_{重}$

$F_{重}=m\cdot g\approx 5000\times 10=50000N$

$(2)$ 求 $F_{向}$

$y^{\prime }=\frac{x}{50}$

$y^{\prime \prime }=\frac{1}{50}$

曲率圆半径为 $\rho =\frac{(1+0{)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{1}{50}}=50m$

$F_{向}=5000\times \frac{6^2}{50}=3600N$

$\therefore F_{压}\approx 50000-3600=46400N$

说明：为便于计算本题中重力加速度取 $10m/s^2$.

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9.求曲线 $y=lnx$ 在与 $x$ 轴交点处的曲率圆方程。

解：

$y^{\prime }=\frac{1}{x}$

$y^{\prime \prime }=-\frac{1}{x^2}$

曲线 $y=lnx$ 与 $x$ 轴交点坐标为 $(1,0)$.

曲线在交点处的曲率半径为： $\rho =\frac{(1+1^2{)}^{\frac{3}{2}}}{|-1|}=2\sqrt{2}$

曲率中心的坐标为：

$\{\begin{array}{l}\alpha =1-\frac{1\times (1+1^2)}{-1}=3\\ \beta =0+\frac{1+1^2}{-1}=-2\end{array}$

$\therefore$ 曲线在 $(1,0)$ 处的曲率圆方程为：$(x-3{)}^2+(y+2{)}^2=8$.

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10.求曲线 $y=tanx$ 在点 $(\frac{\pi }{4},1)$ 处的曲率圆方程。

解：

$y^{\prime }=se{c}^{2}x$

$y^{\prime \prime }=2se{c}^{2}xtanx$

$\therefore$ 曲线在 $(\frac{\pi }{4},1)$ 处的曲率半径为 $\rho =\frac{5\sqrt{5}}{4}$

曲率中心的坐标为：$(\frac{\pi -10}{4},\frac{9}{4})$

曲线在 $(\frac{\pi }{4},1)$ 处的曲率圆方程为：$(x-\frac{\pi -10}{4}{)}^2+(y-\frac{9}{4}{)}^2=\frac{125}{16}$.

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11.求抛物线 $y^2=2px$ 的渐屈线方程.

解：

将抛物线函数对 $x$ 求导，得 $y^{\prime }=\frac{p}{y}$

继续求导得 $y^{\prime \prime }=-\frac{p^2}{y^3}$

$\therefore$ 抛物线得渐屈线参数方程为

$$\{\begin{array}{l}\alpha =x-\frac{y^{\prime }(1+y^{\prime 2})}{y^{\prime \prime }}=x+\frac{y^2+p^2}{p}\\ \beta =y+\frac{1+y^{\prime 2}}{y^{\prime \prime }}=y-\frac{y(y^2+p^2)}{p^2}\end{array}$$

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学习资料：《高等数学（第六版）》 ，同济大学数学系 编

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