1. 引言

本文主要参考：

• Alexander R. Block 2023年论文 Fiat-Shamir Security of FRI and Related SNARKs
• Albert Garreta 2023年9月在ZK Summit 10上分享 ZK10: Fiat-Shamir security of FRI and related SNARKs - Albert Garreta (Nethermind)

评估参数用的Sagemath code见：

• https://github.com/alexander-r-block/FRI-Parameter-Testing-Sagemath

2. 何为FRI-based SNARK？

何为FRI-based SNARK？
非正式来说，其为遵循如下配方的SNARK：

• 1）PIOP：Polynomial Interactive Oracle proof。
• 2）FRI + Merkle trees：将PIOP用FRI和Merkle trees进行compile。
• 3）Fiat-Shamir transform

2.1 何为PIOP？

PIOP=Polynomial Interactive Oracle proof。
PIOP是一种交互协议，有Prover和Verifier两种角色，有problem statement $x$，和仅对Prover已知的witness $w$。Prover和Verifier以一定轮数相互交换消息。

PIOP的独特性在于：

• Prover发送的消息$m_i(X)$为“low degree” polynomials。
• 在交互阶段结束时，Verifier会在random points来open这些$m_i(X)$多项式，并基于这些openings是否满足某些代数关系，来决定是accept还是reject。

当在对PIOP做安全性分析时，一个关键假设是：

• 假设攻击者（恶意Prover）发送的所有maps都是多项式。【这实际是一个很强的假设，从而让PIOP安全性分析相对简单。】

这样，对PIOP的安全性分析，通常会归结为争论：

• 除非Verifier（非常不幸）恰巧发送了某特定low-degree polynomial的root，否则攻击者无法破坏该PIOP协议。
  而根据Schwartz-Zippel lemma有：“degree $d$多项式具有$\le d$个roots”。
  因此，攻击者破解该PIOP协议的概率$\le d/2^{\lambda }$。

PIOP是一种对ZKP进行分析的很好的抽象框架，但实际上，PIOP存在如下问题：

• 1）Verifier如何检查Prover发送的是low degree多项式？
  • 方法之一是：Verifier检查这些多项式的所有evaluations，来确认其是否与某多项式一致，但这会让Verifier非常慢。
• 2）maps $m_i(X)$太大，难以发送。这会让proof size巨大，可能会与Prover直接发送witness size相当。

因此，针对以上PIOP问题的解决方案为：

• Polynomial Commitment Scheme（PCS）多项式承诺方案：即使用某多项式承诺方案对该PIOP进行编译。此时：
  • PIOP中Prover发送的消息为$m_i(X)$多项式的承诺值$Cm(m_i(X))$，而不再是$m_i(X)$多项式本身。
  • 在交互协议阶段结束时，为获得在随机点的openings $m_i(a)$，由于此时Verifier只有$m_i(X)$的承诺值，其无法自己open，因此Verifier会根据特定的PCS规则 与Prover交互，以获得openings $m_i(a)$。

目前的PCS多项式承诺方案有：

• KZG多项式承诺方案
• IPA-based多项式承诺方案
• (FRI + Merkle tree)-based多项式承诺方案：本文重点关注本方案。因很多从业人员常使用(FRI + Merkle tree)-based多项式承诺方案，但实际上其需要在非常严格地配置下，才能将FRI用作PCS多项式承诺方案。而这种严格配置，会让(FRI + Merkle tree)-based PCS很慢。
  因此实际应用时，会将FRI配置为非PCS，后续将详谈这个关键点。

在Marlin和Dark等论文中，有如下定理：

• 若PIOP和PCS是安全的，则新协议是安全的。

2.2 Fiat-Shamir transform

Fiat-Shamir transformation可：

• 移除交互性
• 对public coin协议，所有Verifier消息都是随机的
• 简单思路为：将Verifier的challenges替换为hashes。
• 将哈希函数 模型化为 a Random Oracle。

借助Fiat-Shamir转换为非交互式协议之后：

• Verifier会基于$(x,m_1,c_1,\cdots ,m_{\mu })$的有效性来决定是accept还是reject。
• Verifier会检查$c_i$是否“well hashed”。

当前FRI-based SNARKs有：

• STARK
• Plonky2
• RISC Zero
• Boojum

3. Fiat-Shamir issues

3.1 Fiat-Shamir转换的安全性

令：

• $\Pi$为某交互式协议
• $FS(\Pi )$为其Fiat-Shamir转换

则，有可能$\Pi$是安全的，但$FS(\Pi )$是不安全的。
如：

• 示例一：$\Pi$为sequential repetition of a “small” protocol。如某small protocol的sound error为$1/2$，交互式重复该协议2次，则sound error变为$(1/2{)}^2=1/4$。
  当但对该small协议做FS转换获得新协议时，则可能是灾难——其security仍为$1/2$。
• 示例二：$\Pi$为parallel repetition of a “smaller” protocol ${\Pi }_0$（Attema, Fehr, Kloss, 2022）。【本文重点关注这种并行重复执行协议示例】
  假设${\Pi }_0$ small协议的安全性为$ϵ$，为增加其安全性，并行对其进行重复执行——以2倍并行为例，Prover在每轮会发送2个消息，Verifier在每轮会应答2个challenges。这就相当于以2个线程来并行运行${\Pi }_0$。$\Pi$的Verifier会accept，当且仅当，${\Pi }_0$的Verifier会同时accept $(x,m_1,c_1,m_2,c_2,m_3)$和$(x,m_1^{\prime },c_1^{\prime },m_2^{\prime },c_2^{\prime },m_3^{\prime })$。这样$\Pi$的安全性将是${\Pi }_0$的二次方，即${ϵ}^2$。
  

parallel repetition场景下的FS攻击，攻击者攻击流程为：

• 1）Prover选择$(m_1,m_1^{\prime })$
• 2）计算$(c_1,c_1^{\prime })=Hash(x,m_1,m_1^{\prime })$
• 3）检查$c_1$是否为某“special” challenge，其使得${\Pi }_0$的第一个proof $(x,m_1,c_1,m_2,c_2,m_3)$是有效的。如，$c_1$可为特定多项式的root。【因此，实际需确保Verifier发送的challenge不是多项式的root，否则将破坏协议。】
• 4）若$c_1$不是特殊的challenge，则Prover rewinds，然后重复执行上面的步骤1）。
  【原则上，Prover需要$\approx 1/ϵ=2^{\lambda }$次迭代即可成功。其中$\lambda$为交互式协议的安全参数。】
  
  然后，假设Prover最终找到了该特殊的challenge $c_1$，并继续如下流程：
• 1）令$m_2$为某消息，使得Prover可获得第一个有效proof $(x,m_1,c_1,m_2,c_2,m_3)$。
• 2）然后在另一线程中，重复之前的流程：
  • 2.1）选择任意$m_2^{\prime }$
  • 2.2）计算$(c_2,c_2^{\prime })=Hash(x,m_1,m_1^{\prime },c_1,c_1^{\prime },m_2,m_2^{\prime })$。
  • 2.3）检查$c_2^{\prime }$是否为某“special” challenge，其使得${\Pi }_0$的第二个proof $(x,m_1^{\prime },c_1^{\prime },m_2^{\prime },c_2^{\prime },m_3^{\prime })$是有效的。如，$c_2^{\prime }$可为特定多项式的root。【因此，实际需确保Verifier发送的challenge不是多项式的root，否则将破坏协议。】
  • 2.4）若$c_2^{\prime }$不是特殊的challenge，则Prover rewinds，然后重复执行上面的步骤2.1）。
    【原则上，Prover需要$\approx 1/ϵ=2^{\lambda }$次迭代即可成功。其中$\lambda$为交互式协议的安全参数。】
    

结论为：

• 假设Prover为Round 1找到了特殊的$c_1$，为Round 2找到了特殊的$c_2$。
• 则$(x,m_1,c_1,m_2,c_2,m_3)$和$(x,m_1^{\prime },c_1^{\prime },m_2^{\prime },c_2^{\prime },m_3^{\prime })$均为有效proofs。
• 找到该特殊$c_i$需要约$\approx 1/ϵ=2^{\lambda }$次迭代尝试。
• 总共，Prover需要$1/ϵ+1/ϵ=2/ϵ$次迭代尝试。
• 这样，安全性仅增加了1个bit，尽管期待的是增加2倍，原因在于parallel repetition的交互版本具有的soundness为$1/{ϵ}^2$。
• 总的来说，第2个parallel repetition对soundness没有任何贡献。
  
  相关经验法则为：
• 令${\Pi }_0$为 soundness error为$ϵ$的$\mu$-round协议
• ${\Pi }_0^{\prime }$为并行重复${\Pi }_0$ $t$ 次。
• 则$FS({\Pi }_0^{\prime })$具有的soundness error 为$\approx {ϵ}^{\lceil t/\mu \rceil }$。
• 因此，所添加的${\Pi }_0$并行实例个数，应为$\mu$的倍数，才能实现在FS转换前类似的soundness。
  

3.2 何时FS转换是安全的？

以上面的结论和经验法则可知，存在如下情况：

• ${\Pi }_0^{\prime }$具有soundness ${ϵ}^{\prime }$，但$FS({\Pi }_0^{\prime })$具有低得多的soundness。

那么，问题来了，何时FS转换能保持相同量级的soundness？即何时FS转换后的协议与初始的交互协议具有相同的安全级别？
有2种概念：

• 1）Special soundness（Atttema, Fehr, Kloss, 2022）：即证明初始交互协议满足某种特殊的soundness强概念。若初始交互协议是special sound的，则FS转换后的协议与该初始协议一样安全。
• 2）Round-by-Round (RBR) knowledge soundness（Chiesa, Manohar, Spooner, 2020）：即若证明初始交互协议具有Round-by-Round (RBR) knowledge soundness，则FS转换后的协议与该初始协议一样安全。

所谓Round-by-Round (RBR) knowledge soundness：

• 在之前的2个例子（Sequential repetition和Parallel repetition）中，可称其为 “the overall soundness $ϵ$ of $\Pi$ is the accumulation of smaller soundness errors throughout $\Pi$’s rounds”。
• 但这正是之前FS攻击所利用之处：攻击者其可rewind proofs，并试图破坏该small soundness checks，这些checks具有small soundness，然后Fiat-Shamir transform将不再按预期工作。
• 当满足如下情况时，则称该协议是RBR (knowledge) sound的：【协议的安全性，不是多个不太安全checks的累加】
  • 即，当“each round of $\Pi$ has soundness error $\approx$ the overall error $ϵ$ of $\Pi$”时。

在Theorem (Block, G., Tiwari, Zajac) 中指出：

• RBR knowledge soundness => special soundness => RBR soundness。

4. FRI及其FS安全性

FRI协议：

• FRI是a IOP。
• FRI Prover具有某函数$f:\mathbb{F}\to \mathbb{F}$。
• FRI Verifier可访问所有的$f(v)$，其中$v\in D$，$D\subseteq \mathbb{F}$。
• 理想情况下，FRI协议的目的是：让Verifier信服$f(X)$为某degree $\le d$的多项式。
• 实际情况下，FRI协议的目的是：让Verifier信服$f(X)$ 为 $\delta$-close 某degree $\le d$的多项式。
  • 所谓 $\delta$-close，是指：在$D$的相对大的子集$D_0$内，$f(X)$与某low degree多项式 agree，即$|D_0|\ge (1-\delta )|D|$，且$0<\delta <1$。

Theorem (Block, G., Katz, Thaler, Tiwari, Zajac; StarkWare) 中指出：

• FRI协议是RBR (knowledge) sound的。【根据之前的RBR knowledge soundness => special soundness => RBR soundness，可知FRI协议也是special sound的。】

因此，FRI协议FS转换之后，其soundness $\approx {\mathcal{Q}}_{{\epsilon }_{FRI}}+\frac{{\mathcal{Q}}^2}{2}$。即，可安全的对FRI进行Fiat-Shamir转换。

5. 使用FRI来编译PIOPs

5.1 FRI-based PCS in practice

当 “$\delta$-close” 是 “very close”时，FRI可用于构建多项式承诺：

• 为验证$f(z)=y$，需使用FRI来检查：“$q(X):=\frac{f(X)-y}{X-z}$” 为 “$\delta$-close” to 某degree $\le d-1$ 多项式。
• 此处“very close”，是指：在 某unique decoding radius $\delta \le (1-(d+1)/|D|)/2$范围内。
• 但是，取如此小的$\delta$值，在效率上是有开销的。会导致不具备实用性的不高效的FRI协议。也就是说，实际应用时，并不会取如此低的proximity参数。
• 实际上，当前所有的协议（如STARK、Plonky2、RISC Zero等），会取更大的proximity参数$\delta$值，其最大为Johnson bound：$1-\sqrt{(d+1)/|D|}$。
• 这样的实际取值，导致以上"PCS"将不再是一个多项式承诺方案。原因在于：
  • 可能有多个多项式，其均满足$\delta$-close to the map $q(X)$。
  • Prover可open这多个close多项式中的任意一个。【此时，Prover不再是对某多项式进行commit，而是对一组多项式进行commit。这是个问题。】
  • 将FRI用作PCS beyond unique decoding radius的相关项目有：
    • RedShift：Plonk + FRI —— 其soundness error随execution trace width指数级扩大。
    • STARK-type协议：DEEP-FRI、ethSTARK等 + Hab¨ock。【其使用FRI来编译PIOPs，当不将FRI看成是多项式承诺方案。】【Polygon Labs Ulrich Hab¨ock 2022年论文《A summary on the FRI low degree test》中，对所评估的soundness进行了一点改进。】

为此，主要结论为：

• Theorem (Block, G., Katz, Thaler, Tiwari, Zajac) 中指出：有某large class $\mathcal{C}$ of PIOPs，使得：
  • 假设该初始PIOP是RBR (knowledge) sound的。
  • 则所生成的FRI-based SNARG是knowledge sound的，即为a SNARK。

因此，关键点在于：

• 以上Theorem支持，仅通过看该PIOP，来证明该SNARK的安全性。这样通常相对更易于分析。

Alexander R. Block 2023年论文 Fiat-Shamir Security of FRI and Related SNARKs 中：

• 展示了ethSTARK和Plonky2作为PIOPs是RBR knowledge sound的，且在class $\mathcal{C}$中。
• 从而可推断出：ethSTARK和Plonky2作为SNARGs是knowledge sound的。
• 与此同时，StarkWare也展示了ethSTARK的相同结论。
• 称PIOPs in $\mathcal{C}$ $0$-correlated。

参考资料

[1] Alexander R. Block 2023年论文 Fiat-Shamir Security of FRI and Related SNARKs
[2] Albert Garreta 2023年9月在ZK Summit 10上分享 ZK10: Fiat-Shamir security of FRI and related SNARKs - Albert Garreta (Nethermind)