谐波

周期性信号并不总是完美的正弦模式，例如我们之前有关 正弦波的文章之一中介绍的那样。 有时，信号确实可以是简单正弦波的叠加，它们被称为复杂波形。

在本文中，我们将重点关注复杂的周期性波形，以了解它们的组成以及如何分析它们。

首先，我们介绍谐波的概念以及频谱表示。 在第二部分中，我们重点关注谱分析，这是基于傅立叶级数的分析谐波的数学工具。

1、概述

假设一个周期信号 $s(t)$，它是两个称为谐波 $y_0(t)$ 和 $y_1(t)$ 的正弦波形的叠加，它们的频率和幅度满足 ${\omega }_1=2{\omega }_0$； $A_0=2A_1$。 因此，它们的表达式由 $y_0(t)=A_0\sin ({\omega }_{0}t)$ 和 $y_1(t)=A_1\sin ({\omega }_{1}t)$ 给出。 图 1 显示了与结果信号 $s(t)$ 分开的谐波 $y_0(t)$ 和 $y_1(t)$：

图1：复杂波形及其谐波的表示

在此示例中，$y_0(t)$ 称为基波，$y_1(t)$ 称为一次谐波。 基波谐波是频率较低的信号，它给出了结果信号 $s(t)$ 的周期性：我们确实可以看到 ${\omega }_0={\omega }_S$。

因此，谐波是复杂波形的“构建”函数，但是，它们的频率不是随机的，并且始终满足 ${\omega }_0={\omega }_S$、${\omega }_1=2{\omega }_0$ 和 ${\omega }_2=3{\omega }_0$（如果存在二次谐波）等等……在一般情况下， 第n次谐波的频率满足关系式${\omega }_n=(n+1)\times {\omega }_0$。

当给定特定的复杂波形时，一种非常合适的表示形式称为信号的频谱。 这种表示方法包括绘制每个谐波的幅度作为频率的函数，并且可以通过 Python 或 MatLab 等数值程序进行计算：

图2：s(t)的频谱

检查$s(t)$ 的频谱，可以清楚地看到基波信号的频率为 $f_0=15/2\pi =2.4Hz$，幅度 $A_0=1$（例如 $V$ 或 $A$），而一次谐波的频率为 $2f_0=4.8Hz$，振幅$A_1=0.5$。

2、频谱分析

绘制如图 2 所示的频谱是基于称为傅立叶级数的数学工具。 这种方法是在19世纪初期由法国科学家约瑟夫·傅立叶提出的，至今仍然是信号分析的主要工具之一。

该方法基于这样的观察：任何周期信号 $y(t)$ 实际上都是可以计算幅度和相位的谐波的无限和（一系列）。 同样的观察可以写成一个数学方程：

等式1：将周期信号分解为傅立叶级数

复指数项只是写谐波的复数形式（请参阅复数这篇文章）。 整数n指的是第n次谐波，T是$y(t)$的周期。

系数 $c_n(y)$ 称为函数$y(t)$的傅里叶系数，由以下关系确定：

等式2：傅里叶系数

通常将系数 $c_n$ 分为两个系数 $a_n$ 和 $b_n$，对于实函数，这两个系数由下式给出：

等式3：实函数的简化傅立叶系数

这种确定任何周期信号的傅里叶分解的方法，因此给出如图 2 所示的频谱，也称为傅里叶变换 (FT)，它是针对非周期信号的相同方法的扩展。

需要分别考虑两种情况才能进行周期信号的 FT，并在以下小节中进行解释。

3、已知信号

第一种情况是要分解的信号是否具有已知的解析表达式。 例如，考虑周期性为 T 的方波信号 $sq(t)$。其表达式通过以下定义可知：

图 3 表示几个周期内周期 $T=2\pi$ 的方波信号：

图3：方波信号示意图

首先，我们确定项 $a_0$ 的表达式：

该系数表示信号的平均值：$y(t)$，并且在一半的时间内确实等于 1，否则等于 0。 请注意，由于 $\sin (0)=0$，因此项 $b_0$ 等于 0。

当开发 $n>0$ 的 $a_n$ 表达式时，我们意识到这些系数与在 0 和 $\pi$ 之间计算的 $\sin (nx)$ 成正比，它始终等于 0，因此$(a_n{)}_{n>0}=0$。

最后，我们确定 $n>0$ 时系数 $b_n$ 的一般表达式：

当在 0 和$\pi$ 之间求值时，如果 n 为奇数，则 $\cos (nx)$ 项等于 -2；如果 n 为偶数，则 $\cos (nx)$等于 0。 $(b_n{)}_{n>0}$ 的最终表达式由下式给出：

每个系数 $b_n$ 对应于谐波 $\sin (nt)$ 的幅度。 因此，根据 $a_0$ 和 $b_n$ 的表达式，我们可以给出方波信号 $sq(t)$ 的完整傅里叶展开：

等式：周期2π方波信号的傅立叶展开

根据等式4，我们可以绘制$sq(t)$ 的频谱的一部分，如下图 4 所示：

图4：方波信号的频谱 sq(t)

对于该信号，仅存在奇次谐波，其幅度由 $2/n\pi$ 给出，频率由 $n/2\pi$ 给出。 请注意，平均值也出现在 0Hz 频率的频谱中。 由于方波信号呈现无限数量的谐波，因此频谱当然仅显示到特定频率。

例如，当使用函数发生器生成方波信号时，仅采用有限数量的谐波来构建波形。 例如，如果我们使用谐波 1、2、3、4 和 5，我们称信号是使用直到五阶的谐波生成的，阶数给出了形状的准确度：

图5：使用谐波分解对方波信号进行两种近似图

当近似阶数增加时，我们可以查明在不连续性跳跃周围出现过冲（信号从 0 到 1 或从 1 到 0 残酷地交替）。 这被称为吉布斯现象（Gibbs Phenomenon），并且出现在存在不连续跳跃的每个信号中。

4、未知信号

让我们重新考虑演示部分中给出的示例，并解释数值程序如何确定$s(t)$的傅立叶分解。 在图 1 中，我们可以测量 $s(t)$ 的周期性为 $T=0.42s$。

第一个系数$c_0(y)$很容易确定，在我们的示例中等于 0，因为围绕水平轴对称的周期信号在一个周期内的积分始终等于 0。实际上，该第一个系数始终与 直流量，因此是平均值，这在我们的例子中不存在。

当函数$s(t)$的表达式已知时，可以分析计算系数$c_n$，如上一小节所示。 然而，对于未知函数$s(t)，n>0$时的系数$an(y)$ 和 $bn(y)$ 通过计算 $-T/2$ 和 $T/2$（或 0 和 $T$）之间的面积来数值确定 函数 $s(t)\cos (2\pi nt/T)$ 和 $s(t)\sin (2\pi nt/T)$的曲线。

这可以通过多种方法来完成，最容易实现和理解的方法之一是矩形方法，其思想如图 6 中的函数$s(t)\sin (2\pi t/T)$所示：

图6：矩形法图解

如图 5 所示，该方法包括通过对宽度为$dt$ 和高度为 $y(n\times dt)$的小矩形面积求和来近似曲线的积分，其中$n$是所考虑矩形的索引。

信号$y(t)$的周期T被细分为$N$个矩形，例如$N\times dt=T$。 当 $dt$ 足够小时，矩形面积之和约等于 $y(t)$在一段时间内的积分：

值得一提的是，为了更好地收敛到精确结果，存在更精确的方法，例如通过选择矩形以外的其他形状来更准确地遵循曲线。

5、总结

• 如本文第一部分所述，谐波是形成任何周期信号的基本正弦波形。 一些复杂波形可以具有有限数量的谐波，而其他波形则具有无限数量，例如本文后面介绍的方波信号。
• 谐波的频率始终是复信号基频的整数倍。 它们的幅度通常向高频方向减小，并且可以通过傅里叶分解来确定。
• 频谱表示是突出显示信号谐波的最方便的方法，它是通过第二部分中介绍的傅里叶分解来计算的。 如果复杂波形的表达式已知，则分解可以是解析的；如果信号未知，则分解可以是数值的。