算法通关村——原来这就是堆

堆结构是一种非常重要的基础数据结构，也是算法的重要内容，很多题目甚至只能用堆来进行，所以我们必须先明确什么类型的题目可以用堆，以及如何使用堆来解决。由于堆的构造和维护过程都非常复杂，因此面试时一般不需要手写堆的实现过程，但是java、python、C++已经提供了一些工具，因此需要知道思路就可以。
本关，我们主要介绍堆如何增删改查的，不用管代码怎么写，后面我们再介绍如何使用堆来解决问题

关卡名	堆结构	我会了✔️
内容	1.理解堆是如何构造的	✔️
	2.理解堆是如何添加元素的	✔️
	3.掌握堆是如何删除元素的	✔️

1.堆的概念与特征

堆是将一组数据按照完全二叉树的存储顺序，将数据存储在一个一维数组中的结构。堆有两种结构，一种称为大顶堆，一种称为小顶堆，如下图。

小顶堆：任意节点的值均小于等于它的左右孩子，并且最小的值位于堆顶，即根节点处。
大顶堆：任意节点的值均大于等于它的左右孩子，并且最大的值位于堆顶，即根节点处。有些地方也叫大根堆、小根堆，或者最大堆、最小堆都一个意思。大和小的特征等都是类似的，只是比较的时候是按照大还是小来定，我们本章在原理方面的介绍就按照最大堆来进行，后面的题目再根据情况来定。

既然是将一组数据按照树的结构存储在一维数组中，而且还是完全二叉树，那么父子之间关系的建立就很重要了。
有个概念需要注意一下，我们在做题时经常会看到有些地方叫堆，有些地方叫优先级队列，两者到底啥关系呢？
优先队列：说到底还是一种队列，他的工作就是poll()/peek()出队列中最大/最小的那个元素，所以叫带有优先级的队列。能够实现优先功能的策略不一定只有堆，例如二项堆、平衡树、线段树、C++里会用二进制分组的vector来实现一个优先队列。
堆:堆是一个很大的概念他并不一定是完全二叉树。我们之前用完全二叉树是因为这个很容易被数组储存，但是除了这种二叉堆之外，我们还有二项堆、斐波那契堆、这种堆就不属于二叉树。
所以说，优先队列和堆不是一个同level的概念，但是java的PriorityQueue就是堆实现的，因此在java领域可以认为堆就是优先级队列，优先级队列就是堆，换做其他场景则不行。

2 堆的构造过程

使用数组构建堆时，就是先按照层次将所有元素依次填入二叉树中，使其成为二叉树，然后再不断调整，最终使其符合堆结构。
这里先假设一个节点的下标为i：
1、当i = 0时，为根节点。
2、当i>=1时，父节点为（i - 1）/2。
size就是元素的个数，从1开始计数。
下面就看一下如何建立一个大堆：
将元素依次排到完全二叉树节点上去，如下左图所示。

int i = (size - 2)/2 = 4（思考一下这里为什么是size-2而不是size-1）。找到数组中的4号下标。65大于其孩子，满足大堆性质，所以不用交换。如下右图
然后i= i-1；然后用2和其孩子比较，2和204交换。交换之后204所在的子树满足大堆，如下左图。
54和其孩子比较，54和92交换。此时92所在子树满足大堆，如下右图。
继续，23和其孩子比较，23和204交换，交换完之后，23的子树却不满足了，所以还需调整它的子树。如下两图所示。
12和204交换，仍然出现不平衡的情况，以此类推，直到根节点也满足要求就完毕了。

这样我们就建好了一个大顶堆，从图中可以看到，根元素是整个树中值最大的那个，而第二大和第三大就是其左右子树，具体是哪个更大则是未知的，需要比较一下才知道。
另外，对于同一组数据，如果输入的序列不一样，那最终构造的树是否也会不一样呢？非常有可能，那这样的树有什么意义呢？我们后面再看，这里先理解堆是这么构建的就行了。

3 插入操作

从上面可以看到根节点和其左右子节点是堆里的老大老二和老三，其他结点则没有太明显的规律，那如果要插入一个新元素，该怎么做呢？直接说规则，将元素插入到保持其为完全二叉树的最后一个位置，然后顺着这条支路一直向上调整，每前进一层就要保证其子树都满足堆否则就去处理子树，直到完全满足要求。
看一个例子，如下图，要插入300，我们将其插入到31的右孩子位置，然后不断向上爬，31<300，所以两者要交换，再向上发现300比65大，所以两者要交换。最后300比根元素204大，两者也交换。最后就得到了新的堆。完整过程如下所示：

4 删除操作

堆本身比较特殊，一般对堆中的数据进行操作都是针对堆顶的元素，即每次都从堆中获得最大值或最小值，其他的不关心，所以我们删除的时候，也是删除堆顶。如果直接删掉堆顶，整个结构被破坏了，群龙无首就不易管理了。所以实际策略是先将堆中最后一个元素（假如为A）和堆顶元素进行替换，然后删除堆中最后一个元素。之后再从根开始逐步与左右比较，谁更大谁上位。然后A再继续与子树比较，如果有更大的继续交换，直到自己所在的子树也满足大顶堆。
上面的过程可以理解为皇上突然驾崩了，这时候先找个顾命大臣维持局面，大臣先看左右两个皇子谁更强谁就是老大。然后大臣自己再逐步隐退，直到找到属于自己的位置。

最后新的堆结构如下：

说了这么多，你觉得这东西的价值在哪里呢？价值就在于大顶堆的根节点是整个树最大的那个，增加时会根据根的大小来决定要不要加，而删除操作只删除根元素。这个特征可以在很多场景下有奇妙的应用，后面的算法题全都基于这一点。
这里可能有些人还有疑问，感觉不管插入还是删除，堆的操作都不简单，那为什么还说堆的效率比较高呢？
这是因为堆元素的数量是有限制的，一般不用将所有的元素都放到堆里。后面题目中可以看到，在序列中找K大，则堆的大小就是K。如果K个链表合并，那么堆就是K。原理后面详细展开。
说了这么多堆的性质，我们来看一下堆到底怎么解决问题的。关于堆的问题，记住口诀：