文章目录
- 从离散到连续
- 回顾第四章
- F(w)
从离散到连续
回顾第四章
在周期 T， 傅里叶变换公式
f ( t ) = ( t + T ) f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ C n e i n Δ w t C n = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n Δ w t d t 式1 f(t)=(t+T) \\ f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty }C_ne^{in_\Delta{w}t} \\ C_n =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)e^{-in_\Delta{w}t}dt \\ \text{式1} \\ f(t)=(t+T)f(t)=n=−∞∑∞CneinΔwtCn=T1∫0Tf(t)e−inΔwtdt式1
这里 Δ w = 2 π T _\Delta{w}=\frac{2\pi}{T} Δw=T2π， 这是一个很小的区间
当周期T无穷大， Δ w _\Delta{w} Δw 趋近无穷小， n Δ w n_\Delta{w} nΔw区间无穷小，频域趋于连续。
于是：
T ⇒ ∞ n Δ w ⇒ w ∑ n = − ∞ ∞ Δ w ⇒ ∫ − ∞ ∞ d w ∫ 0 T ⇒ ∫ − ∞ ∞ 式2 T \Rightarrow \infty \\ n_\Delta{w} \Rightarrow w \\ \sum_{n=-\infty}^{\infty}{_\Delta{w}} \Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} dw \\ \int_{0}^{T} \Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty}\\ \text{式2} \\ T⇒∞nΔw⇒wn=−∞∑∞Δw⇒∫−∞∞dw∫0T⇒∫−∞∞式2
1 T = Δ w 2 π \frac{1}{T} = \frac{_\Delta{w}}{2\pi} T1=2πΔw ,式1 变成
f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n Δ w t d t e i n Δ w t f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ Δ w 2 π ∫ 0 T f ( t ) e − i n Δ w t d t e i n Δ w t 式2带入 f ( t ) = ∫ − ∞ ∞ 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i w t d t e i w t d w = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i w t d t e i w t d w f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty }\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)e^{-in_\Delta{w}t}dte^{in_\Delta{w}t} \\ f(t) =\sum_{n=-\infty}^{\infty }\frac{_\Delta{w}}{2\pi}\int_{0}^{T}f(t)e^{-in_\Delta{w}t}dte^{in_\Delta{w}t} \\ \text{式2带入} \\ f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i{w}t}dte^{i{w}t}dw \\ =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i{w}t}dte^{i{w}t}dw \\ f(t)=n=−∞∑∞T1∫0Tf(t)e−inΔwtdteinΔwtf(t)=n=−∞∑∞2πΔw∫0Tf(t)e−inΔwtdteinΔwt式2带入f(t)=∫−∞∞2π1∫−∞∞f(t)e−iwtdteiwtdw=2π1∫−∞∞∫−∞∞f(t)e−iwtdteiwtdw
F(w)
把中间部分写成 F(w)。
即：
F ( w ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i w t d t ; (傅里叶变换 F T ) f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( w ) e i w t d w ; (傅里叶变换的逆变换 ) F(w)= \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i{w}t}dt ;\text(傅里叶变换FT) \\ f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(w)e^{i{w}t}dw ;\text(傅里叶变换的逆变换)\\ F(w)=∫−∞∞f(t)e−iwtdt;(傅里叶变换FT)f(t)=2π1∫−∞∞F(w)eiwtdw;(傅里叶变换的逆变换)
—————— 但行好事莫问前程，你若盛开蝴蝶自来
