数据结构奇妙旅程之二叉树初阶

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一.树

1.概念（简单了解即可）

树是一种 非线性 的数据结构，它是由 n （ n>=0 ）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 把它叫做树是因为它看

起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的 。它具有以下的特点：

有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点

除根结点外，其余结点被分成 M(M > 0) 个互不相交的集合 T1 、 T2 、 ...... 、 Tm ，其中每一个集合 Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。

每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有 0 个或多个后继。树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

2.树的基本术语

2.1需要重点记忆的

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图：A的度为3

树的度 ：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为3

叶子结点或终端结点 ：度为 0 的结点称为叶结点；如上图：E, F, G, H, I, J 等节点为叶结点

双亲结点或父结点 ：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图： A 是 B 的父结点

孩子结点或子结点 ：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图： B 是 A 的孩子结点

根结点 ：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图： A

结点的层次 ：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子结点为第 2 层，以此类推

树的高度或深度 ：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为3

2.2简单了解即可

非终端结点或分支结点 ：度不为 0 的结点；如上图：B 、C 、D 等节点为分支结点

兄弟结点 ：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图： B 、 C 是兄弟结点

堂兄弟结点 ：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图： H 、 I 互为兄弟结点

结点的祖先 ：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图： A 是所有结点的祖先

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是 A 的子孙

森林：由 m （ m>=0 ）棵互不相交的树组成的集合称为森林

3.树的代码表示形式（简单了解）

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，

孩子表示法 、 孩子双亲表示法 、 孩子兄弟表示法 等等。我们这里就简单的了解其中最常用的 孩子兄弟表示法 。

class Node {
int value; // 树中存储的数据
Node firstChild; // 第一个孩子引用
Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

二.二叉树（重点掌握）

1.概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1. 或者为空

2. 或者是由 一个根节 点加上两棵别称为 左子树 和 右子树 的二叉树组成。

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于 2 的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

1.1二叉树的基本形态

1.2两种特殊的二叉树

1. 满二叉树 : 一棵二叉树，如果 每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树 。也就是说， 如果一棵 二叉树的层数为 K ，且结点总数是 2^k - 1 ，则它就是满二叉树 。

2. 完全二叉树 : 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K 的，有 n

个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号从 0 至 n-1 的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.性质

1. 若规定 根结点的层数为 1 ，则一棵 非空二叉树的第 i 层上最多有 2^(i-1) (i>0) 个结点

2. 若规定只有 根结点的二叉树的深度为 1 ，则 深度为 K 的二叉树的最大结点数是2^k - 1

(k>=0)

3. 对任何一棵二叉树 , 如果其 叶结点个数为 n0, 度为 2 的非叶结点个数为 n2, 则有 n0 ＝ n2 ＋ 1

4. 具有 n 个结点的完全二叉树的深度 k 为 log2(n+1) 上取整

5. 对于具有 n 个结点的完全二叉树 ，如果按照 从上至下从左至右的顺序对所有节点从 0 开始编号 ，则对于 序号为 i 的结点有 ：

若i>0 ， 双亲序号： (i-1)/2 ； i=0 ， i 为根结点编号 ，无双亲结点

若 2i+1<n ，左孩子序号： 2i+1 ，否则无左孩子

若 2i+2<n ，右孩子序号： 2i+2 ，否则无右孩子

3.基本操作

public class BinaryTree {static class TreeNode {public char val;public TreeNode left;public TreeNode right;public TreeNode(char val) {this.val = val;}}//以穷举的方式 创建一棵二叉树出来public TreeNode createTree() {TreeNode A = new TreeNode('A');TreeNode B = new TreeNode('B');TreeNode C = new TreeNode('C');TreeNode D = new TreeNode('D');TreeNode E = new TreeNode('E');TreeNode F = new TreeNode('F');TreeNode G = new TreeNode('G');TreeNode H = new TreeNode('H');A.left = B;A.right = C;B.left = D;B.right = E;C.left = F;C.right = G;E.right = H;return A;}//前序遍历public void preOrder(TreeNode root) {if(root == null) {return;}System.out.print(root.val + " ");preOrder(root.left);preOrder(root.right);}//中序遍历public void inOrder(TreeNode root) {if(root == null){return;}inOrder(root.left);System.out.print(root.val + " ");inOrder(root.right);}//后序遍历public void postOrder(TreeNode root) {if(root == null){return;}postOrder(root.left);postOrder(root.right);System.out.print(root.val + " ");}// 获取二叉树中节点的个数public int size(TreeNode root) {if(root == null) {return 0;}return size(root.left)+size(root.right)+1;}// 获取叶子节点的个数public int getLeafNodeCount(TreeNode root) {if(root == null) {return 0;}if(root.left == null && root.right == null) {return 1;}return getLeafNodeCount(root.left) + getLeafNodeCount(root.right);}// 获取第K层节点的个数public int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k) {if(root == null) {return 0;}if(k == 1) {return 1;}return getKLevelNodeCount(root.left,k-1) + getKLevelNodeCount(root.right,k-1);}// 获取二叉树的高度public int getHeight(TreeNode root) {if(root == null) {return 0;}int leftH = getHeight(root.left);int rightH = getHeight(root.right);return Math.max(leftH,rightH)+1;}// 检测值为value的元素是否存在public boolean find(TreeNode root,char val) {if(root == null) {return false;}if(root.val == val) {return true;}return find(root.left, val) || find(root.right, val);}//层序遍历使用队列来辅助//当涉及到层序遍历时，通常情况下使用队列来实现会更为简单和高效public void levelOrder(TreeNode root) {if(root == null) {return;}Queue<TreeNode> q = new LinkedList<>();q.offer(root);while (!q.isEmpty()) {TreeNode cur = q.poll();System.out.print(cur.val + " ");if(cur.left != null) {q.offer(cur.left);}if(cur.right != null) {q.offer(cur.right);}}}// 判断一棵树是不是完全二叉树public boolean isCompleteTree(TreeNode root) {if (root == null) {return true;}Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root);boolean end = false;while (!queue.isEmpty()) {TreeNode current = queue.poll();if (current == null) {end = true;} else {if (end) {return false; // 如果已经遇到空节点，再遇到非空节点，说明不是完全二叉树}queue.offer(current.left);queue.offer(current.right);}}return true;}
}