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从一个极简分布出发

假设我们有一个关于随机变量 $X$ 的函数$f(X)$，满足如下分布

$p(X)$	0.9	0.1
$f(X)$	0.1	0.9

如果我们要对 $f(X)$ 的期望 ${\mathbb{E}}_p[f(X)]$ 进行估计，并且我们有一些从 $p$ 中采样的样本，那么朴素的想法是，直接关于 $p$ 采样，把采样到的值加起来求平均
$${\mathbb{E}}_p[f(X)]=\frac{1}{n}\sum _{i}f(x_i)$$
但是问题在于，如果采样的样本个数比较少，很可能采样的全都是 0.1，那么和理论值 0.9*0.1+0.1*0.9=0.18 就相差很大。也就是这样的估计方法方差过大。

这个问题的本质原因在于$f(X)$和$p(X)$形状的不匹配：在$f(X)$贡献比较大的值的位置，$p(X)$采样的概率很小，一旦采样个数过少，$f(X)$不足以产生足够的对${\mathbb{E}}_p[f(X)]$的贡献，因此产生很大的方差

有什么解决办法呢？

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重要性采样

如果我们可以换另一个已知的简单的采样分布$q(X)$，使得它和$|p(X)f(X)|$匹配，那么方差就能够变小。（这也是此方法命名为重要性采样的原因）

我们可以给积分里面上下乘以一个 q(X)，就可以变换成关于 $q$ 求另一个表达式的期望

$${\mathbb{E}}_p[f(X)]={\int }_{X}p(X)f(X)dX={\int }_{X}q(X)\frac{p(X)}{q(X)}f(X)dX={\mathbb{E}}_q[\frac{p(X)}{q(X)}f(X)]$$

由于 $p,q,f$ 的值我们都是可以计算的，假设 $q$ 也可以正常采样，那么这个期望是可以求的。

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真的有用？

我们不妨取 $q(X)$ 和 $|p(X)f(X)|$ 完美匹配，即 $q(X)=0.5,X=x_i,\forall i$
然后我们关于 $q$ 采样，求 $\frac{p(X)}{q(X)}f(X)$ 的期望

$q(X)$	0.5	0.5
$\frac{p(X)}{q(X)}f(X)$	0.18	0.18

好了，你随便从 $q$ 采，能和理论值不一样算我输

无论怎么取，我们估计的期望 ${\hat{\mathbb{E}}}_q[\frac{p(X)}{q(X)}f(X)]=0.18\ast 0.5+0.18\ast 0.5=0.18$ 和理论值完美符合。

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重要性采样真的是有用的。不过这只是一个极端的例子，实际上要取这样的一个 $q$ 也并不是很容易，还是要到具体领域问题里面具体分析。