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一、图像压缩

1.1 三种冗余

 1. 三种基本的是数据冗余为：编码冗余、像素间冗余、心理视觉冗余。

 2. 编码冗余：如果一个图像的灰度级编码使用了多于实际需要的编码符号，就称该图像包含了编码冗余。

 3. 像素间冗余：对于一幅图像，很多单个像素对视觉的贡献是冗余的。它的值可以通过与它相邻的像素值为基础进行预测。

 4. 心理视觉冗余：有些信息在通常的视觉过程中与另外一些信息相比并不那么重要，这些信息被认为是心理视觉冗余的，去除这些信息并不会明显降低图像质量。
 由于消除心理视觉冗余数据会导致一定量信息的丢失，所以这一过程通常称为量化。心理视觉冗余压缩是不可恢复的，量化的结果导致了数据有损压缩。

1.2 模型

 1. 图像压缩模型由编码器和解码器组成。

 2. 信源编码器：减少或消除输入图像中的编码冗余、像素间冗余及心理视觉冗余。组成图：

 (1) 转换器：减少像素间冗余。
 (2) 量化器：减少心理视觉冗余，该步操作是不可逆的。
 (3) 符号编码器：减少编码冗余。
 注：并不是每个图像压缩系统都必须包含这 $3$ 种操作，如进行无误差压缩时，必须去掉量化器。

 3. 信源解码器组成图：

 (1) 符号解码器：进行符号编码的逆操作。
 (2) 反向转换器：进行转换器的逆操作。

1.3 信息测量

 1. 对一个随机事件 $E$，如果它的出现概率是 $P(E)$，那么它包含的信息如下公式所示。$I(E)$ 称为 $E$ 的自信息。如果 $P(E)=1$，那么 $I(E)=0$。

 2. 压缩比 $r$ 如下公式所示。一般情况下 $r\ge 1$，$r$ 愈大则压缩程度愈高。

 3. 图像熵 $H$ 公式如下。令 $p(d_i)$ 为数字图像第 $i$ 个灰度级 $d_i$ 相应出现概率。

 4. 平均码字长度公式如下所示。令 $L_i$ 为数字图像第 $i$ 个灰度级 $d_i$ 的编码长度。

 5. 编码效率 $\eta$ 公式如下所示。如果平均码字长度接近 $H$，则编码效果为佳。

二、无误差压缩

 1. 采用变字长编码，变字长编码是每个符号的码字长度随字符出现概率而变化。

 2. 若编码时，对出现概率较大的符号用较少比特数（短码）表示，对出现概率较少的符号用较多比特数（长码）表示，则其平均码字长度要比等长编码时所需码字少。

2.1 哈夫曼编码

2.1.1 步骤

 哈夫曼编码步骤如下：

2.1.2 例题

2.2 算术编码

 1. 算术编码从整个符号序列出发，采用递推形式连续编码。在算术编码中，信源符号（灰度值）和码字之间不存在一一对应的关系。

 2. 算术编码用到的两个基本的参数：符号的概率和它的编码间距。

 3. 算法编码包括编码和解码过程。编码本质就是按给的码的顺序找区间划分；解码本质就是按给的实数反向找区间，再将每一次找到的区间对应成码。例题如下：

三、变换编码

 1. 用可逆的线性变换（如傅里叶变换）将图像映射成一组变换系数，然后将这些系数量化和编码。大多数图像变换得到的系数值都很小，这些系数可以较粗地量化，或忽略不计。虽然失真很小，信息仍不能完全复原，所以还是有损压缩。

 2. 变换编码系统组成：

 3. 离散傅里叶变换和离散余弦变换比较：
 (1) 相同：都是图像变换，对信息进行集中。
 (2) 异同：离散傅里叶变换涉及复数运算，而离散余弦变换涉及实数运算，离散余弦变换是离散傅里叶变换的一种特殊形式。