【面试HOT200】回溯篇

系列综述：
💞目的：本系列是个人整理为了秋招面试的，整理期间苛求每个知识点，平衡理解简易度与深入程度。
🥰来源：材料主要源于【CodeTopHot300】进行的，每个知识点的修正和深入主要参考各平台大佬的文章，其中也可能含有少量的个人实验自证，所有代码均优先参考最佳性能。
🤭结语：如果有帮到你的地方，就点个赞和关注一下呗，谢谢🎈🎄🌷！！！
🌈【C++】秋招&实习面经汇总篇

文章目录

- 基础知识
- 回溯基础算法模板
- - 组合问题
  - - 无重复元素的组合
    - 有重复元素的组合
  - 排列问题
  - - 无重复元素的全排列
    - 有重复元素的全排列
- HOT200回溯相关题目
- - - 39. 组合总和
    - 40. 组合总和 II
    - 93. 复原 IP 地址
    - 131. 分割回文串
    - 1005. K 次取反后最大化的数组和
- 参考博客

😊点此到文末惊喜↩︎

基础知识

回溯算法 = 穷举 + 剪枝
- 穷举：从一个选择开始，一步步尝试每一个可能的选择，如果某次选择导致问题无法解决，则回溯并选择另一种可能，直到找到一个可行的解或者穷举所有可能的解。
- 剪枝：在搜索过程中，根据问题的限制条件，减少搜索空间，提高算法效率
作用
- 在多个选择中搜索出满足条件的所有可能解
- 一般地，组合问题和排列问题是在树形结构的叶子节点上收集结果，而子集问题就是取树上所有节点的结果。
回溯算法解决的问题一般为npc问题，难以使用常规算法进行解决
- 组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
  - 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
  - 子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
- 排列问题：N个数按一定规则选出M个，有几种排列方式
- 棋盘问题：N皇后，解数独等等
所有的回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构
- 根节点是总数据集合，树枝节点是可选数据集合
- 叶子节点为根节点到叶子节点的路径的选择集合

// 结果集和路径集
vector<vector<type> res;
vector<type> path;
void backtracking(vecotr<type> candidates, int startIndex) {// 针对当前选择的合法性判断auto is_ok = [](const type &data)->bool{// type中数据项的合法性判断};// 递归出口：结点剪枝，生成慢if (is_ok(val)) {res.push_back(path);return;}// 延申和回撤路径时，可能涉及多个状态标记变量的改动for (int i = startIndex; i < candidates.size(); ++i) {分叉剪枝判断（性能高）;// 状态延申改动path.push_back(candidates[i]);// 向下延申backtracking(剩余可选列表); // 回溯// 状态回撤改动path.pop_back();// 回撤延申}
}
// 主函数
vector<vector<int>> combine(vector<type>& candidates) {res.clear(); // 可以不写path.clear();// 可以不写backtracking(candidates, 0);return result;}

回溯基础算法模板

模板使用的初衷：将问题的输入转换成对应模板的输入格式，然后调用模板的函数（已经背诵的）进行快速的求解

组合问题

组合问题的复杂度
- 时间复杂度： $O(C_n^k × k)$ ，总共有 $C_n^k$ 种组合，每种组合需要 $O (k)$ 的时间复杂度
- 空间复杂度： $O (n)$ ，递归深度为n，所以系统栈所用空间为 $O (n)$

无重复元素的组合

基本概述
- 问题：从无重复元素的集合中选出K个元素组成组合，每个元素只能被选取一次，且选出的元素之间没有顺序之分。
- 举例：从元素集合{1，2，3}中选择2个元素的组合为{(1,2)，(1,3)，(2,3)}。
代码
- 解决的问题：给定一个线性表，求该线性表中满足条件的组合
- 示例：求线性表中所有个数为target的结果。
- 剪枝：列表中剩余元素(vec.size() - i) >= 所需需要的元素个数(target - path.size())

// 从候选集candidate中选出任意k个数组成的集合
vector<vector<int>> Backtracking(vector<int> &candidate, int k) {const int len = candidate.size();// 递归函数vector<int> path;			// 符合条件的路径vector<vector<int>> res;	// 符合条件的路径集合auto self = [&](auto &&self, int pos){// 递归出口：满足条件的路径加入结果集中if (path.size() == k) {res.push_back(path);return;}// i = start表示从之后剩余中选择for (int i = pos; i < len ; ++i) {if (i > len - (k-path.size())) continue;path.push_back(candidate[i]);	// 做出选择self(self, i+1);// key: 是i+1	// 递归path.pop_back();				// 撤销选择}};self(self, 0);return res;
}

有重复元素的组合

基本概述
- 问题：从有重复元素的组合中选出若干元素组成组合，每个元素只能被选取一次，且选出的元素之间没有顺序之分。
- 举例：从集合{1, 2, 2, 3}中选择2个元素的组合为{1, 2}、{1, 3}、{2, 2}、{2, 3}。
代码
- 解决问题：给定一个线性表，求该线性表中满足条件的组合，因为有重复元素，所以选择重复元素时只能使用一次，否则会出现集合中的重复

vector<vector<int>> Backtracking(vector<int> &candidate, int k) {// 排序sort(candidate.begin(), candidate.end());// 递归匿名函数vector<int> path;vector<vector<int>> res;auto self = [&](auto &&self, int pos){if (path.size() == k) {res.push_back(path);return;}for (int i = pos; i < candidate.size(); ++i) {// key: i > pos。第一次选取到重复的数，不会影响后面if (i > pos && candidate[i] == candidate[i-1])continue;path.push_back(candidate[i]);self(self, i+1);path.pop_back();}};// 递归调用self(self, 0);return res;
}

排列问题

组合问题的复杂度
- 时间复杂度： $O (n \times n!)$ ，一共 $n!$ 种组合，每种排列构造时间需要 $O (n)$ 的时间复杂度
- 空间复杂度： $O (n)$ ，递归深度为n，所以系统栈所用空间为 $O (n)$

无重复元素的全排列

基本概述
- 问题：无重复元素的排列是指在给定一组不同的元素中，按照一定的顺序排列出所有可能的组合，每个元素只出现一次。
- 举例：从集合{1, 2, 3}，则可以产生以下6种无重复元素的排列：{1, 2, 3}、{1, 3, 2}、{2, 1, 3}、{2, 3, 1}、{3, 1, 2}、{3, 2, 1}。

代码

不需要使用pos，每一个i对应一位

vector<vector<int>> permute(vector<int>& candidate) {const int len = candidate.size();vector<int> path;				// 回溯路径vector<vector<int>> res;		// 回溯结果集vector<bool> used(len, false);	// 使用标记auto self = [&](auto &&self){	// 回溯算法if (path.size() == len) {res.push_back(path);return ;}for (int i = 0; i < len; ++i) {// path里已经收录的元素，直接跳过if (used[i] == true) continue;// 增加选择used[i] = true;path.push_back(candidate[i]);// 进行回溯self(self);// 撤回选择used[i] = false;path.pop_back();}};// 调用self(self);return res;
}

有重复元素的全排列

基本概述
- 问题：无重复元素的排列是指在给定一组不同的元素中，按照一定的顺序排列出所有的不重复组合
- 举例：从集合[1,1,2]，则可以产生无重复的全排列： [1,1,2], [1,2,1], [2,1,1]

代码

产生重复解的原因：例如[1,1,2], 无法区分[1(0), 1(1), 2] 和[1(1), 1(0), 2] 这两种情况的解

vector<vector<int>> permuteUnique(vector<int>& candidate) {const int len = candidate.size();sort(candidate.begin(), candidate.end());// 递归vector<int> path;vector<vector<int>> res;vector<bool> used(len, false);  // key：注意初始化auto self = [&](auto &&self){if (path.size() == len) {res.emplace_back(path);return ;}for (int i = 0; i < len; ++i) {// 有效的重复元素 && 前一个元素未被使用// 保证相同元素同层中只有第一个被使用if (i > 0 && candidate[i] == candidate[i-1] && used[i-1] == false) continue;if (used[i] == false) {used[i] = true;path.emplace_back(candidate[i]);self(self);used[i] = false;path.pop_back();}}};self(self);return res;
}// 哈希表处理重复解
vector<vector<int>> permuteUnique(vector<int>& candidate) {const int len = candidate.size();// 去重unordered_map<int, int> umap;for (auto &i : candidate) ++umap[i];// 回溯算法vector<vector<int> > res;vector<int> path;auto self = [&](auto &&self, int pos){// 递归出口if (pos == len) {res.push_back(path);return ;}for (auto &i : umap) {if (i.second == 0) continue;path.push_back(i.first);--i.second;self(self, pos+1);path.pop_back();++i.second;}};self(self, 0);return res;
}

HOT200回溯相关题目

39. 组合总和

题目
- 给你一个无重复元素的整数数组 candidates 和一个目标整数 target ，找出 candidates 中可以使数字和为目标数 target 的所有不同组合，并以列表形式返回
- candidates 中的同一个数字可以无限制重复被选取
- 输入：candidates = [2,3,5], target = 4
- 输出：[[2,2]]

vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {vector<vector<int>> res;vector<int> path;auto self =  [&](auto &&self, int pos, int sum){// 结束条件if (sum > target) return ;if (sum == target) {res.push_back(path);return ;}// 路径回溯for (int i = pos; i < candidates.size(); ++i) {sum += candidates[i];path.push_back(candidates[i]);self(self, i, sum);	// key: 不用i+1表示可重复读取当前值sum -= candidates[i];path.pop_back();}};self(self, 0, 0);return res;
}

40. 组合总和 II

题目
- 给定一个候选人编号的集合 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。
- 输入: candidates = [2,5,2,1,2], target = 5,
- 输出：[ [1,2,2], [5] ]
代码

vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target) {const int len = candidates.size();sort(candidates.begin(), candidates.end());// 回溯部分vector<int> path;vector<vector<int>> res;vector<bool> used(len, false);int sum = 0;auto self = [&](auto &&self, int pos){// 结点剪枝if (sum == target) {res.emplace_back(path);return ;}for (int i = pos; i < len; ++i) {// 分叉剪枝: 性能高一些if (sum + candidates[i] > target) continue;if (i > 0 && candidates[i] == candidates[i-1] && used[i-1] == false) continue;if (used[i] == true) continue;used[i] = true;path.emplace_back(candidates[i]);sum += candidates[i];self(self, i+1);    // i+1表示每个元素不重复使用sum -= candidates[i];path.pop_back();used[i] = false;}};self(self, 0);return res;
}

93. 复原 IP 地址

题目
- 给定一个只包含数字的字符串 s ，用以表示一个 IP 地址，返回所有可能的有效 IP 地址，这些地址可以通过在 s 中插入 ‘.’ 来形成
- 输入：s = “25525511135”
- 输出：[“255.255.11.135”,“255.255.111.35”]

在这里插入图片描述

vector<string> restoreIpAddresses(string s) {const int len = s.size();// 判断字符串s在左闭又闭区间[start, end]所组成的数字是否合法auto is_valid = [](const string& s, int start, int end) {cout << start <<' ' <<  end << endl;if (start > end) {return false;}if (s[start] == '0' && start != end) // 0开头的数字不合法return false;int num = 0;for (int i = start; i <= end; i++) {if (s[i] > '9' || s[i] < '0') { // 遇到非数字字符不合法return false;}num = num * 10 + (s[i] - '0');if (num > 255) { // 如果大于255了不合法return false;}}return true;
};

131. 分割回文串

获取[startIndex,i]在s中的子串s.substr(startIndex, i - startIndex + 1)

// 判断是否为回文字符串
bool isPalindrome(const string& s, int start, int end) {for (int i = start, j = end; i < j; i++, j--) {if (s[i] != s[j]) {return false;}}return true;
}
// 基本的回溯
vector<vector<string>> result;
vector<string> path; // 放已经回文的子串
void backtracking (const string& s, int startIndex) {// 如果起始位置已经大于s的大小，说明已经找到了一组分割方案了if (startIndex >= s.size()) {result.push_back(path);return;}for (int i = startIndex; i < s.size(); i++) {// 剪枝与枝的延长if (isPalindrome(s, startIndex, i)) {   // 是回文子串// 获取[startIndex,i]在s中的子串string str = s.substr(startIndex, i - startIndex + 1);path.push_back(str);} else {  // 不是回文，跳过continue;}backtracking(s, i + 1); // 寻找i+1为起始位置的子串path.pop_back(); // 回溯过程，弹出本次已经填在的子串}
}vector<vector<string>> partition(string s) {result.clear();path.clear();backtracking(s, 0);return result;
}

1005. K 次取反后最大化的数组和

sort的使用：第三个参数为自定义的排序队则，在头文件#include
accumulate的使用：第三个参数为累加的初值，在头文件include

static bool cmp(int a, int b) {return abs(a) > abs(b);// 绝对值的从大到小进行排序
}
int largestSumAfterKNegations(vector<int>& A, int K) {// 将容器内的元素按照绝对值从大到小进行排序sort(A.begin(), A.end(), cmp); // 在K>0的情况下，将负值按照绝对值从大到小依次取反for (int i = 0; i < A.size(); i++) { if (A[i] < 0 && K > 0) {A[i] *= -1;K--;}}// 如果K为奇数，将最小的正数取反if (K % 2 == 1) A[A.size() - 1] *= -1; // 求和return accumulate(A.begin(),A.end(),0);// 第三个参数为累加的初值，在头文件include<numeric>
}