黄小宁

与x∈R相异（等）的实数均可表为y=x+δ（增量δ可=0也可≠0），因各实数的绝对值都可是表示长度的数故各实数都可是数轴上点的坐标，于是x∈R变换为实数y=x+δ的几何意义可是：一维空间“管道”g内R轴上的质点x∈R(x是点的坐标)运动到新的位置y=x+δ还在管道g内（设各点只作位置改变而没别的改变即变位前后的质点是同一点）即实数的改变可形象化为g内质点的位置的改变。

有了面粉等食用材料还需有制作方法才能使面粉等变为面条等，同一袋面粉可制成面条也可制成馒头；构造点集的材料可是“点”，有了构造材料还须有规定各材料点如何排列聚集的法则才能使各点聚集成各不同图形，正如有了各数还须有规定各数如何排列使其分别处于哪一位置的法则才能确定一数列一样。“各点的纵标y与横标x的关系只能是y=x”就是一种规定各点分别处于哪一位置的法则。同一个固定点p,其坐标可随着坐标系的选取的不同而不同，所以表示点的位置的坐标与点本身有根本区别。永不在同一位置的两质点a与b形成的点集作保（变）距运动可形成无穷多各异点集，构造各点集的材料均是这两点a与b。所以如[1]所述，质点的坐标与质点本身有根本区别从而使质点集有数（数组）集所没有的独特性质：构造两异点集的构造材料点可完全相同(不是元相同)，正如两异数列的组成成员可完全相同一样（构造数列的材料是数，数列N中有数与别的数互换位置等等就形成≠N的数列还由N一切数组成。数列｛1，2，3）与数列｛3，1，2｝不是同一列，但其构造材料都是123这三个数。）数形结合须跃出根本误区。注：集的组成成员与集的元素是有根本区别的，例N各元n变为1组成的集由无穷多个1组成，但其元却只有一个。

追根究底地深入到“点”这一层次上来说图A变为B是因构造A的各构造材料点p按规定分别移动到新的位置变为新的点p′形成新的点集B。非常显然：非空点集A只有失去了部分构造材料点才能变为其真子集V⊂A。“偷工减料”地挖去点集W一部分构造材料点使W变为V⊂W,这一减料变换使减料前、后的点集是构造材料点不相同的点集。显然任一点集W若有非空V⊂W则V只能包含W一部分构造材料点。数学图形可是“离散”的点组成的点集。“管道”g内点集W=｛-1，0，1｝（各数是点的坐标）各元点x不保距地运动到新的位置变为还在管道g内的新的点x+δ=x2（2是指数，以下同）（形成新的点集｛1，0，1｝），其中有两元点∈W运动后还回到原位置即新位=原位，有一元点-1运动后与元点1重合在同一位置内从而使W失去了一个材料点（这等价于W失去了一个元）而变为W的真子集V⊂W，V与W是构造材料不同的点集。这是减料变换。刚体运动不能使点集的构造材料点有任何减少，例直线A：y=1平移变为直线B：y=2，平移前、后的图是同一图说明A与B≌A是构造材料点完全相同的点集。A变为B≌A是刚体运动（运动的距离可=0），这种变换是不改变构造材料（组成成员）只保距改变各材料点位置的“变位不变料”变换。这是不减料变换，从而不能使点集变为其真子集。

框框……内的点集（图形）K中若至少有一对点之间的距离变小（大）（但各点都不能与别的点重合）则必使K变形为≠K，点还是这框框内的几个点，但其保序不保距地改变位置后形成的新点集与K有不同的“长相”; K中若有两点的距离由≠0变为=0则有可能等价于挖去K一个点使其变为其真子集。将R轴各无理数点都挖去使R轴变形为有许多“空隙”的有空隙直线J不≌R轴，但肉眼不能察觉J与R轴有不同的形状。同样可将K看成是有“洞”闭直线段，观察图K可一眼看出：直线段K保序不保距地均匀收缩变短不能成为K的真子集。不改变构造材料只改变构造方法（法则）就能使一点集变为另一点集。

点集U=｛...｝均匀拉伸变换为V=｛. . .｝（U各点保序拉开了一段距离形成V），相比下U（V）是组织结构较紧实（松散）的点集。当规定各点只能作位置改变而不能作别的改变时，不减材料点的均匀拉伸（压缩）变换将相比下组织结构较紧实（松散）的点集拉伸（压缩）成结构较松散（紧实）的点集。构造U的全部材料点按不同的构造法则可构造出≠U的V～U。组织结构不同的两点集有不同的内部形状从而互不≌。点集A变为B～A显然是不改变构造材料点的变换，因这是“一一对应”变换。A与B～A是构造材料点完全相同的点集。显然有推翻百年集论的

h逻辑学起码常识：构造材料点完全相同的两点集中的任一集都不能是另一集的真子集（V⊂A只包含A部分材料点）表明点集A不减料地变为B～A，与A构造材料完全相同的B不能是A的任何真子集。

详论见

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