随想录日记part24

$time：$ 2024.03.10

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主要内容：回溯算法在代码学习中尤其重要，所以今天继续加深对其的理解：1：递增子序列 ；2.全排列 ；3.全排列II

• 491.递增子序列
• 46.全排列
• 47.全排列 I

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Topic1递增子序列

题目：

给你一个整数数组 $nums$ ，找出并返回所有该数组中不同的递增子序列，递增子序列中 至少有两个元素 。你可以按 任意顺序 返回答案。数组中可能含有重复元素，如出现两个整数相等，也可以视作递增序列的一种特殊情况。

输入： $nums=[4,6,7,7]$
输出： $[[4,6],[4,6,7],[4,6,7,7],[4,7],[4,7,7],[6,7],[6,7,7],[7,7]]$

思路：

本题求自增子序列，是不能对原数组进行排序的，排完序的数组都是自增子序列了。所以不能使用之前的去重逻辑！
用 $[4,7,6,7]$ 这个数组来举例，抽象为树形结构如图：
按照回溯模板我们进行回溯三部曲：

递归三部曲：
1.回溯函数模板返回值以及参数
在这里要定义一个全局变量$result$用来存放符合条件结果的集合。回溯函数里需要一个参数为 $int$ 型变量 $startIndex$，来表示索引，
所以整体代码如下：

List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();// 记录最后输出的结果
List<Integer> path = new LinkedList<>();// 记录中间合理子序列
void reback(int[] nums, int startIndex)

2.回溯函数终止条件
题目要求递增子序列大小至少为2，所以代码如下
代码如下：

if (path.size() >= 2) {result.add(new ArrayList(path));}
if (startIndex >= nums.length) {return;}

3.回溯搜索的遍历过程
然后就是递归和回溯的过程：

在图中可以看出，同一父节点下的同层上使用过的元素就不能再使用了。

实现代码使用$HashSet$实现如下：

    HashSet<Integer> hs = new HashSet<>();for (int i = startIndex; i < nums.length; i++) {// 去重if ((path.size() > 0 && path.getLast() > nums[i]) || hs.contains(nums[i]))continue;hs.add(nums[i]);path.add(nums[i]);reback(nums, i + 1);path.removeLast();}

完整的代码如下：

class Solution {List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();// 记录最后输出的结果List<Integer> path = new LinkedList<>();// 记录中间合理子序列public List<List<Integer>> findSubsequences(int[] nums) {reback(nums, 0);return result;}private void reback(int[] nums, int startIndex) {// 回溯函数if (path.size() >= 2) {result.add(new ArrayList(path));}if (startIndex >= nums.length) {return;}HashSet<Integer> hs = new HashSet<>();for (int i = startIndex; i < nums.length; i++) {// 去重if ((path.size() > 0 && path.getLast() > nums[i]) || hs.contains(nums[i]))continue;hs.add(nums[i]);path.add(nums[i]);reback(nums, i + 1);path.removeLast();}}
}

时间复杂度: $O(n\ast 2^n)$
空间复杂度: $O(n)$

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Topic2全排列

题目：

给定一个不含重复数字的数组 $nums$ ，返回其 所有可能的全排列 。你可以 按任意顺序 返回答案。

输入： $nums=[1,2,3]$
输出： $[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]$

思路：

按照回溯模板我们进行回溯三部曲：
递归三部曲：
1.回溯函数模板返回值以及参数
在这里要定义两个全局变量，$path$用来存放符合条件单一结果，$result$用来存放符合条件结果的集合。排列问题需要一个 $used$ 数组，标记已经选择的元素，如图橘黄色部分所示:

所以整体代码如下：

List<List<Integer>> result=new ArrayList<>();
LinkedList<Integer> path=new LinkedList<>();
boolean[] used;
private void permuteHelper(int[] nums)

2.回溯函数终止条件
当收集元素的数组$path$的大小达到和$nums$数组一样大的时候，说明找到了一个全排列

if (nums.length == path.size()) {result.add(new ArrayList(path));return;}

3.回溯搜索的遍历过程
实现代码如下：

 for (int i = 0; i < nums.length; i++) {if (used[i] == false) {used[i] = true;path.add(nums[i]);permuteHelper(nums);path.removeLast();used[i] = false;}}

完整的代码如下：

class Solution {List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();List<Integer> path = new LinkedList<>();boolean[] used;public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {used = new boolean[nums.length];Arrays.fill(used, false);permuteHelper(nums);return result;}private void permuteHelper(int[] nums) {// 回溯的结束条件if (nums.length == path.size()) {result.add(new ArrayList(path));return;}for (int i = 0; i < nums.length; i++) {if (used[i] == false) {used[i] = true;path.add(nums[i]);permuteHelper(nums);path.removeLast();used[i] = false;}}}
}

时间复杂度: $O(n!)$
空间复杂度: $O(n)$

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Topic3全排列II

题目：

给定一个可包含重复数字的序列 $nums$ ，按任意顺序返回所有不重复的全排列。

输入： $nums=[1,1,2]$
输出： $[[1,1,2],[1,2,1],[2,1,1]]$

思路：
这个就是上面的方法加上了去重操作直接给出代码：

class Solution {List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();List<Integer> path = new LinkedList<>();boolean[] used;public List<List<Integer>> permuteUnique(int[] nums) {used = new boolean[nums.length];Arrays.fill(used, false);Arrays.sort(nums);reback(nums);return result;}private void reback(int[] nums) {if (path.size() == nums.length) {result.add(new ArrayList(path));return;}for (int i = 0; i < nums.length; i++) {if (used[i] == false) {if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == false)continue;used[i] = true;path.add(nums[i]);reback(nums);path.removeLast();used[i] = false;}}}
}

时间复杂度: $O(n!\ast n)$
空间复杂度: $O(n)$

拓展：
去重最为关键的代码为：

if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == false) {continue;
}

如果改成 $used[i-1]==true$， 也是正确的!，去重代码如下：

if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == true) {continue;
}

对于排列问题，树层上去重和树枝上去重，都是可以的，但是树层上去重效率更高！
用输入: $[1,1,1]$ 来举一个例子。
树层上去重 $(used[i-1]==false)$，的树形结构如下：

树枝上去重$（used[i-1]==true）$的树型结构如下：