【数据结构与算法】树、二叉树的概念及结构(详解)

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⛳⛳本篇内容:c语言数据结构--树以及二叉树的概念与结构

一.树概念及结构

1.树的概念

1.1树与非树

树的特点：

非树(图)的特点：

1.2 关于树的细致概念

1.3树的表示

1.4树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

二.二叉树概念及结构

1.概念

2.现实中的二叉树：

2.3特殊的二叉树：

2.4 二叉树的性质

证明性质2和1

习题练习

一.树概念及结构

1.树的概念

树是一种 非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

1.1树与非树

树的特点：

空树 -- 结点数为0的树

非空树:

有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点(没有父节点)

下面的两点一起理解:

除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
因此，树是递归定义的。

可以理解为:

由根节点指向了各子树，子树的双亲节点又可以作为根节点，指向它们的孩子节点

非树(图)的特点：

1.除了根结点外，每个结点有且仅有一个父结点;

2.子树是不相交的

以下的这个结构是图(允许相交)，不是树

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

3.一棵N个结点的树有N-1条边

1.2 关于树的细致概念

下面有个✅的是比较重要的知识点

✅节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6

✅叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点

✅非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点

✅双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点

✅孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点

✅兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

✅树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

✅节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

✅子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

对各知识点的进一步画图解析:

节点的度:与该节点直接相连的边的数量

叶节点(终端节点)：度为0的节点

分支节点(非终端节点):度不为0的节点

父节点(双亲节点)：一个节点的直接前驱就是它的父节点

子节点(孩子节点):一个节点的直接后继就是它的子节点

兄弟节点：由同一个父节点生出来的都是互为兄弟节点

树的度:一棵树中，最大的节点的度称为树的度
节点的层次：从上往下数，从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推;(默认是从1开始)
树的高度(深度)：树中节点的最大层次，下图的高度就是4

节点的高度：从下往上数

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟

节点的祖先：指从该节点向上追溯到根节点的路径上的所有节点，包括该节点的父节点、父节点的父节点，以此类推，直到达到根节点为止。

子孙：从该节点向下追溯到所有末端节点的路径上的所有节点，包括该节点的直接子节点、子节点的子节点，以此类推，直到达到叶子节点为止。

森林：是由多个不相交的树组成的集合(并查集)

1.3树的表示

A： 如果明确了树的度，那么可以定义。

B、顺序表存储孩子。

C、双亲表示法。(每个位置只存双亲的指针或者下标)

D、左孩子右兄弟表示法--简化树结构定义

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。

我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

代码实现：

typedef int DataType;
struct Node
{struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点DataType _data; // 结点中的数据域
};

画图解析：

1.4树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

二.二叉树概念及结构

1.概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空

2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点(度为0也可以)

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.现实中的二叉树：

2.3特殊的二叉树：

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1 ，则它就是满二叉树。

2.完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.4 二叉树的性质

1、若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点。

2、若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1。

3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n2 ,则有 n0＝ n2＋1

4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log2（n+1). (ps：log2（n+1)是log以2为底，n+1为对数)

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

        1. 若 i>0 ， i 位置节点的双亲序号： (i-1)/2 ； i=0 ， i 为根节点编号，无双亲节点

        2. 若 2i+1<n ，左孩子序号： 2i+1 ， 2i+1>=n 否则无左孩子

        3. 若 2i+2<n ，右孩子序号： 2i+2 ， 2i+2>=n 否则无右孩子

证明性质2和1

如何证明性质2和性质1，以下是证明过程：

习题练习

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ B）

A 不存在这样的二叉树

B 200

C 198

D 199

解析：

2.下列数据结构中，不适合采用顺序存储结构的是（ A）

A 非完全二叉树

B 堆

C 队列

D 栈

解析：

顺序存储结构适合于具有连续存储空间的数据结构，其中元素按照线性顺序存储。 对于非完全二叉树，由于其结构不规则，无法通过连续的存储空间来表示。因此，非完全二叉树不适合采用顺序存储结构。

B. 堆、C. 队列、D. 栈都可以通过顺序存储结构有效地实现。堆是一种完全二叉树，可以使用数组来表示。队列和栈可以使用数组或者链表来表示，都适合顺序存储结构。

3.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（A ）

A n

B n+1

C n-1

D n/2

和节点个数相关的公式有二：

n0 = n2 + 1，N = n0 + n1 + n2

已知总个数N为2n，那么只要知道n1即可求出n0.

这里有一个重要的结论：

        在完全二叉树中，如果节点总个数为奇数，则没有度为1的节点；如果节点总个数为偶数，只有一个度为1的节点。

                                          节点个数是偶数，只有一个度为1的节点

                                        节点个数是奇数，没有度为1的节点

2n为偶数，因此有一个度为1的节点。

2n = n0 + 1 + n2 = n0 + 1 + n0 - 1

2n = 2n0

n0 = n，故选A

4.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ B）

A 11

B 10

C 8

D 12

解析：

根据性质4，h=log2（n+1)，n=531，h = log2(532),找一个最接近的数就是log2(512)，也就是log2(2^9)，向上取整，n=10；

5.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（B）

A 383

B 384

C 385

D 386

解析：

N=767个节点数是奇数个，所以N= n0+ n2(奇数个没有度为1的节点) ，

由n0 ＝ n2＋1; N = 2n0 - 1 ，那么n0 = (N + 1) / 2 = 384