• 拉格朗日建立机器人动力学方程需用齐次变换矩阵，计算效率低。优点是可以写成状态方程的形式，便于运用控制方法。
• 牛顿—欧拉动力学方程可得到一组正向和反向递推方程，显著优点是可把驱动力矩的计算时间缩短到可实时控制的程度。

1 转动坐标系

设有两个坐标系，$OXYZ$—惯性系，$O{X}^{\ast }{Y}^{\ast }{Z}^{\ast }$—转动系，O点重合，OX*、OY*、OZ* 相对于OX、OY、OZ旋转（ $O{X}^{\ast }{Y}^{\ast }{Z}^{\ast }$相对于OXYZ 旋转）。

矢量$\vec{r}$，在$OXYZ$中有:
$\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}(1)$

在$O{X}^{\ast }{Y}^{\ast }{Z}^{\ast }$中有：
$\vec{r}=x^{\ast }{\vec{i}}^{\ast }+y^{\ast }{\vec{j}}^{\ast }+z^{\ast }{\vec{k}}^{\ast }(2)$

式（1）对时间t求导数：
$\frac{d\vec{r}}{dt}=\dot{x}\vec{i}+\dot{y}\vec{j}+\dot{z}\vec{k}+x\frac{d\vec{i}}{dt}+y\frac{d\vec{j}}{dt}+z\frac{d\vec{k}}{dt}(3)$

式（2）在$O{X}^{\ast }{Y}^{\ast }{Z}^{\ast }$中对时间t求导数：
$\begin{array}{rl}\frac{d^{\ast }\bar{r}}{dt}& ={\dot{x}}^{\ast }{\vec{i}}^{\ast }+{\dot{y}}^{\ast }{\vec{j}}^{\ast }+{\dot{z}}^{\ast }{\vec{k}}^{\ast }+x^{\ast }\frac{d^{\ast }{\vec{i}}^{\ast }}{dt}+y^{\ast }\frac{d^{\ast }{\vec{j}}^{\ast }}{dt}+z^{\ast }\frac{d^{\ast }{\vec{k}}^{\ast }}{dt}\\ & ={\dot{x}}^{\ast }{\bar{i}}^{\ast }+{\dot{y}}^{\ast }{\bar{j}}^{\ast }+{\dot{z}}^{\ast }{\bar{k}}^{\ast }\end{array}(4)$

式（2）在$OXYZ$中对时间t求导数，并将式（4）代入：
$\begin{array}{rl}\frac{d\vec{r}}{dt}& ={\dot{x}}^{\ast }{\vec{i}}^{\ast }+{\dot{y}}^{\ast }{\vec{j}}^{\ast }+{\dot{z}}^{\ast }{\vec{k}}^{\ast }+x^{\ast }\frac{d{\vec{i}}^{\ast }}{dt}+y^{\ast }\frac{d{\vec{j}}^{\ast }}{dt}+z^{\ast }\frac{d{\vec{k}}^{\ast }}{dt}\\ & =\frac{d^{\ast }\vec{r}}{dt}+x^{\ast }\frac{d{\vec{i}}^{\ast }}{dt}+y^{\ast }\frac{d{\vec{j}}^{\ast }}{dt}+z^{\ast }\frac{d{\vec{k}}^{\ast }}{dt}\end{array}(5)$

设在 O X ∗ Y ∗ Z ∗ OX^{*}Y^{*}Z^{*} OX