1. 深度学习——激活函数

机器学习面试题汇总与解析——激活函数

本章讲解知识点

    1. 什么是激活函数?
    1. 为什么要使用激活函数?
    1. 详细讲解激活函数


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1. 什么是激活函数?

1.1 定义与作用

激活函数是一种用于神经网络和其他机器学习模型中的非线性函数。它被应用于神经网络的每个神经元上,将输入信号进行转换,产生输出信号。激活函数的作用是引入非线性性质,使神经网络能够学习和表示更复杂的函数关系

在神经网络中,每个神经元接收来自上一层神经元的加权输入,然后通过激活函数对这个加权输入进行非线性变换,生成神经元的输出。这个输出被传递到下一层神经元作为输入。

激活函数的主要作用有以下几点:

  • 引入非线性:激活函数能够将线性变换后的输入转换为非线性输出,使得神经网络具备非线性建模能力。这对于解决复杂的非线性问题至关重要。

  • 改善模型的表达能力:通过引入非线性性质,激活函数能够增加神经网络的表达能力,使其能够学习和表示更加复杂的函数关系。

  • 增强网络的稳定性:激活函数能够限制神经元输出的范围,防止信号的过度扩散或衰减,从而增强神经网络的稳定性和收敛性。

1.2 常见的激活函数包括

  • Sigmoid函数(逻辑斯蒂函数)
  • 双曲正切函数(Tanh函数)
  • ReLU函数(修正线性单元)
  • Leaky ReLU函数
  • Parametric ReLU函数(PReLU)
  • ELU函数(指数线性单元)
  • Softmax函数(用于多分类任务)

选择适当的激活函数取决于具体的问题和网络架构。不同的激活函数具有不同的性质和适用场景,因此在设计神经网络时需要根据实际情况进行选择。


2. 为什么要使用激活函数?

下图是神经元模型:

img

其中 x i x_i xi 为第 i 个输入, w i w_i wi 为第 i 个神经元的权重, θ θ θ 为门限。可以看到, y y y 为线性函数,线性函数就只能处理线性问题,非线性的问题没办法处理了。所以为了让神经网络也能处理非线性的问题,才需要引入非线性激活函数,把线性函数给非线性化。这就是使用激活函数的意义

让我们以一个简单的线性函数和一个非线性函数作为例子,来说明为什么要使用激活函数。

假设我们有一个神经网络,其中包含一个输入层和一个输出层。我们使用一个线性函数作为激活函数,并尝试使用这个网络进行二分类任务。

  • 线性函数作为激活函数:
    如果我们选择线性函数作为激活函数(例如f(x) = ax),那么整个神经网络的输出就是一个线性函数。无论我们网络有多少层,它仍然只能表示线性关系。这意味着网络无法学习和表示复杂的非线性模式,对于解决复杂的问题效果会非常有限。

  • 非线性函数作为激活函数:
    现在,我们选择一个非线性函数作为激活函数,例如ReLU函数(f(x) = max(0, x))。这个非线性函数引入了非线性性质,使得神经网络能够学习和表示更复杂的函数关系。ReLU函数在输入为负数时输出为0,在输入为正数时输出与输入相等,这样的非线性特性可以帮助网络区分不同类别的数据,并提高分类准确性。

举个例子,假设我们的二分类任务是将两类数据点分开,这两类数据点在输入空间中呈现出一个圆环状的分布。如果我们使用线性函数作为激活函数,无论多少层网络,它只能拟合一条直线,无法切割出圆环形状的区域。但是,如果我们使用ReLU等非线性函数作为激活函数,神经网络可以通过学习组合多个线性函数,来逼近并拟合出圆环形状的边界,从而更好地进行分类。

如下图数据,线性函数是没办法很好二分类的,但是非线性函数可以逼近并拟合出圆环形状的边界,从而更好地进行分类,例如数据被分类成蓝色部分和黄色部分。

img

3. 详细讲解激活函数

从激活函数的发展历史开始讲起:

3.1 sigmoid 函数

1.定义

sigmoid 函数sigmoid(x) 型函数也称 Logistic 函数,公式如下:

σ ( x ) = 1 1 + e x p ( − x ) (.) \sigma(x)=\frac{1}{1+exp(-x)} \\ \tag{.} σ(x)=1+exp(x)1(.)

sigmoid 型函数是第一个被广泛应用于神经网络激活函数。经过 sigmoid 型函数作用后,输出的值范围在 [0,1] 之间。但是 sigmoid 型函数的输出存在均值不为 0 的情况,并且存在梯度消失的问题,在深层网络中被其他激活函数替代。在逻辑回归中使用的该激活函数用于输出分类

2.期望

函数图形如下:

img

从函数和公式可以很清楚地看到,sigmoid 函数将输入映射到了 [0,1] 之间,因为输出都大于 0,所以 sigmoid 函数期望(均值)大于 0 的。什么意思呢?简单理解就是 (0+1)/2=0.5,均值大于 0。如果输出区间在 [-1,1] 之间,那么均值就是 (-1+1)/2=0 了。

当然这只是简单理解,期望计算公式如下:

E ( x ) = ∑ k = 1 ∞ x k p k (.) E(x)=\sum_{k=1}^ \infty x_kp_k \tag{.} E(x)=k=1xkpk(.)

这个 x k x_k xk 表示取值,如 1,2,3,4…; p k p_k pk 表示取值的概率,按照上面的公式加和,就得到我们的期望 E ( x ) E(x) E(x) 了。

然后在神经网络中,我们希望当前一层的神经元输出均值为 0,为什么要均值为 0 呢?有以下几点原因:

  • 均值中心化:将激活函数的期望值设置为 0 可以使得网络的输出更容易进行归一化处理。通过均值中心化,可以减少输入数据的偏移和不平衡,有助于提高网络的稳定性和收敛速度。

  • 梯度传播:激活函数的期望为 0 可以促使梯度在反向传播过程中更好地传播。当激活函数的期望为非零值时,梯度的平均值可能会发生偏移,导致梯度传播过程中的不稳定性。而期望为 0 的激活函数可以使得梯度在不同层之间的传播更加一致和稳定。

  • 防止梯度爆炸和梯度消失:激活函数的期望为 0 有助于缓解梯度爆炸和梯度消失的问题。如果激活函数的期望值较大,网络的参数更新可能会导致梯度变得非常大,造成梯度爆炸。相反,如果激活函数的期望值较小,梯度可能会在反向传播过程中逐渐消失,导致梯度消失问题。通过将激活函数的期望设置为0,可以在一定程度上避免这些问题。

sigmoid 函数期望显然不满足以上原则。

3.梯度消失

sigmoid 函数存在梯度消失的问题。

那怎么又存在梯度消失的问题呢?梯度是啥啊?梯度就是曲线斜率吧,曲线斜率就是切线吧,大家可以回忆一下高中的知识哈,在函数图形上画切线就可以看到 sigmoid 函数两边的斜率已经越来越趋向 0 了,如图:

img

都趋向 0 了,我们神经网络反向传播参数的时候参数就不更新了呀,不更新就代表网络没有继续学习了,这就是梯度消失

4.Sigmoid 函数的特点如下

  • 输出范围:Sigmoid 函数的输出范围在 0 和 1 之间,可以将输出解释为概率值,表示某个事件发生的概率

  • 平滑性:Sigmoid 函数具有平滑的连续性质,其曲线在整个定义域内都是光滑且单调递增的。方便求导,能求导就可以使用梯度下降的方式来优化

  • 中心对称性:Sigmoid函数关于 y = 0.5 y = 0.5 y=0.5 对称,即对于任意 x x x,有 f ( − x ) = 1 − f ( x ) f(-x) = 1 - f(x) f(x)=1f(x)

  • 饱和性:当输入值非常大或非常小时,Sigmoid 函数的输出接近于 1 或 0,导致梯度接近于 0。这种饱和性可能导致梯度消失的问题,在深度神经网络中容易出现梯度衰减问题。

3.2 tanh 函数

tanh 函数。tanh(x) 型函数可以解决 sigmoid 型函数的期望(均值)不为 0 的情况。函数输出范围为 (-1,+1)。但 tanh(x) 型函数依然存在梯度消失的问题。公式如下:

t a n h ( x ) = e x − e − x e x + e − x = e 2 x − 1 e 2 x + 1 = 2 ⋅ s i g m o i d ( 2 x ) − 1 (.) tanh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=2 \cdot sigmoid(2x)-1 \\ \tag{.} tanh(x)=ex+exexex=e2x+1e2x1=2sigmoid(2x)1(.)

在 LSTM 中使用了 tanh(x) 型函数。

可以看到函数曲线:

img

输出范围成了 [-1,1],期望(均值)为 0。梯度消失的问题同sigmoid。

tanh 函数的特点如下

  • 输出范围:tanh函数的输出范围在 -1 和 1 之间,可以将输出解释为样本属于不同类别的置信度或概率。

  • 平滑性:tanh函数具有平滑的连续性质,其曲线在整个定义域内都是光滑且单调递增的。

  • 中心对称性:tanh 函数关于原点对称,即对于任意 x x x,有 f ( − x ) = − f ( x ) f(-x) = -f(x) f(x)=f(x)。输出期望为 0。

  • 饱和性:当输入值非常大或非常小时,tanh 函数的输出接近于 1 或 -1,导致梯度接近于 0。这种饱和性可能导致梯度消失的问题,在深度神经网络中容易出现梯度衰减问题。

3.3 ReLU 函数

ReLU 函数。ReLU(x) 型函数可以有效避免梯度消失的问题,公式如下:

R e L U ( x ) = { x , i f x ≥ 0 0 , i f x < 0 (.) ReLU(x)=\begin{cases}x,\quad if \quad x\geq 0 \\ 0, \quad if \quad x< 0 \\ \end{cases} \\ \tag{.} ReLU(x)={x,ifx00,ifx<0(.)

函数如图:

img

可以看到,ReLU 在大于 0 时,斜率固定,不存在梯度消失的问题,这有助于网络训练。再看看梯度函数:

img

ReLU 梯度稳定,值还比 sigmoid 大,所以可以加快网络训练不过 ReLU 的缺点就是小于 0 的值不再得到响应,这又不利于网络训练。我们在输入图像时就要注意,应该使用 Min-Max 归一化,而不能使用 Z-score 归一化。

ReLU 函数的特点如下

  • 线性性质:在输入为正时,ReLU 函数是线性函数,直接将输入值传递给输出。这使得 ReLU 函数具有较强的表达能力。

  • 非线性性质:在输入为负时,ReLU 函数输出为 0,引入了非线性特性,可以帮助神经网络学习更复杂的模式和表示。

  • 稀疏激活:ReLU 函数的输出为 0 的特性使得神经网络中的神经元具有稀疏激活性。对于给定的输入样本,只有部分神经元会被激活,从而减少了参数的冗余性,提高了网络的效率。

  • 消失梯度问题的缓解:相比于 Sigmoid 函数和 tanh 函数,在反向传播过程中,ReLU 函数的梯度计算更简单且不会出现饱和现象,因此更不容易出现梯度消失的问题。

  • 死区现象:ReLU 函数在输入为负时输出为 0,可能导致神经元死亡的问题,即一旦激活为 0,对应的权重将不再更新,该神经元很可能包含重要特征。

  • 梯度爆炸:ReLU 不会对数据做幅度压缩,如果数据的幅度不断扩张,模型层数越深,幅度扩张越厉害,出现梯度爆炸,最终会影响模型性能。

3.4 ReLU6 函数

大家可以注意到 ReLU 的正值输出为 [0,无穷大],关键是我们计算机内存有限,能存储无穷大的数吗?当然不能,同时为了对 ReLU 的数据做幅度压缩,所以将 ReLU 应用到实际中时需要限定输出的最大值,所以就成了 ReLU6 了,如图:

img

就是因为最大输出限定在 6,所以称为 ReLU6 了。

3.5 Leaky ReLU 函数

Leaky ReLU 函数。Leaky ReLU(x) 型函数为负值增加了一个斜率,缓解了“死区”现象,公式如下:

L e a k y R e L U ( x ) = { x , i f x ≥ 0 α ⋅ x , i f x < 0 (.) Leaky\quad ReLU(x)=\begin{cases}x,\quad if \quad x\geq 0 \\ \alpha \cdot x, \quad if \quad x< 0 \\ \end{cases} \\ \tag{.} LeakyReLU(x)={x,ifx0αx,ifx<0(.)

α \alpha α 是一个小的正数,通常取接近于 0 的小值,如 0.01。

Leaky ReLU函数如图:

img

可以看到,0 的左边存在斜率,那么负值也可以得到响应,有利于网络学习到更多的信息。Leaky ReLU(x) 型函数缺点是,超参数 α \alpha α 合适的值不好设定。当我们想让神经网络能够学到负值信息,那么使用该激活函数。

Leaky ReLU函数的特点如下:

  • 线性性质:在输入为正时,Leaky ReLU 函数与 ReLU 函数一样,直接输出输入值,具有线性性质。

  • 非线性性质:在输入为负时,Leaky ReLU 函数乘以斜率 α \alpha α,引入了非线性特性,可以帮助神经网络学习更复杂的模式和表示。

  • 缓解神经元死亡问题:通过引入一个小的斜率 α \alpha α,Leaky ReLU 函数使得负值部分不再完全变为 0,从而缓解了神经元死亡问题。即使输入为负,梯度仍然可以传播并更新相关的权重。

  • 零中心性:当斜率 α \alpha α 取较小的正数时,Leaky ReLU 函数在整个定义域上保持零中心性,有助于网络的稳定性和收敛性。

3.6 Mish 函数

Mish 激活函数。Mish 激活函数同样允许负值有一定的梯度流入。公式如下:

M i s h ( x ) = x ⋅ t a n h ( l o g ( 1 + e x ) ) (.) Mish(x)=x \cdot tanh(log(1+e^x)) \\ \tag{.} Mish(x)=xtanh(log(1+ex))(.)

应用场景同 Leaky ReLU(x) 型函数。

如图:

img

可以看出,在负值中,允许有一定的梯度流入。

3.7 PReLU 函数

参数化 ReLU(P-ReLU)。参数化 ReLU 为了解决超参数 α \alpha α 合适的值不好设定的问题,干脆将这个参数也融入模型的整体训练过程中。也使用误差反向传播和随机梯度下降的方法更新参数。

3.8 RReLU 函数

随机化 ReLU(R-ReLU)。顾名思义,就是超参数 α \alpha α 随机化,让不同的层自己学习不同的超参数,但随机化的超参数的分布符合均值分布或高斯分布,如图:

img

3.9 指数化线性单元(ELU)

指数化线性单元(ELU)。也是为了解决死区问题,公式如下:

E L U ( x ) = { x , i f x ≥ 0 λ ⋅ ( e x − 1 ) , i f x < 0 (.) ELU(x)=\begin{cases}x,\quad if \quad x\geq 0 \\ \lambda \cdot (e^x-1), \quad if \quad x< 0 \\ \end{cases} \\ \tag{.} ELU(x)={x,ifx0λ(ex1),ifx<0(.)

如图:

img

缺点是指数计算量大

3.10 Maxout

Maxout。与常规的激活函数不同,Maxout 是一个可以学习的分段线性函数。其原理是,任何 ReLU 及其变体等激活函数都可以看成分段的线性函数,而 Maxout 加入的一层神经元正是一个可以学习参数的分段线性函数。Maxout 是深度学习网络中的一层网络,就像池化层、卷积层一样等,我们可以把 Maxout 看成是网络的激活函数层。如图:

img

从图中可以看出,Maxout 就像一个层一样,k 个节点就对应 k 个参数。这个层最终表现为一个分段函数。

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优点是其拟合能力很强,理论上可以拟合任意的凸函数。缺点是参数量激增!在 Network-in-Network 中使用的该激活函数。

3.11 Softmax 函数

Softmax 函数是一种常用的激活函数,常用于多类别分类任务中,Softmax 函数将输入向量转化为一个概率分布,使得各个类别的输出概率之和为 1。这样可以将模型的输出解释为样本属于各个类别的概率。Softmax 不用于神经网络的中间层,而是在最后的输出时使用

公式如下:

s = s o f t m a x ( z ) = e z i ∑ k = 1 K e z k , i = 1 , 2 , . . . K (.) s = softmax(z)=\frac{e^{z_i}}{\sum_{k=1}^K e^{z_k}},i=1,2,...K \tag{.} s=softmax(z)=k=1Kezkezi,i=1,2,...K(.)

Softmax 是用于多类分类问题的激活函数,在多类分类问题中,超过两个类标签则需要类成员关系。对于长度为 K 的任意实向量,Softmax 可以将其压缩为长度为 K,值在(0,1)范围内,并且向量中元素的总和为 1 的实向量。

img

右边的概率加起来为 1

3.12 Softplus 函数

SoftPlus 相当于是对 ReLU 的平滑,解决了 Dead ReLU 问题。

S o f t p l u s ( x ) = l o g e ( 1 + e x ) (.) Softplus(x)=log_e(1+e^x) \\ \tag{.} Softplus(x)=loge(1+ex)(.)

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3.13 总结

在隐藏层中使用推荐的顺序:ReLU / Leaky-ReLU > ELU > Tanh > Sigmoid

CNN 中 ReLU 使用较多

RNN 中 Tanh、sigmoid 使用较多

LSTM 中门机制使用 sigmoid,计算 cell 的时候用 tanh



面试题

1. 说一下你了解的激活函数?分别应用于什么场景?⭐⭐⭐⭐⭐

参考回答

1.sigmoid。sigmoid(x) 型函数也称 Logistic 函数,公式如下:

σ ( x ) = 1 1 + e x p ( − x ) (.) \sigma(x)=\frac{1}{1+exp(-x)} \\ \tag{.} σ(x)=1+exp(x)1(.)

sigmoid 型函数是第一个被广泛应用于神经网络激活函数。经过 sigmoid 型函数作用后,输出的值范围在 [0,1] 之间。但是 sigmoid 型函数的输出存在均值不为 0 的情况,并且存在梯度消失的问题,在深层网络中被其他激活函数替代。在逻辑回归中使用的该激活函数用于输出分类

2.tanh。tanh(x) 型函数可以解决 sigmoid 型函数的期望(均值)不为 0 的情况。函数输出范围为 (-1,+1)。但 tanh(x) 型函数依然存在梯度消失的问题。公式如下:

t a n h ( x ) = e x − e − x e x + e − x = e 2 x − 1 e 2 x + 1 = 2 ⋅ s i g m o i d ( 2 x ) − 1 (.) tanh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=2 \cdot sigmoid(2x)-1 \\ \tag{.} tanh(x)=ex+exexex=e2x+1e2x1=2sigmoid(2x)1(.)

在 LSTM 中使用了 tanh(x) 型函数。

3.ReLU。ReLU(x) 型函数可以有效避免梯度消失的问题,公式如下:

R e L U ( x ) = { x , i f x ≥ 0 0 , i f x < 0 (.) ReLU(x)=\begin{cases}x,\quad if \quad x\geq 0 \\ 0, \quad if \quad x< 0 \\ \end{cases} \\ \tag{.} ReLU(x)={x,ifx00,ifx<0(.)

ReLU(x) 型函数的缺点是负值成为“死区”,神经网络无法再对其进行响应。Alex-Net 使用了 ReLU(x) 型函数。当我们训练深层神经网络时,最好使用 ReLU(x) 型函数而不是 sigmoid(x) 型函数。

4.Leaky ReLU。Leaky ReLU(x) 型函数为负值增加了一个斜率,缓解了“死区”现象,公式如下:

L e a k y R e L U ( x ) = { x , i f x ≥ 0 α ⋅ x , i f x < 0 (.) Leaky\quad ReLU(x)=\begin{cases}x,\quad if \quad x\geq 0 \\ \alpha \cdot x, \quad if \quad x< 0 \\ \end{cases} \\ \tag{.} LeakyReLU(x)={x,ifx0αx,ifx<0(.)

Leaky ReLU(x) 型函数缺点是,超参数 α \alpha α 合适的值不好设定。当我们想让神经网络能够学到负值信息,那么使用该激活函数。

5.Mish 激活函数。Mish 激活函数同样允许负值有一定的梯度流入。公式如下:

M i s h ( x ) = x ⋅ t a n h ( l o g ( 1 + e x ) ) (.) Mish(x)=x \cdot tanh(log(1+e^x)) \\ \tag{.} Mish(x)=xtanh(log(1+ex))(.)

应用场景同 Leaky ReLU(x) 型函数。

6.参数化 ReLU(P-ReLU)。参数化 ReLU 为了解决超参数 α \alpha α 合适的值不好设定的问题,干脆将这个参数也融入模型的整体训练过程中。也使用误差反向传播和随机梯度下降的方法更新参数。

7.随机化 ReLU(R-ReLU)。顾名思义,就是超参数 α \alpha α 随机化,让不同的层自己学习不同的超参数,但随机化的超参数的分布符合均值分布或高斯分布。

8.指数化线性单元(ELU)。也是为了解决死区问题,公式如下:

E L U ( x ) = { x , i f x ≥ 0 λ ⋅ ( e x − 1 ) , i f x < 0 (.) ELU(x)=\begin{cases}x,\quad if \quad x\geq 0 \\ \lambda \cdot (e^x-1), \quad if \quad x< 0 \\ \end{cases} \\ \tag{.} ELU(x)={x,ifx0λ(ex1),ifx<0(.)

缺点是指数计算量大

9.Maxout。与常规的激活函数不同,Maxout 是一个可以学习的分段线性函数。其原理是,任何 ReLU 及其变体等激活函数都可以看成分段的线性函数,而 Maxout 加入的一层神经元正是一个可以学习参数的分段线性函数。

优点是其拟合能力很强,理论上可以拟合任意的凸函数。缺点是参数量激增!在 Network-in-Network 中使用的该激活函数。

10.Softmax 函数是一种常用的激活函数,常用于多类别分类任务中,Softmax 函数将输入向量转化为一个概率分布,使得各个类别的输出概率之和为 1。Softmax 不用于神经网络的中间层,而是在最后的输出时使用

公式如下:

s = s o f t m a x ( z ) = e z i ∑ k = 1 K e z k , i = 1 , 2 , . . . K (.) s = softmax(z)=\frac{e^{z_i}}{\sum_{k=1}^K e^{z_k}},i=1,2,...K \tag{.} s=softmax(z)=k=1Kezkezi,i=1,2,...K(.)

11.SoftPlus 相当于是对 ReLU 的平滑,解决了 Dead ReLU 问题。

S o f t p l u s ( x ) = l o g e ( 1 + e x ) (.) Softplus(x)=log_e(1+e^x) \\ \tag{.} Softplus(x)=loge(1+ex)(.)

2. 说说你平时都用过什么激活函数,各自什么特点?⭐⭐⭐⭐⭐

参考回答

回答与第一题类似。

3. 写一下 leaky ReLU 的公式,跟 ReLU 比有什么优势?⭐⭐⭐⭐⭐

参考回答

Leaky ReLU。Leaky ReLU(x) 型函数为负值增加了一个斜率,缓解了 ReLU(x) “死区”现象,公式如下:

L e a k y R e L U ( x ) = { x , i f x ≥ 0 α ⋅ x , i f x < 0 (.) Leaky\quad ReLU(x)=\begin{cases}x,\quad if \quad x\geq 0 \\ \alpha \cdot x, \quad if \quad x< 0 \\ \end{cases} \\ \tag{.} LeakyReLU(x)={x,ifx0αx,ifx<0(.)

Leaky ReLU(x) 型函数缺点是,超参数 α \alpha α 合适的值不好设定。当我们想让神经网络能够学到负值信息,那么使用该激活函数。

4. 了解 ReLU6 吗?⭐⭐⭐⭐⭐

参考回答

ReLU的正值输出为[0,无穷大],关键是我们计算机内存有限,能存储无穷大的数吗?当然不能,同时为了对 ReLU 的数据做幅度压缩,所以将 ReLU 应用到实际中时需要限定输出的最大值,所以就成了 ReLU6 了,如图:

img

就是因为最大输出限定在 6,所以称为 ReLU6 了。

5. sigmoid 有什么缺点,有哪些解决办法?⭐⭐⭐⭐⭐

参考回答

sigmoid 型函数是第一个被广泛应用于神经网络激活函数。经过 sigmoid 型函数作用后,输出的值范围在 [0,1] 之间。但是 sigmoid 型函数的输出存在均值不为 0 的情况,并且存在梯度消失与梯度爆炸的问题

解决办法

  1. 在深层网络中被其他激活函数替代。如 ReLU(x)Leaky ReLU(x)

  2. 在分类问题中,sigmoid 做激活函数时,使用交叉熵损失函数替代均方误差损失函数。

  3. 采用正确的权重初始化方法:如 He_init 方法

  4. 加入 BN 层

  5. 分层训练权重

6. ReLU 在零点可导吗,不可导如何进行反向传播?⭐⭐⭐⭐⭐

参考回答

不可导。

人为将梯度规定为 0.

答案解析

caffe源码~/caffe/src/caffe/layers/relu_layer.cpp倒数第十行代码:bottom_diff[i] = top_diff[i] * ((bottom_data[i] > 0)+ negative_slope * (bottom_data[i] <= 0));

可以清楚看到,默认情况下(negative_slope=0),间断点处(<=0)的导数认为是 0.

7. 推导 sigmoid 求导公式⭐⭐⭐⭐⭐

参考回答

sigmoid公式为:

σ ( x ) = 1 1 + e x p ( − z ) (.) \sigma(x)=\frac{1}{1+exp(-z)} \\ \tag{.} σ(x)=1+exp(z)1(.)

那么求导推导如下:

σ ′ ( x ) = ( 1 1 + e − z ) ′ = 1 ( 1 + e − z ) 2 ⋅ ( e − z ) = 1 1 + e − z ⋅ e − z 1 + e − z = 1 1 + e − z ⋅ ( 1 − 1 1 + e − z ) = σ ( z ) ( 1 − σ ( z ) ) (.) \sigma^{'}(x)=(\frac{1}{1+e^{-z}})^{'} \\ =\frac{1}{(1+e^{-z})^2} \cdot (e^{-z}) \\ =\frac{1}{1+e^{-z}} \cdot \frac{e^{-z}}{1+e^{-z}} \\ =\frac{1}{1+e^{-z}} \cdot (1- \frac{1}{1+e^{-z}}) \\ =\sigma(z)(1-\sigma(z)) \\ \tag{.} σ(x)=(1+ez1)=(1+ez)21(ez)=1+ez11+ezez=1+ez1(11+ez1)=σ(z)(1σ(z))(.)

8. Softmax 公式,Softmax 溢出怎么处理⭐⭐⭐⭐⭐

参考回答

Softmax 公式:

s = s o f t m a x ( z ) = e z i ∑ k = 1 K e z k , i = 1 , 2 , . . . K (.) s = softmax(z)=\frac{e^{z_i}}{\sum_{k=1}^K e^{z_k}},i=1,2,...K \tag{.} s=softmax(z)=k=1Kezkezi,i=1,2,...K(.)

为了处理 Softmax 溢出问题,可以进行以下操作:

  • 常数平移:对输入向量中的每个元素减去其最大值。这样做可以确保指数函数的输入不会过大,减少数值溢出的风险。例如,对于输入向量 x x x,进行常数平移操作后得到 x s h i f t e d x_{shifted} xshifted x s h i f t e d = x − m a x ( x ) x_{shifted} = x - max(x) xshifted=xmax(x),操作类似 Min-Max 归一化

  • 数值稳定化:在计算 Softmax 函数时,使用数值稳定化的公式,将指数函数的输入除以其最大值。这可以避免指数函数的输入过大,减少溢出的可能性。例如,对于经过常数平移的输入向量 x s h i f t e d x_{shifted} xshifted,计算 Softmax 函数的输出 y y y
    y = e x p ( x s h i f t e d ) / s u m ( e x p ( x s h i f t e d ) ) y = exp(x_{shifted}) / sum(exp(x_{shifted})) y=exp(xshifted)/sum(exp(xshifted))

9. Softmax 公式求导⭐⭐⭐⭐⭐

参考回答

首先 softmax 公式如下:

s = s o f t m a x ( z ) = e z i ∑ k = 1 K e z k , i = 1 , 2 , . . . K (.) s = softmax(z)=\frac{e^{z_i}}{\sum_{k=1}^K e^{z_k}},i=1,2,...K \tag{.} s=softmax(z)=k=1Kezkezi,i=1,2,...K(.)

求导:

  1. j ≠ i j \neq i j=i,那么:

∂ s j ∂ z i = ∂ ( e z j ∑ j = 1 K e z k ) ∂ z i = − e z j ⋅ 1 ( ∑ k = 1 K e z k ) 2 ⋅ e z i = − e z j ∑ k = 1 K e z k ⋅ e z i ∑ k = 1 K e z k = − s j s i (.) \frac{\partial s_j}{\partial z_i}=\frac{\partial (\frac{e^{z_j}}{\sum_{j=1}^K e^{z_k}})}{\partial z_i}\\ =-e^{z_j} \cdot \frac{1}{(\sum_{k=1}^K e^{z_k})^2} \cdot e^{z_i} \\ =-\frac{e^{z_j}}{\sum_{k=1}^K e^{z_k}} \cdot \frac{e^{z_i}}{\sum_{k=1}^K e^{z_k}} \\ =- s_js_i \\ \tag{.} zisj=zi(j=1Kezkezj)=ezj(k=1Kezk)21ezi=k=1Kezkezjk=1Kezkezi=sjsi(.)

  1. j = i j = i j=i,那么:

∂ s j ∂ z i = ∂ s i ∂ z i = ∂ ( e z i ∑ k = 1 K e z k ) ∂ z i = e z i ∑ k = 1 K e z k − ( e z i ) 2 ( ∑ k = 1 K e z k ) 2 = e z i ∑ k = 1 K e z k ⋅ ∑ k = 1 K e z k − e z i ∑ k = 1 K e z k = e z i ∑ k = 1 K e z k ⋅ ( 1 − e z i ∑ k = 1 K e z k ) = s i ( 1 − s i ) (.) \frac{\partial s_j}{\partial z_i}=\frac{\partial s_i}{\partial z_i}=\frac{\partial (\frac{e^{z_i}}{\sum_{k=1}^K e^{z_k}})}{\partial z_i}\\ =\frac{e^{z_i} \sum_{k=1}^K e^{z_k}-(e^{z_i})^2}{(\sum_{k=1}^K e^{z_k})^2} \\ =\frac{e^{z_i}}{\sum_{k=1}^K e^{z_k}} \cdot \frac{\sum_{k=1}^K e^{z_k}-e^{z_i}}{\sum_{k=1}^K e^{z_k}} \\ =\frac{e^{z_i}}{\sum_{k=1}^K e^{z_k}} \cdot (1-\frac{e^{z_i}}{\sum_{k=1}^K e^{z_k}} )\\ =s_i(1-s_i) \\ \tag{.} zisj=zisi=zi(k=1Kezkezi)=(k=1Kezk)2ezik=1Kezk(ezi)2=k=1Kezkezik=1Kezkk=1Kezkezi=k=1Kezkezi(1k=1Kezkezi)=si(1si)(.)


答案解析

更多内容参考文章:https://blog.csdn.net/qian99/article/details/78046329

10. 激活函数的定义与作用⭐⭐⭐⭐⭐

激活函数是一种用于神经网络和其他机器学习模型中的非线性函数。它被应用于神经网络的每个神经元上,将输入信号进行转换,产生输出信号。激活函数的作用是引入非线性性质,使神经网络能够学习和表示更复杂的函数关系

11. 神经网络输出均值为 0 的好处,哪些激活函数均值为 0?⭐⭐⭐⭐

在神经网络中,我们希望当前一层的神经元输出均值为 0,为什么要均值为 0 呢?有以下几点原因:

  • 均值中心化:将激活函数的期望值设置为0可以使得网络的输出更容易进行归一化处理。通过均值中心化,可以减少输入数据的偏移和不平衡,有助于提高网络的稳定性和收敛速度。

  • 梯度传播:激活函数的期望为0可以促使梯度在反向传播过程中更好地传播。当激活函数的期望为非零值时,梯度的平均值可能会发生偏移,导致梯度传播过程中的不稳定性。而期望为0的激活函数可以使得梯度在不同层之间的传播更加一致和稳定。

  • 防止梯度爆炸和梯度消失:激活函数的期望为0有助于缓解梯度爆炸和梯度消失的问题。如果激活函数的期望值较大,网络的参数更新可能会导致梯度变得非常大,造成梯度爆炸。相反,如果激活函数的期望值较小,梯度可能会在反向传播过程中逐渐消失,导致梯度消失问题。通过将激活函数的期望设置为0,可以在一定程度上避免这些问题。

tanh 函数均值为 0

11. Sigmoid 函数的特点⭐⭐⭐⭐⭐

  • 输出范围:Sigmoid 函数的输出范围在 0 和 1 之间,可以将输出解释为概率值,表示某个事件发生的概率

  • 平滑性:Sigmoid 函数具有平滑的连续性质,其曲线在整个定义域内都是光滑且单调递增的。方便求导,能求导就可以使用梯度下降的方式来优化

  • 中心对称性:Sigmoid函数关于 y = 0.5 y = 0.5 y=0.5 对称,即对于任意 x x x,有 f ( − x ) = 1 − f ( x ) f(-x) = 1 - f(x) f(x)=1f(x)

  • 饱和性:当输入值非常大或非常小时,Sigmoid 函数的输出接近于 1 或 0,导致梯度接近于 0。这种饱和性可能导致梯度消失的问题,在深度神经网络中容易出现梯度衰减问题。

12. ReLU 函数的特点⭐⭐⭐⭐⭐

  • 线性性质:在输入为正时,ReLU 函数是线性函数,直接将输入值传递给输出。这使得 ReLU 函数具有较强的表达能力。

  • 非线性性质:在输入为负时,ReLU 函数输出为 0,引入了非线性特性,可以帮助神经网络学习更复杂的模式和表示。

  • 稀疏激活:ReLU 函数的输出为 0 的特性使得神经网络中的神经元具有稀疏激活性。对于给定的输入样本,只有部分神经元会被激活,从而减少了参数的冗余性,提高了网络的效率。

  • 消失梯度问题的缓解:相比于 Sigmoid 函数和 tanh 函数,在反向传播过程中,ReLU 函数的梯度计算更简单且不会出现饱和现象,因此更不容易出现梯度消失的问题。

  • 死区现象:ReLU 函数在输入为负时输出为 0,可能导致神经元死亡的问题,即一旦激活为 0,对应的权重将不再更新,该神经元很可能包含重要特征。

  • 梯度爆炸:ReLU 不会对数据做幅度压缩,如果数据的幅度不断扩张,模型层数越深,幅度扩张越厉害,出现梯度爆炸,最终会影响模型性能。

12. Softmax 函数的应用场景⭐⭐⭐⭐⭐

Softmax 函数是一种常用的激活函数,常用于多类别分类任务中,Softmax 函数将输入向量转化为一个概率分布,使得各个类别的输出概率之和为 1。这样可以将模型的输出解释为样本属于各个类别的概率。Softmax 不用于神经网络的中间层,而是在最后的输出时使用

13. 为什么需要使用非线性激活函数而不是线性激活函数?⭐⭐⭐⭐

  1. 非线性模拟能力:神经网络的目标是学习非线性关系和复杂的模式。如果使用线性激活函数,多个线性层的组合仍然只会产生一个线性函数,无法表示更复杂的非线性关系。

  2. 解决异或问题:异或是一个经典的非线性问题,用线性函数无法准确地拟合异或函数。通过引入非线性激活函数,如 ReLU、Sigmoid 或 Tanh,可以实现神经网络对异或问题的学习。

  3. 激活函数的导数:非线性激活函数具有非零的导数,这对于反向传播算法和梯度下降优化非常重要。线性激活函数的导数恒为常数,不具有区分不同输入值的能力,这会导致反向传播中梯度无法传递有效的信息,从而影响网络的学习能力。

  4. 增加非线性特性:通过引入非线性激活函数,神经网络可以引入更多的非线性特性。这有助于模型学习更复杂的模式、表达更丰富的特征表示,并提高模型的泛化能力。

14. 在训练神经网络时,选择激活函数有什么考虑因素?⭐⭐⭐⭐

在训练神经网络时选择激活函数时,有几个考虑因素需要注意:

  1. 非线性性:激活函数应该是非线性的,以便神经网络可以学习和表示复杂的非线性关系。线性激活函数只能实现线性模型,无法捕捉非线性模式。

  2. 梯度消失和爆炸:某些激活函数可能导致梯度消失或梯度爆炸的问题。梯度消失指的是在反向传播中,梯度逐渐变小,导致较远层的权重更新缓慢。梯度爆炸则是梯度变得非常大,导致数值不稳定和训练困难。选择激活函数时,应该考虑其梯度的稳定性,避免梯度消失或爆炸问题,特别是深度很深的神经网络

  3. 可微性:激活函数应该是可微的,以便能够进行反向传播和梯度计算。可微性是训练神经网络的关键要求,因为梯度下降等优化算法依赖于梯度计算来更新权重。

  4. 计算效率:某些激活函数可能计算复杂度较高,导致网络训练速度变慢。在实际应用中,需要考虑激活函数的计算效率,特别是在大型神经网络和大规模数据集上进行训练时。

  5. 具体任务需求:不同的任务可能对激活函数有不同的要求。例如,对于二分类任务,Sigmoid 函数通常被用作输出层的激活函数,Softmax 函数用于多分类任务的最后一层神经元的激活函数。而在图像分类任务中,ReLU 及其变体常被用作隐藏层的激活函数。

15. 在自然语言处理(NLP)任务中,常用的激活函数有哪些?⭐⭐⭐⭐

  • Tanh(双曲正切函数):Tanh函数将输入值映射到 [-1, 1] 的范围内,对于文本分类和情感分析等任务非常常见。Tanh 函数具有对称性和可导性,能够保留输入的正负性和非线性关系。

  • Sigmoid 函数:Sigmoid 函数将输入值映射到 [0, 1] 的范围内,常用于二分类问题和概率估计。在 NLP 任务中,它经常用于情感分析、命名实体识别等任务中作为输出层的激活函数,将输出转化为概率。

  • Softmax 函数:Softmax 函数主要用于多类别分类问题,将多个输出值归一化为概率分布。在NLP任务中,例如文本分类和机器翻译中,Softmax 函数常用于输出层的激活函数,将网络的输出转化为各个类别的概率。

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