c++红黑树

1. 红黑树的概念

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。

2. 红黑树的性质

1. 每个结点不是红色就是黑色

2. 根节点是黑色的

3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的

4. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点

极端情况：

最短路径：全黑

最长路径：一黑一红到底

5. 每个叶子结点都是黑色的（叶子结点是NULL结点）

6. 红黑树的高度接近2logN

   AVL树的高度接近logN，所以红黑树的搜索效率比AVL树要差一点，但是几乎可以忽略不计。但是AVL的相对低高度，是通过频繁的旋转得到的。

3. 红黑树的定义

在定义红黑树的代码时，为了增加代码的可读性，可以用枚举类型把黑色和红色从数字转换成字母。在插入结点的时候，如果直接插入黑色结点会使红黑树的结构变得不可控，所以在插入结点的时候是默认插入红色结点，所以在初始化结点的时候，直接把结点的颜色设定成红色。

//颜色
enum color
{RED,BLACK
};//红黑树节点的定义
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{RBTreeNode<K, V>* _left;RBTreeNode<K, V>* _right;RBTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;color _col;//构造函数RBTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_kv(kv),_col(RED){}
};

4. 红黑树的插入

红黑树在插入的时候会涉及到结点的变色和旋转，是红黑树结构最核心的内容。

红黑树的插入可以分两种情况讨论，为了方便描述，以插入的结点的视角：

p：表示父结点

g：表示爷结点

u：表示叔结点

cur：表示当前的操作结点（因为会涉及变色的向上更新）

4.1 u存在，且p、u为红

cur为插入的结点，此时cur、p、u均为红色结点，因为规则规定不能有两个相连的红色结点，所以需要对p结点和u进行变色，同时g结点也需要变成红色。

g结点变色后，还需要分两种情况

1. g结点还有父结点：

如果g结点还有父结点，那么需要把cur结点变成g结点，重复变色的操作，直到满足不变色的条件

2. g结点就是根结点：

如果g结点就是根结点，那么需要把g结点从红色变回黑色

4.2 p为红，u为黑或不存在

4.2.1 叔结点存在且为黑

具体操作为：

（p在g的左子树，cur是p的左孩子）

1.将p结点右旋（我的右变成你的左，你变成我的右）

2.p变黑，g变红

相反，如果p在g的右子树，cur是p的右孩子。那么对p进行左旋，变色操作相同。因为，整个变色和旋转的操作都没有对u进行操作，所以u存不存在都不会影响。

出现p、u异色或p存在、u不存在的情况分析：

注意：如果u存在，cur不一定是插入的结点，cur可以是插入后向上更新的结点。对于情况一，cur可能是插入的结点也可能不是。但对于第二种情况，cur只有可能是向上更新的结点，也就是说，树的情况应该是这样：

注意，这种情况不但违反了不能有连续两个红色结点的规则，还违反了最短路径不能超过最长路径的规则。所以这种情况需要进行旋转操作，因为旋转的目的就是为了降低整个树的高度。

而当u不存在时，cur则一定是插入的结点：

注意，这里不仅违反了不能有两个连续红色结点的规则，因为如果只对p变色，整颗树就违反了最长路径和最短路径的黑色结点数量相等的规则（g没有右子树，可以看作最短路径只有g一个结点），所以需要进行旋转操作让整棵树的高度降低。

4.3 需要双旋的情况二

第三种情况和第二种情况基本相同，但g、p、cur形成了一个<或>的形状

举形状为<的为例：

1.先对cur进行左旋

2.再对cur进行右旋

3.g变红，cur变黑

如果是>形状的情况，那么需要反过来对cur先右旋再左旋，变色操作相同，g变红，cur变黑。

因为整个过程没有对u进行操作，所以u存在和不存在都没有影响

注意情况三和情况二的不同：

1. 情况三需要双旋

2. 结点最终位置不同

3. 变色操作的对象不同

5. 红黑树的删除

红黑树删除结点可以分为两个步骤：

1.按二叉搜索树删除

2.调整为红黑树结构

5.1 二叉搜索树的删除

二叉搜索树删除可以分为三种情况

1.删除的是叶子结点：

叶子结点直接删，删除叶子结点对二叉搜索树的结构没有影响

2.删除的结点有一个孩子：

有一个孩子的结点的删除，只需要让被删除的结点的孩子代替它的位置即可

3.删除的结点有两个孩子：

中序遍历的下一个结点代替被删除结点的位置

5.2 调整红黑树

5.2.1 被删除的是红色结点

删除红色结点不会破会红黑树的结构，所以对红色结点的删除不需要调整结构

如果是叶子结点，可以直接删除，无需调整操作

如果被删除的不是叶子节点，那么这个结点的前驱与它的父结点向上更新值，直到找到本来要删除的结点，然后再把前驱结点删除

5.2.2 被删除的是黑色结点

黑色结点大体可以分成三种情况讨论，被删除结点为D，它的右孩子是subR，它的右孩子的右孩子是subRR

1.D是黑色，subR是红色，subRR是黑色 ：

因为没有对subRR进行操作，所以subRR在这种情况下也可以是空

操作：

1.按二叉搜索树删除

2.把subR改成黑色

2. D是黑色，subR是黑色，subRR是红色：

操作：

1. 按二叉搜索树删除
2. 把subR改成红色

3.D是黑色，subR是黑色，SubRR是黑色：

先看删除D结点会造成的情况：

删除D结点发现，无法通过简单的变色来调整红黑树的结构

那么此时就需要到subR的层面旋转结点，可以将情况分为四种：其中两种互为镜像，所以这里分析非镜像的两种情况：

此处原本的subR更改标记为cur，它的父结点为p（注意这里p是删除D结点后的结点），它的兄弟结点为b。为了避免结点过多导致图像复杂，简化的图像会有多个标记落在空结点上。

1.cur为p的右孩子，b为黑：

在这种情况中，还需要细分为四个小情况：

它们对应的解决办法为：

2.cur为p的右孩子，b为红：

对于这种情况，需要把他转换成上面的情况再进行操作：

6. 红黑树的检查

bool Check(Node* cur){if (cur == nullptr)return true;if (cur->_col == RED && cur->_parent->_col == RED){cout << cur->_kv.first << "存在连续的红色节点" << endl;return false;}return Check(cur->_left)&& Check(cur->_right);}

黑树的检查

bool Check(Node* cur){if (cur == nullptr)return true;if (cur->_col == RED && cur->_parent->_col == RED){cout << cur->_kv.first << "存在连续的红色节点" << endl;return false;}return Check(cur->_left)&& Check(cur->_right);}