前言:
💥🎈个人主页:Dream_Chaser~ 🎈💥
✨✨专栏:http://t.csdn.cn/oXkBa
⛳⛳本篇内容:c语言数据结构--树以及二叉树的概念与结构
目录
一.树概念及结构
1.树的概念
1.1树与非树
树的特点:
非树(图)的特点:
1.2 关于树的细致概念
1.3树的表示
1.4树在实际中的运用(表示文件系统的目录树结构)
二.二叉树概念及结构
1.概念
2.现实中的二叉树:
2.3特殊的二叉树:
2.4 二叉树的性质
证明性质2和1
习题练习
一.树概念及结构
1.树的概念
树是一种 非线性的数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。
![](https://img-blog.csdnimg.cn/8a4bad0388c540abb70a488503448a3d.png)
1.1树与非树
![](https://img-blog.csdnimg.cn/d0fe9777c9544f049797ea820c7679ba.png)
树的特点:
- 有一个特殊的结点,称为根结点,根节点没有前驱结点(没有父节点)
下面的两点一起理解:
- 除根节点外,其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm,其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有0个或多个后继
- 因此,树是递归定义的。
可以理解为:
由根节点指向了各子树,子树的双亲节点又可以作为根节点,指向它们的孩子节点
非树(图)的特点:
![](https://img-blog.csdnimg.cn/a78694585a90486b9f4695d8db59bb51.png)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/b36ddfb74f6947cebf04764380170243.png)
注意:树形结构中,子树之间不能有交集,否则就不是树形结构
3.一棵N个结点的树有N-1条边
1.2 关于树的细致概念
下面有个✅的是比较重要的知识点
✅节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度; 如上图:A的为6
✅叶节点或终端节点:度为0的节点称为叶节点; 如上图:B、C、H、I...等节点为叶节点
✅非终端节点或分支节点:度不为0的节点; 如上图:D、E、F、G...等节点为分支节点
✅双亲节点或父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点; 如上图:A是B的父节点
✅孩子节点或子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点; 如上图:B是A的孩子节点
✅兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点; 如上图:B、C是兄弟节点
树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度; 如上图:树的度为6
节点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推;
✅树的高度或深度:树中节点的最大层次; 如上图:树的高度为4
堂兄弟节点:双亲在同一层的节点互为堂兄弟;如上图:H、I互为兄弟节点
✅节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;如上图:A是所有节点的祖先
✅子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图:所有节点都是A的子孙
森林:由m(m>0)棵互不相交的树的集合称为森林
对各知识点的进一步画图解析:
- 节点的度:与该节点直接相连的边的数量
- 叶节点(终端节点):度为0的节点
- 分支节点(非终端节点):度不为0的节点
- 父节点(双亲节点):一个节点的直接前驱就是它的父节点
- 子节点(孩子节点):一个节点的直接后继就是它的子节点
![](https://img-blog.csdnimg.cn/9df667166d614ab6a6fcd91389eb33e2.png)
- 兄弟节点:由同一个父节点生出来的都是互为兄弟节点
![](https://img-blog.csdnimg.cn/bff9cdbe5080402d86bf81ff1a2d35cf.png)
- 树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度
- 节点的层次:从上往下数,从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推;(默认是从1开始)
- 树的高度(深度):树中节点的最大层次,下图的高度就是4
![](https://img-blog.csdnimg.cn/01d25a836e91413fb8d9d6e1f1ff780b.png)
- 节点的高度:从下往上数
![](https://img-blog.csdnimg.cn/95d28844f0fb4429ae4cd24b5c1f4107.png)
- 堂兄弟节点:双亲在同一层的节点互为堂兄弟
![](https://img-blog.csdnimg.cn/75f367877e3b439c80b14670890fc335.png)
- 节点的祖先:指从该节点向上追溯到根节点的路径上的所有节点,包括该节点的父节点、父节点的父节点,以此类推,直到达到根节点为止。
![](https://img-blog.csdnimg.cn/ec0c238226244c238dcb5aadc8de3da9.png)
- 子孙:从该节点向下追溯到所有末端节点的路径上的所有节点,包括该节点的直接子节点、子节点的子节点,以此类推,直到达到叶子节点为止。
![](https://img-blog.csdnimg.cn/42f6adff97544e4d8428d200ee77e4ba.png)
- 森林:是由多个不相交的树组成的集合(并查集)
1.3树的表示
![](https://img-blog.csdnimg.cn/277f99c41b3e48cf8f9072717aed3501.png)
B、顺序表存储孩子。
C、双亲表示法。(每个位置只存双亲的指针或者下标)
D、左孩子右兄弟表示法--简化树结构定义
树结构相对线性表就比较复杂了,要存储表示起来就比较麻烦了,既然保存值域,也要保存结点和结点之间的关系,实际中树有很多种表示方式如:双亲表示法,孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。
typedef int DataType;
struct Node
{struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点DataType _data; // 结点中的数据域
};
画图解析:
1.4树在实际中的运用(表示文件系统的目录树结构)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/d65bc1109eb34ae5a8fc471fb1e99107.png)
二.二叉树概念及结构
1.概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合:1. 或者为空2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
从上图可以看出:
1. 二叉树不存在度大于2的结点(度为0也可以)2. 二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树注意:对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的:![]()
2.现实中的二叉树:
2.3特殊的二叉树:
1. 满二叉树:一个二叉树,如果每一个层的结点数都达到最大值,则这个二叉树就是满二叉树。也就是 说,如果一个二叉树的层数为K,且结点总数是2^k-1 ,则它就是满二叉树。2.完全二叉树:完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
2.4 二叉树的性质
1. 若 i>0 , i 位置节点的双亲序号: (i-1)/2 ; i=0 , i 为根节点编号,无双亲节点2. 若 2i+1<n ,左孩子序号: 2i+1 , 2i+1>=n 否则无左孩子3. 若 2i+2<n ,右孩子序号: 2i+2 , 2i+2>=n 否则无右孩子
证明性质2和1
![](https://img-blog.csdnimg.cn/3fb5b05e2926406a8483a0bffca798aa.png)
习题练习
1. 某二叉树共有 399 个结点,其中有 199 个度为 2 的结点,则该二叉树中的叶子结点数为( B)A 不存在这样的二叉树B 200C 198D 199解析:
2.下列数据结构中,不适合采用顺序存储结构的是( A)A 非完全二叉树B 堆C 队列D 栈解析:顺序存储结构适合于具有连续存储空间的数据结构,其中元素按照线性顺序存储。 对于非完全二叉树,由于其结构不规则,无法通过连续的存储空间来表示。因此,非完全二叉树不适合采用顺序存储结构。B. 堆、C. 队列、D. 栈都可以通过顺序存储结构有效地实现。堆是一种完全二叉树,可以使用数组来表示。队列和栈可以使用数组或者链表来表示,都适合顺序存储结构。3.在具有 2n 个结点的完全二叉树中,叶子结点个数为(A )A nB n+1C n-1D n/2和节点个数相关的公式有二:
n0 = n2 + 1,N = n0 + n1 + n2
已知总个数N为2n,那么只要知道n1即可求出n0.
这里有一个重要的结论:
在完全二叉树中,如果节点总个数为奇数,则没有度为1的节点;如果节点总个数为偶数,只有一个度为1的节点。
节点个数是偶数,只有一个度为1的节点
节点个数是奇数,没有度为1的节点
2n为偶数,因此有一个度为1的节点。
2n = n0 + 1 + n2 = n0 + 1 + n0 - 1
2n = 2n0
n0 = n,故选A
4.一棵完全二叉树的节点数位为531个,那么这棵树的高度为( B)A 11B 10C 8D 12解析:根据性质4,h=log2(n+1),n=531,h = log2(532),找一个最接近的数就是log2(512),也就是log2(2^9),向上取整,n=10;5.一个具有767个节点的完全二叉树,其叶子节点个数为(B)A 383B 384C 385D 386解析:N=767个节点数是奇数个,所以N= n0+ n2(奇数个没有度为1的节点) ,由n0 = n2+1; N = 2n0 - 1 ,那么n0 = (N + 1) / 2 = 384