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严格来说，这并不是一篇论文，只是一个$report$ ，里面系统的介绍了三个比较著名的排序模型$RankNet、LambdaRank、LambdaMART$ ，链接 Rank

本篇博文将分析总结下这三个排序模型$RankNet、LambdaRank、LambdaMart$。其参考的代码RankNet、LambdaRank,LambdaMart。

需要说明的是，本篇博文在主要总结论文和实现代码同时，也小部分的参考了这篇文章Learning to Rank算法介绍：RankNet，LambdaRank，LambdaMart

RankNet

这是基于$pariwise$ 方法的排序模型。

数据集由$query$ 分开。

24 [[-1.0, 0.85, 0.35], [1.0, 0.66, 1.0], [-1.0, 0.42, 0.18], [-1.0, 0.46, 0.1]]
25 [[-1.0, 0.51, 0.6], [-1.0, 0.35, 0.61], [1.0, 0.75, 1.0], [-1.0, 0.58, 0.23]]
26 [[-1.0, 0.55, 0.63], [-1.0, 0.62, 0.74], [-1.0, 0.01, 0.8], [1.0, 0.63, 0.35]]
27 [[1.0, 0.97, 0.27], [-1.0, 0.89, 0.42], [-1.0, 0.56, 0.06], [-1.0, 0.49, 1.0]]
20 [[-1.0, 0.37, 1.0], [-1.0, 0.0, 0.88], [-1.0, 0.0, 0.92], [1.0, 0.97, 0.65]]
21 [[1.0, 0.76, 1.0], [-1.0, 0.52, 0.11], [-1.0, 0.74, 0.6], [-1.0, 0.02, 0.54]]
22 [[1.0, 0.76, 1.0], [-1.0, 0.21, 1.0], [-1.0, 0.0, 0.52], [-1.0, 0.8, 0.31]]
23 [[-1.0, 0.96, 0.02], [-1.0, 0.91, 0.35], [-1.0, 0.59, 1.0], [1.0, 0.87, 0.99]]
28 [[-1.0, 0.35, 0.79], [-1.0, 0.26, 0.39], [-1.0, 0.18, 1.0], [1.0, 0.79, 0.03]]
29 [[-1.0, 0.64, 0.52], [-1.0, 0.56, 0.16], [1.0, 0.83, 1.0], [-1.0, 0.12, 0.55]]
0 [[1.0, 0.85, 0.62], [-1.0, 0.77, 0.13], [-1.0, 0.22, 0.88], [-1.0, 0.79, 0.27]]
4 [[1.0, 0.97, 0.29], [-1.0, 0.0, 0.09], [-1.0, 0.43, 0.72], [-1.0, 0.52, 0.52]]

上面字典数据集是实现代码中生成的，$key$为 $query\_id$，$value$ 为一个列表，表示与该 $query$ 可能相关的所有文档集，每个子列表的第一个数表示该文档与$query$ 是否相关，第二、第三个数表示该文档的特征。

对于一个给定的$query$ 而言，与其可能相关的文档集合中（假设大小为$docs\_size$），不同$label$ 的两两文档形成一个文档对( $U_i、U_j$ )，模型$f$ 可以对这两个文档进行打分分别得到 $s_i、s_j$，可以理解为相关性得分，那么$U_i$ 应该排在$U_j$ 前面的概率为：
$$P_{ij}=P(U_i▹U_j)=\frac{1}{1+e^{-\sigma (s_i-s_j)}}$$
注意：这里面的$\sigma$ 是个常数，决定了$sigmoid$ 函数的形状。
上面公式中的$s_i-s_j$ 为两两文档打分的差，显然结果应该是一个矩阵。根据公式可知，$s_i$ 越大于$s_j$ ，其的$p_{ij}$ 越大，符合逻辑。那么在实做时如何实现这一步呢？

代码中定义了一个三层的神经网络作为排序模型，给输入的一个$query$ 下的每个文档进行打分。

def compute_graph(X):"""Build compute graphdefine a function for computing ds_i/dw_k respectively,┆   as the tf.gradient() computes sum_{k} dy_k/dx_i w.r.t x_iArgs:┆   X: the input feature vector tensor shaped [None, x_i]Returns:┆   y: the output predict tensor shaped [None, y_i]"""if config.USE_HIDDEN_LAYER == True:┆   with tf.name_scope("hidden_layer"):┆   ┆   layer_h1 = tf.add(tf.matmul(X, weights["hidden"]), biases["hidden"])┆   ┆   layer_h1 = tf.nn.relu(layer_h1)┆   with tf.name_scope("out_layer"):┆   ┆   y = tf.add(tf.matmul(layer_h1, weights["out"]), biases["out"])else:┆   with tf.name_scope("linear_layer"):┆   ┆   y = tf.add(tf.matmul(X, weights["linear"]), biases["linear"])return y

这样我们就可以给文档打分了，并且计算两两文档之间的打分差：

y = compute_graph(X)
sigma_ij = y - tf.transpose(y)##广播操作

得到 $docs\_size\ast docs\_size$ 大小的$sigma$ 矩阵。

$P_{ij}$ 是指预测的分数分布，那么真实的得分分布呢？论文中是这样定义的：
$$\widehat{P_{ij}}=\frac{1}{2}(1+S_{ij})$$
其中 S i j ∈ { 0 , ± 1 } S_{ij} \in \{0,\pm 1\} Sij​∈{0,±1}，为 $1$ 时，表示文档 $i$ 比 $j$ 与$query$ 更相关，反正为 $-1$ ，相关性相等时则为 $0$ 。

那么损失函数就可想而知了，论文中用$cross-entropy$ 来衡量这两种分布的距离：
$$C=-\widehat{P_{ij}}log{P}_{ij}-(1-\widehat{P_{ij}})log(1-P_{ij})$$

那么代码中如何实现这一步呢？

Sij_ = Y - tf.transpose(Y)## Y 为真实得分
Sij = tf.minimum(1.0, tf.maximum(-1.0, Sij_))##将其取值控制在0,1,-1
Pij_hat = 1.0 / 2.0 * (1 + Sij)
Cij = tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits(┆   logits=sigma_ij, labels=Pij_hat)

这样就得到了损失函数了，直接利用$tensorflow$ 来 $minimizeloss$。

loss = tf.reduce_mean(Cij)
train_op = tf.train.GradientDescentOptimizer(┆   ┆   config.LEARNING_RATE).minimize(loss)

$RankNet$ 实现起来很简单？不对啊，论文中还有大量的梯度推导的公式啊，对，$tensorflow$ 把参数更新的过程都自动化的实现了，无需我们自己实现这些麻烦的过程。

LambdaRank

$RankNet$ 以错误$pair$ 最少为优化目标的算法，然而许多时候仅以错误$pair$ 数来评价排序的好坏是不够的，像 $NDCG$ 或者$ERR$ 等评价指标就只关注$topk$ 个结果的排序，当我们采用$RankNet$ 算法时，往往无法以这些指标为优化目标进行迭代，所以$RankNet$ 的优化目标和 $IR$ 评价指标之间存在不一致的地方。然而这些指标的缺点是不平滑、不连续，无法求梯度，如果将这些指标直接作为模型评分的函数的话，是无法直接用梯度下降法进行求解的。

由上面的分析，我们必须要重新定义$loss$ 函数，并且$loss$ 函数需要考虑指标的优化。这就要我们仔细的推导了。下面我们仔细推导下$RankNet$ 参数更新的过程

上面$RankNet$ 的交叉商损失函数为：

$$C=-\widehat{P_{ij}}log{P}_{ij}-(1-\widehat{P_{ij}})log(1-P_{ij})$$

可以计算得：

再用梯度下降法可以更新参数：

加速训练过程

由上面的推导，我们可以再进行简单的化简：

如此，论文中这样定义 ${\lambda }_{ij}$：

在代码中如何实现这一步呢？

# pairwise lambda matrix
# lambda_ij = dCij/ds_i = 1/2 * (1 - Sij) * dsigma(s_i - s_j)/d(s_i - s_j) * 1
#    - (dsigma(s_i - s_j)/d(s_i - s_j) * 1) / (1 + e^(sigma_ij))
# here we assign sigma = Identity, thus dsigma/d(si - sj) = 1
# thus lambda_ij = 1.0 / 2.0 * (1 - Sij) - 1.0 / (1 + tf.exp(sigma_ij))
# but tf.exp may have numerical precision issue
# comforming to sigma_ij + sigma_ji = 0, lambda_ij + lambda_ji = 0
# use the reformulation exp(-x) = exp(log(1 + exp(-|x|)) - min(0, x)) - 1
lambda_ij = 1.0 / 2.0 * (1 - Sij) - 1.0 / \tf.exp(tf.log(1 + tf.exp(-tf.abs(-sigma_ij))) - tf.minimum(0.0, -sigma_ij))

论文中进一步提到，在$RankNet$ 中不需要对每个文档进行$belabeled$，只需要知道两两文档之间的相对关系即可。

由上面的${\lambda }_{ij}$ 的计算可知：

在求得$\delta w_k$ 后，我们就可以利用梯度下降法 批量的加速反向更新过程。

应该如何理解上面的 ${\lambda }_i$ 呢？论文中是这样说的，${\lambda }_i$ 是针对预测排序后的第$i$ 个文档而言，我们假设 { i , j } ∈ I \{i,j\} \in \ I {i,j}∈ I 和 { k , i } ∈ I \{k,i\} \in \ I {k,i}∈ I，有：

这一步不太好理解，举例来说：假设有三个文档$U_1,U_2,U_3$，其中有$U_1▹U_2,U_2▹U_3,U_3▹U_1$，则集合$I$ 中就包含$(1,2),(1,3),(2,3)$ 共三个文档对，则按照上面损失函数对参数$w$ 求偏导的公式来说有：

合并相同的$\frac{\partial S_i}{\partial W_k}$，可知${\lambda }_1={\lambda }_{12}+{\lambda }_{13}$，${\lambda }_2={\lambda }_{23}-{\lambda }_{12}$，${\lambda }_3=-{\lambda }_{13}-{\lambda }_{23}$。

论文中提到，这个${\lambda }_i$ 正负号指的就是文档$i$ 下一次的移动方向，其大小指的是移动距离。

如上图所示，每个线条表示文档，蓝色表示相关文档，灰色表示不相关文档，$RankNet$ 以$pairwiseerror$ 的方式计算$cost$，左图的$cost$ 为$13$，右图通过把第一个相关文档下调3个位置，第二个文档上条5个位置，将$cost$ 降为11，但是像 $NDCG$ 或者$ERR$ 等评价指标只关注$topk$ 个结果的排序，在优化过程中下调前面相关文档的位置不是我们想要得到的结果。虽然较小的下调前面文档的位置和较大的提升后面文档位置，得到的$pairerror$ 可能会变小，但是实际上指标值却下降了。右图左边黑色的箭头表示$RankNet$ 下一轮的调序方向和强度，但我们真正需要的是右边红色箭头代表的方向和强度，即更关注靠前位置的相关文档的排序位置的提升。$LambdaRank$ 正是基于这个思想演化而来，其中$Lambda$ 指的就是红色箭头，代表下一次迭代优化的方向和强度，也就是梯度。

那么在代码中如何求得 ${\lambda }_i$ 呢？

# dC/dw_k = \sum{lambda_ij * (ds_i/dw_k - ds_j/dw_k)}
#    = \sum{lambda_i * ds_i/dw_k}
# lambda_i is the coefficiency of dC/dw_k
# which is factorized as lambda_i = \sum_{if Sij = 1}{lambda_ij} -
#    \sum_{if Sji = 1}{lambda_ji}
ij_positive_label_mat = tf.maximum(Sij, 0) #Mij = 1 if (i, j) \in P
ij_positive_mat = ij_positive_label_mat * lambda_ij## 论文中提到在Sij=1的情况下
ij_sum = tf.reduce_sum(ij_positive_mat, [1])
ji_sum = tf.reduce_sum(ij_positive_mat, [0])
lambda_i = ij_sum - ji_sum #lambda_i for \sum_{i}dCij/dsi - \sum_{i}dCji/dsj

这样就求出了${\lambda }_i$ 了。

因为$RankNet$ 优化目标与评价指标不一致，所以在$lambdarank$ 的损失函数中，我们需要考虑评价指标的因素，例如$NDCG$。

在论文中，其实就是在上面${\lambda }_{ij}$ 基础上引入评价指标 $NDCG$ ，把交换两个文档的位置引起的评价指标的变化作为其中一个因子，此时要优化的${\lambda }_{ij}$ 变为：

那么这个$△NDCG$ 如何求呢？显然这应该是个矩阵。代码中是这样实现的：

relevance = tf.maximum(Y, 0) # negative label normalize to 0
##pdb.set_trace()
Y_r = tf.squeeze(Y)
Y_sort_r = tf.nn.top_k(Y_r, k=tf.shape(Y_r)[0]).values
Y_sort = tf.expand_dims(Y_sort_r, [1])
relevance_sort = tf.maximum(Y_sort, 0) # ideal result sequence
ranks_sort_r = tf.cast(tf.range(1, tf.shape(Y)[0] + 1, 1), dtype=tf.float32) # [1, 2, ..]
ranks_sort = tf.expand_dims(ranks_sort_r, [1]) # column vectory_r = tf.squeeze(y) # row vector (1-D tensor)
# y_indices_sort[i] = j means doc j ranks i
y_indices_sort = tf.nn.top_k(y_r, k=tf.shape(y_r)[0]).indices
def gen_mask_tensor(x):"""Generate mask tensorArgs:┆   x: location 1-D tensorReturn:┆   1-D tensor [0, 0, .. ,1, .., 0] with index x set to 1"""return tf.gather(identity_mat, tf.squeeze(x))
idx_to_rank_mat = tf.map_fn(gen_mask_tensor, tf.expand_dims(y_indices_sort, [1]))
# ranks_compute[i] = j means the document ranks i is doc j
# i.e. reverse mapping of y_indices_sort
ranks_compute_r = tf.reduce_sum(ranks_sort * tf.cast(idx_to_rank_mat, dtype=tf.float32), axis=[0])
ranks_compute = tf.expand_dims(ranks_compute_r, [1])# DCG(t) = \sum^(t)_{1}
def log2(x):"""Compute log(x)/log(2)"""return tf.log(x)/tf.log(tf.constant(2.0))
# current DCG
dcg_each = (2 ** relevance - 1) / log2(ranks_compute + 1)
dcg = tf.reduce_sum(dcg_each)
# ideal DCG
max_dcg_each =(2 ** relevance_sort - 1) / log2(ranks_sort + 1)
max_dcg = tf.reduce_sum(max_dcg_each)
# |\Delta NDCG| matrix by swapping each i, j rank position pair
# denoted li = relavance of i, ri = rank of i, lirj = 2^(li)/lg2(rj + 1)
# [l1r1 l1r1 l1r1
#  l2r2 l2r2 l2r2
#  l3r3 l3r3 l3r3]
dcg_each_col_tile = tf.tile(dcg_each, [1, tf.shape(y)[0]])
# [l1r1 l2r2 l3r3
#  l1r1 l2r2 l3r3
#  l1r1 l2r2 l3r3]
dcg_each_row_tile = tf.tile(tf.transpose(dcg_each), [tf.shape(y)[0], 1]) 
# [l1r1 l1r2 l1r3
#  l2r1 l2r2 l2r3
#  l3r1 l3r2 l3r3]
dcg_swap_col = (2 ** relevance - 1) / log2(tf.transpose(ranks_compute) + 1)
# [l1r1 l2r1 l3r1
#  l1r2 l2r2 l3r2
#  l1r3 l2r3 l3r3]
dcg_swap_row = tf.transpose(dcg_swap_col)
delta_dcg = 0 - dcg_each_col_tile - dcg_each_row_tile + dcg_swap_col + dcg_swap_row
delta_ndcg = delta_dcg / max_dcg

这十几步代码其实挺难理解的，我仔细的推了一遍，是正确的。其中最后得出的矩阵$delta\_dcg$，其 $delta\_dcg[i][j]$ 即表示第$i$ 个文档和第$j$ 个文档互换位置后的$NDCG$ 差值。$delta\_dcg[i][j]=-l_i{r}_i-l_j{r}_j+l_i{r}_j+l_j{r}_i$，拆分开就是$l_j{r}_i-l_i{r}_i$ （把第$j$ 个文档放在排序为$i$ 的位置的$DCG$ 值和原本第$i$ 个文档就在第$i$ 个位置的$DCG$ 的差值）和 $l_i{r}_j-l_j{r}_j$ （同理）

要特别说明的是，这里一定要注意$△NDCG$ 是如何做的，不是我们想当然的$l_i{r}_j-l_j{r}_i$，这样理解是错误的，应该是：
$$△NDCG=(l_j{r}_i-l_i{r}_i)+(l_i{r}_j-l_j{r}_j)$$

由此可以得到需要新的${\lambda }_{ij}$ 和新的${\lambda }_i$：

lambda_ij_objective = lambda_ij * tf.abs(delta_ndcg)## 这句代码揭示了RankNet的不同。# lambda_i becomes
ij_positive_label_mat = tf.maximum(Sij, 0) # Mij = 1 if (i, j) \in P
ij_positive_mat_objective = ij_positive_label_mat * lambda_ij_objective
ij_sum_objective = tf.reduce_sum(ij_positive_mat_objective, [1])
ji_sum_objective = tf.reduce_sum(ij_positive_mat_objective, [0])
lambda_i_objective = ij_sum_objective - ji_sum_objective

在求得新的 ${\lambda }_i$ 后，我们利用梯度上升法来更新参数：

因此相比$RankNet$， $LambdaRank$ 只是在${\lambda }_i$ 的基础上引入了评价指标的因素。

损失函数的梯度代表了文档下一次迭代优化的方向和强度，由于引入了$IR$ 评价指标，$Lambda$ 梯度更关注位置靠前的优质文档的排序位置的提升。有效的避免了下调位置靠前优质文档的位置这种情况的发生。$LambdaRank$ 相比 $RankNet$ 的优势在于分解因式后训练速度变快，同时考虑了评价指标，直接对问题求解，效果更明显。

LambdaMart

在之前的博文已经详细总结过$GBDT$ 的推导，其实一句话就可以总结：每次生成的树都是在拟合之前所有已经生成的树的残差，也就是在梯度下降的方向来生成这课树。

那么在上面的$LambdaRank$ 方法中我们已经得到了梯度的计算方式，是否可以用集成学习的方式来学习呢？

在论文中提到 ${\lambda }_{ij}$ 的计算方式：

注意这里面的$Z_{ij}$ 可能是$NDCG$ 或者其他任何一个评价指标，当互换$i、j$ 的位置引起的变化，具体计算上面已经详细讲到。

论文中以 ${\lambda }_{ij}$ 为梯度重新定义了损失函数：

后面就是求损失函数的二阶梯度，再利用牛顿法去优化损失函数，得到当前生成的树。

我感觉上面这种讲法有点不太好理解，下面我直接以$GBDT$ 的套路讲下个人想法：

我们已经知道残差的计算方式为 ${\lambda }_{ij}$，那么直接去拟合每一步的残差去生成树不就可以了吗，都不需要知道损失函数。在实作时也是这样做的。

model_output = np.zeros(len(features))##初始化
for i in range(n_trees):##预先设定的树的个数print " Iteration: " + str(i + 1)# Compute psedo responces (lambdas)# witch act as training label for documentstart = time.clock()print "  --generating labels"##计算之前所有生成的树的预测结果所得lambda值。其就是计算残差，都不需要定义损失函数，因为残差已经定义好了。##在获取每一步模型打分后，根据真实相关，计算NDCG变化值。lambdas = compute_lambdas(model_output, scores, queries, k)print zip(lambdas, scores)#lambdas = mart_responces(model_output, scores)print "  --done", str(time.clock() - start) + " sec"# create tree and append it to the modelprint "  --fitting tree"start = time.clock()tree = DecisionTreeRegressor(max_depth=6)##新建一棵树# print "Distinct lambdas", set(lambdas)tree.fit(features, lambdas)##拟合残差print "  ---done", str(time.clock() - start) + " sec"print "  --adding tree to ensemble"ensemble.add(tree)# update model scoreprint "  --generating step prediction"prediction = tree.predict(features)##当前生成的这课树的预测结果。# print "Distinct answers", set(prediction)print "  --updating full model output"##这句是重点：将当前这颗树的预测结果累加到之前的预测结果去，作为新预测结果。model_output += learning_rate * prediction# print set(model_output)# train_scorestart = time.clock()print "  --scoring on train"##获取当前集成树的NDCG值。train_score = score(model_output, scores, queries, 10) 

${\lambda }_i$ 计算过程：

def query_lambdas(page, k=10):true_page, model_page = page##真实打分，模型预测打分worst_order = np.argsort(true_page)true_page = true_page[worst_order]model_page = model_page[worst_order]model_order = np.argsort(model_page)idcg = dcg(np.sort(true_page)[-10:][::-1])size = len(true_page)position_score = np.zeros((size, size))for i in xrange(size):┆   for j in xrange(size):┆   ┆   position_score[model_order[i], model_order[j]] = \ ┆   ┆   ┆   point_dcg((model_order[j], true_page[model_order[i]]))lambdas = np.zeros(size)for i in xrange(size):┆   for j in xrange(size):┆   ┆   ┆   if true_page[i] > true_page[j]:┆   ┆   ┆   ┆   delta_dcg  = position_score[i][j] - position_score[i][i]┆   ┆   ┆   ┆   delta_dcg += position_score[j][i] - position_score[j][j]┆   ┆   ┆   ┆   delta_ndcg = abs(delta_dcg / idcg)┆   ┆   ┆   ┆   rho = 1 / (1 + math.exp(model_page[i] - model_page[j]))┆   ┆   ┆   ┆   lam = rho * delta_ndcg┆   ┆   ┆   ┆   lambdas[j] -= lam ┆   ┆   ┆   ┆   lambdas[i] += lam return lambdas

总结

$RankNet$ 在推导的时候只用了$U_i$ 比$U_j$ 的相关性高还是低$（-1,0,1）$，没用上包含位置信息的评估指标（如$NDCG$），就推出了梯度$\lambda$，在$RankNet$ 的$\lambda$ 的基础上加入评价指标因素。所以$LambdaMART$ 的$\lambda$，就强硬的在$RankNet$ 的$\lambda$上乘上了评估指标的变化（因为评估指标不连续导致目标函数难以推导）。注意$RankNet$ 到$LambdaMART$ 的目标函数，从代价函数变成了效用函数，所以从使用负梯度变成了正梯度。感觉加上评价指标的因素这一做法有点像强化学习的反馈机制。