$$在这段文字中，"A(\phi )"稳定性是指一种数值方法在复平面上某个角度范围内的稳定性。具体来说，对于给定的角度$$ \varphi_q $$，如果方法在这个角度范围内是稳定的，则称该方法为 “A(φ)” 稳定。
根据图片中的信息：

1. BDF$$q$$ 方法 是 A($${\phi }_q$$)-稳定的，其中 $${\phi }_1={\phi }_2=90^{\circ }$$，$${\phi }_3\approx 86.03^{\circ }$$，$${\phi }_4\approx 73.35^{\circ }$$，$${\phi }_5\approx 51.84^{\circ }$$，$${\phi }_6\approx 17.84^{\circ }$$。这些值可以在参考文献 [2] 和 [3] 中找到。
2. WSBDF$$q$$ 方法 也是 A($${\tilde{\phi }}_q$$)-稳定的，其中 $${\tilde{\phi }}_1={\tilde{\phi }}_2=90^{\circ }$$，$${\tilde{\phi }}_3\approx 89.55^{\circ }$$，$${\tilde{\phi }}_4\approx 85.32^{\circ }$$，$${\tilde{\phi }}_5\approx 73.2^{\circ }$$，$${\tilde{\phi }}_6\approx 51.23^{\circ }$$，$${\tilde{\phi }}_7\approx 18.32^{\circ }$$。这些值可以在参考文献 [4] 中找到。
3. 通过数值计算，得到了权重 $$\vartheta =100$$ 时的一些近似值：$${\tilde{\phi }}_1={\tilde{\phi }}_2=90^{\circ }$$，$${\tilde{\phi }}_3\approx 89.99^{\circ }$$，$${\tilde{\phi }}_4\approx 85.93^{\circ }$$，$${\tilde{\phi }}_5\approx 73.2^{\circ }$$，$${\tilde{\phi }}_6\approx 51.63^{\circ }$$，$${\tilde{\phi }}_7\approx 17.47^{\circ }$$。
4. 还可以证明，当 $$q=3,\dots ,7$$ 时，随着 $$\vartheta \to \infty$$，有 $${\tilde{\phi }}_q\to {\phi }_{q-1}$$。
   总结来说，“A(φ)” 稳定性是指在特定角度范围内的稳定性，而 BDF 和 WSBDF 方法在不同角度下表现出不同的稳定性特性。
   是的，在这里 $$\phi$$ 代表的是辐角（argument）。在数值分析中，特别是讨论线性多步法（如BDF方法和WSBDF方法）的稳定性时，辐角通常用来衡量方法的稳定性区域。
   $$

为什么辐角大了会不稳定？

1. 稳定性区域的定义：
   • 对于线性多步法，其稳定性通常通过特征方程的根来分析。如果所有根都在单位圆内（即在复平面的模小于或等于1），则方法是稳定的。
   • 辐角 $$\phi$$ 表示特征方程根的角度范围。较大的辐角意味着根可能接近甚至超出单位圆边界，从而导致不稳定性。
2. A($$\phi$$)-稳定性：
   • A($$\phi$$)-稳定性指的是方法在某个特定的辐角范围内保持稳定。例如，BDF方法和WSBDF方法在不同的 $$\phi$$ 值下具有不同的稳定性。
   • 当辐角超过某个临界值时，方法的稳定性可能会受到影响，因为特征方程的根可能不再完全位于单位圆内。
3. 数值示例：
   • 从图中可以看到，BDF方法和WSBDF方法在不同的 $$\phi$$ 值下表现出不同的稳定性。例如，BDF方法的 $${\phi }_6\approx 17.84^{\circ }$$，而WSBDF方法的 $${\tilde{\phi }}_7\approx 18.32^{\circ }$$。这些较小的辐角表明在这些情况下方法仍然是稳定的。
   • 如果辐角进一步增大，超过了这些临界值，方法的稳定性可能会降低，导致数值解的不准确性或不收敛性。
     综上所述，辐角的增大会影响方法的稳定性，因为特征方程的根可能超出单位圆，从而破坏了方法的稳定性条件。
     "A0稳定"是指一种特殊的稳定性类型，用于描述数值方法在某些情况下的行为。具体来说，A0稳定性与方法的特征多项式的根有关。如果一个数值方法在复平面上的所有根都位于左半平面（即实部为负），那么这个方法被称为A0稳定的。
     在您提供的图片中，虽然主要讨论的是BDF和WSBDF方法的A(φ)-稳定性，但A0稳定性也是一个相关的概念。A0稳定性通常用于确保数值方法在处理 stiff（刚性）问题时能够保持稳定性和收敛性。
     总结一下，A0稳定性是一种重要的稳定性指标，用于评估数值方法在特定条件下的表现。它与A(φ)-稳定性不同，后者关注的是方法在复平面上的某个角度范围内的稳定性。两者都是评估数值方法性能的重要工具。要推导出引理3的内容，我们需要理解条件(7)和(8)的含义，并将它们转化为等价的形式。以下是详细的推导过程：

条件(7)和(8)的解释

1. 条件(7):
   $$\mathrm{Re}\left(\frac{\alpha (\zeta )}{\mu (\zeta )}\right)>0\text{for }|\zeta |>1.$$
   这表示在复平面上，当 $$|\zeta |>1$$ 时，$$\frac{\alpha (\zeta )}{\mu (\zeta )}$$ 的实部大于零。
2. 条件(8):
   $$\mathrm{Re}\left(\frac{\beta (\zeta )}{\mu (\zeta )}\right)>c_{\ast }\text{for }|\zeta |>1.$$
   这表示在复平面上，当 $$|\zeta |>1$$ 时，$$\frac{\beta (\zeta )}{\mu (\zeta )}$$ 的实部大于某个常数 $$c_{\ast }$$。

引理3的推导

第一步：将条件(7)转化为等价形式

考虑条件(7):
$$\mathrm{Re}\left(\frac{\alpha (\zeta )}{\mu (\zeta )}\right)>0\text{for }|\zeta |>1.$$
我们可以将其写成：
$$\sum _{j,\ell =0}^q{\alpha }_j{\mu }_{\ell }\cos ((j+\ell -q)\phi )\ge 0\forall \phi \in \mathbb{R}.$$
这是因为 $$\alpha (\zeta )$$ 和 $$\mu (\zeta )$$ 都是多项式，它们的比值可以通过傅里叶级数展开来表示。

第二步：将条件(8)转化为等价形式

考虑条件(8):
$$\mathrm{Re}\left(\frac{\beta (\zeta )}{\mu (\zeta )}\right)>c_{\ast }\text{for }|\zeta |>1.$$
同样地，我们可以将其写成：
$$-\sum _{j,\ell =0}^q{\beta }_j{\mu }_{\ell }\cos ((j+\ell -q)\phi )\ge c_{\ast }\forall \phi \in \mathbb{R}.$$
这是因为 $$\beta (\zeta )$$ 也是多项式，其与 $$\mu (\zeta )$$ 的比值也可以通过傅里叶级数展开来表示。

总结

通过上述步骤，我们将条件(7)和(8)分别转化为了等价的形式，得到了引理3的内容：
1.$$-\sum _{j,\ell =0}^q{\alpha }_j{\mu }_{\ell }\cos ((j+\ell -q)\phi )\ge 0\forall \phi \in \mathbb{R},$$
并且如果多项式 $$\mu$$ 没有单位根，

2.$$-\sum _{j,\ell =0}^q{\beta }_j{\mu }_{\ell }\cos ((j+\ell -q)\phi )\ge c_{\ast }\forall \phi \in \mathbb{R}.$$
这样，我们就完成了从条件(7)和(8)到引理3内容的推导。
您提出了一个重要的观点。确实，如果我们将 $$\zeta =e^{i\phi }$$，那么 $$|\zeta |=1$$ 而不是大于1。这里的推导可能存在误解，让我来澄清一下。
在讨论数值方法中的稳定性时，通常会考虑特征多项式的根的分布。对于A(0)-稳定的方法，我们关心的是特征多项式在复平面上的根的位置。通常，$$\zeta$$ 代表的是特征多项式的根，而稳定性分析通常是在单位圆上进行的，即 $$|\zeta |=1$$。
让我们重新审视条件(7)和(8)，并正确地推导出引理3：

条件(7)和(8)的重新审视

1. 条件(7):
   $$\mathrm{Re}\left(\frac{\alpha (\zeta )}{\mu (\zeta )}\right)>0\text{for }|\zeta |=1\text{ and }\zeta \ne 1.$$
   这意味着对于单位圆上的所有点（除了 $$\zeta =1$$），$$\frac{\alpha (\zeta )}{\mu (\zeta )}$$ 的实部是正的。
2. 条件(8):
   $$\mathrm{Re}\left(\frac{\beta (\zeta )}{\mu (\zeta )}\right)>c\text{for }|\zeta |=1\text{ and }\zeta \ne 1.$$
   这意味着对于单位圆上的所有点（除了 \zeta = 1\），$$\frac{\beta (\zeta )}{\mu (\zeta )}$$ 的实部大于某个常数 $$c$$。
   $$

引理3的正确推导

第一步：将条件(7)转化为等价形式

对于 $$|\zeta |=1$$，我们可以将 $$\zeta$$ 表示为 $$\zeta =e^{i\phi }$$，其中 $$\phi$$ 是 $$\zeta$$ 在单位圆上的角度。因此，条件(7)可以转化为：
$$\mathrm{Re}\left(\frac{\alpha (e^{i\phi })}{\mu (e^{i\phi })}\right)>0\text{for all }\phi \in [0,2\pi )\text{ and }\zeta \ne 1.$$

第二步：将条件(8)转化为等价形式

同样地，条件(8)可以转化为：
$$\mathrm{Re}\left(\frac{\beta (e^{i\phi })}{\mu (e^{i\phi })}\right)>c\text{for all }\phi \in [0,2\pi )\text{ and }\zeta \ne 1.$$

第三步：使用傅里叶级数

我们可以使用傅里叶级数来表示 $$\alpha (\zeta )$$ 和 $$\beta (\zeta )$$ 的实部和虚部。通过这种方式，我们可以将条件(7)和(8)转化为关于傅里叶系数的不等式。

总结

通过正确的推导，我们应该得到引理3的内容，它将条件(7)和(8)转化为傅里叶系数的不等式，适用于单位圆上的所有点（除了 $$\zeta =1$$）。具体的傅里叶级数展开和不等式的推导取决于 $$\alpha (\zeta )$$、$$\beta (\zeta )$$ 和 $$\mu (\zeta )$$ 的具体形式。如果需要更详细的推导，请提供这些多项式的具体形式。
在您提供的信息中，(nu 3) 指的是 WSBDF7 方法中的一个参数。要由 (nu 3) 推出 (mu) 的值，我们需要更多的上下文信息，包括 WSBDF 方法的设计原则、公式或者特定的算法步骤。然而，基于您给出的信息，我们可以尝试解释如何可能得到 (mu) 的值。
WSBDF 方法是一种加权分裂.backward differentiation formula (BDF) 方法，用于求解 stiff 非线性微分方程。在这种方法中，(mu) 的值通常是通过某种优化过程得到的，以确保方法的稳定性、精度和其他期望的特性。
以下是一种可能的推导过程，但请注意，这只是一个一般性的解释，具体的方法可能需要查阅相关的学术论文或技术文档：

1. 方法的设计：WSBDF 方法的设计通常涉及到选择合适的权重 (mu) 以满足特定的稳定性条件。这些权重是通过分析方法的特征多项式来确定的。
2. 稳定性分析：为了确保方法 A(0)-稳定，特征多项式的根必须位于复平面的左半部分。这意味着特征多项式在单位圆内不能有根。
3. 优化过程：在 WSBDF 方法中，(mu) 的值可能是通过优化过程得到的，这个过程可能涉及到以下步骤：
   • 确定特征多项式的形式。
   • 应用稳定性条件，例如确保特征多项式的根在单位圆内。
   • 使用数值优化技术来找到满足这些条件的 (mu) 值。
     在您给出的例子中，(mu) 的值可能是通过以下方式得到的：

• 特征多项式：首先，写出 WSBDF7 方法的特征多项式，这通常涉及到方法中的权重 (mu) 和其他参数。
• 稳定性条件：然后，应用稳定性条件，比如 A(0)-稳定性，来确定 (mu) 的可能值。
• 数值优化：由于 (nu 3)，这可能限制了 (mu) 的选择。通过数值优化，找到满足稳定性条件的 (mu) 值。
  例如，如果特征多项式是关于 (mu) 的函数，并且我们知道 (nu 3)，我们可能需要解一个优化问题，比如最小化特征多项式在单位圆外的根的实部，或者最大化其在单位圆内的根的实部。
  在您的具体例子中，(mu1 1.6, mu2 -1.6, mu3 1.1, mu4 -0.3, mu5 mu6 mu7 0) 可能是通过上述过程得到的一组特定值，它们确保了 WSBDF7 方法的稳定性和其他期望的特性。
  要得到确切的 (mu) 值，我们需要更多的具体信息，包括 WSBDF7 方法的详细公式和用于确定这些权重的具体算法。
  根据用户引用的对话内容，(mu1 1.6, mu2 -1.6, mu3 1.1, mu4 -0.3, mu5 mu6 mu7 0) 这组参数值是 WSBDF7 方法中乘子的一个例子。这些值可能是通过以下步骤得到的：

1. 理论研究与公式推导：
   • 首先，研究人员会对 WSBDF 方法进行理论研究，推导出方法的特征多项式。
   • 特征多项式通常依赖于一系列的乘子 (mu1, mu2, …, muq)，这些乘子决定了方法的性质。
2. 稳定性要求：
   • 为了确保数值方法的稳定性，特征多项式的根必须满足特定的条件，例如 A(0)-稳定性要求所有根的实部都小于或等于0，且在单位圆内没有根。
3. 优化过程：
   • 研究人员会使用优化技术来寻找乘子的值，这些值需要满足稳定性要求和其他性能指标，如精度和效率。
   • 优化过程可能包括以下步骤：
     • 设定目标函数：这个函数可能基于稳定性条件，例如最小化特征多项式根的最大实部。
     • 应用约束：乘子的值可能需要满足某些约束，比如保持方法的对角占优或其他数学属性。
     • 使用优化算法：如梯度下降、牛顿法、共轭梯度法或其他数值优化技术来找到最优或足够好的乘子值。
4. 数值实验与验证：
   • 一旦找到了一组乘子值，研究人员会通过数值实验来验证这些值是否确实能够提供期望的稳定性和其他性能。
   • 这可能涉及到在不同的问题上测试方法，并比较结果与理论预期。
5. 经验调整：
   • 基于数值实验的结果，研究人员可能会对乘子的值进行微调，以进一步优化方法的性能。
     具体到 (mu1 1.6, mu2 -1.6, mu3 1.1, mu4 -0.3, mu5 mu6 mu7 0) 这组值，它们可能是通过以下方式得到的：

• 基于已有研究：可能是基于先前的研究成果，这些值已经被证明在 WSBDF7 方法中表现良好。
• 启发式方法：研究人员可能使用了启发式方法来猜测这些值，然后通过数值实验验证它们的有效性。
• 系统优化：通过系统地调整这些乘子，并使用优化算法来找到满足所有稳定性条件的最佳组合。
  总之，这组乘子值是通过结合理论分析、数值优化和实验验证得到的，以确保 WSBDF7 方法在实际应用中的稳定性和效率。