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视频源地址：https://www.youtube.com/watch?v=fNk_zzaMoSs      作者：@3Blue1Brown

此处仅做个人笔记使用。

01 - 向量究竟是什么？

线性代数中最基础、最根源的组成部分就是向量，所以我得确信我们在“向量究竟是什么”这一问题上达成共识。一般来说，有三种看待向量的观点：物理学专业学生视角、数学专业学生视角、计算机专业学生视角。看似不同却有关联。

从物理学专业学生视角看，向量是空间中的箭头，决定一个向量的是它的长度和它所指的方向。但是只要以主两个特征相同，你可以自由移动一个向量而保持它不变。处在平面中的向量是二维的，而处在我们所生活的空间中的向量是三维的。

从计算机专业学生的视角看，向量是有序的数字列表，例如你在买房时用二维向量对房屋进行建模（价格和平米数这两个数字的组合）这两个数字是不可以颠倒的。

从数学专业学生的视角看，数学家试图去概括这两种观点，大致地说，向量可以是任何东西，只要保证两个向量相加以及数字与向量相乘是有意义的即可。

线性代数为数据分析提供了一条将大量数据列表概念化、可视化的渠道，它让数据样式变得非常明晰，并让你大致了解特定运算的意义。 另一方面，线性代数给物理学家和计算机图形程序员提供了一种语言，让他们通过计算机能处理的数字来描述并操纵空间。

向量的数乘实际上就是缩放

02 - 线性组合、张成的空间与基

当你把坐标看作标量时，基向量实际上就是这些标量所缩放的对象。

所有可以表示为给定向量线性组合的向量集合，被称为给定向量张成的空间(span)。

eg：对于大部分二维向量来说，它们张成的空间是所有二维向量的集合。但当共线时，它们张成的空间就是终点落在一条直线上的向量的集合。

向量与点

如果你有多个向量，并且可以移除其中一个而不减小张成的空间，当这种情况发生时，相关术语称它们是“线性相关”的。相反，如果所有向量都给张成的空间增添了新的维度，它们就被称为是“线性无关”的。

03 - 矩阵与线性变换

很遗憾，Matrix (矩阵)是什么是说不清的。你必须得自己亲眼看看。   ——墨菲斯

线性变换：“变换”本质上是“函数”的一种花哨的说法，它接收输入内容，并输出对应结果。特别地，在线性代数的情况下，我们考虑的是接收一个向量并且输出一个向量的变换。既然“变换”和“函数”意义相同，为什么还要使用前者而不是后者?使用“变换”是在暗示以特定方式来可视化这一输入-输出关系。一种理解“向量的函数”的方法是使用运动 。如果一个变换接收一个向量并输出一个向量，我们想象这个输入向量移动到输出向量的位置：

直观地说，如果一个变换具有以下两条性质，我们就称它是线性的：一是直线在变换后仍然保持为直线，不能有所弯曲，二是原点必须保持固定。总的来说，你应该把线性变换看作是：“保持网格线平行并等距分布”的变换。

04 - 矩阵乘法与线性变换复合

很多时候你发现你想描述这样一种作用:一个变换之后再进行另一个变换，比如你想描述将整个平面逆时针旋转90度后，再进行一次剪切变换会发生什么。从头到尾的总体作用是另一个线性变换，它与旋转和剪切明显不同。

这个新的线性变换通常被称为前两个独立变换的““复合变换’。

请注意M1M2≠M2M1（这里推荐直接去看原视频，图像化理解真的非常有用！）【熟肉】线性代数的本质 - 04 - 矩阵乘法与线性变换复合_哔哩哔哩_bilibili

 05 - 行列式

如何用矩阵计算一个线性变换的行列式：对于一个2x2的矩阵[[a,b],[c,d]]，公式是ad-bc

06 - 逆矩阵、列空间与零空间

透过线性变换来了解逆矩阵、列空间、秩和零空间的概念

线性代数↓

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