文章目录
- 大纲
- 2.1 数制与编码
- 2.2 运算方法和运算电路
- 2.3 浮点数的表示和运算
- 【※】带标志加法器
- OF
- SF
- ZF
- CF
- 计算机怎么区分有符号数无符号数?
- 【※】存储排列和数据类型转换
- 数据类型大小
- 数据类型转换
- 进位计数制
- 进制转换
- 2的次幂
- 各种码的基本特性
- 无符号整数的表示和运算
- 带符号整数的表示和运算
- 码之间的转换
- 移位运算
- 算数移位【针对有符号数】
- 逻辑移位【针对无符号数】
- 循环移位
- 乘除运算
- 无符号整数
- 有符号数
- 【※】IEEE754
- IEEE754浮点数与真值相互转化
- 由浮点数确定真值(阶码不是全0、也不是全1) :
- 浮点数的加减运算
- C强制类型转换
- 浮点数的规格化
大纲
2.1 数制与编码
- 王道书和大学教材讲到原码、补码时,使用了数学化的语言来讲解,不用过于深究,不是重点。计组这门课在考试中只考察应用,不考数学原理。对补码的数学原理感兴趣的同学,可以研究《数论》。
- 这个小节学起来难,但做起题来不算难。不建议反复死磕视频和王道书,可以先学一遍,然后直接做题,用“做题驱动复习”。
2.2 运算方法和运算电路
- 本节内容较多,一天的时间可能学不完。建议大家按照“伴学营打卡表”推荐的顺序做题,学一部分,做几道题。不建议一口气全部看完再去做题,那样一定消化不了。
- 对于没学过《数字电路》的同学,串行加法器、并行加法器的底层原理一定很难理解。不过没关系,考试不可能考太底层的电路设计。
- 带标志位的加法器是考试重点,也是经常结合第四章考察的重点,需要认真理解。OF、SF、ZF、CF 标志位的生成和作用一定要掌握。
- 乘法、除法的原理细节不容易理解,但考察频率较低,第一次学如果觉得难,也不建议花太多时间。只需要先建立起这个认知:在计算机硬件层面,无论是乘法还是除法,都是通过 加法、减法、移位运算 来实现的。
- C语言中各种数据类型的存储和相互转换、数据的存储和排列,这两部分内容很重要,经常结合大题考察,需认真理解。
2.3 浮点数的表示和运算
- 本节又是一块硬骨头,没什么好说的,学吧。第一次学难免让人怀疑人生,保持平常心尽力去学尽力去做题就好。第一次学习不建议死磕细节,得配合做题来体会这个部分怎么考,用“做题驱动复习”。
- 但很多同学的反馈是:“第一次学感觉很复杂,但第二轮回来复习感觉也没那么难”。原因是,本节内容虽难,但在经过做题训练之后,大家都会更清晰的认识到 “哪些地方是考试重点”、““哪些地方应该是我重点关注的”。
【※】带标志加法器
OF
- 有符号数的加减运算是否发生了溢出。
- OF=1时,说明发生了溢出
- OF=最高位产生的进位 ⊕ 次高位产生的进位
- OF位对无符号数的加减法无意义
SF
- 有符号数加减运算结果的正负性。
- SF=0表示运算结果为正数,SF=1表示运算结果为负数
- SF = 最高位的本位和(也是结果的最高位)
- SF位对无符号数的加减法无意义
ZF
- 表示运算结果是否为0。
- ZF=1表示运算结果为0,ZF=0表示运算结果非0
- 两个数的运算结果为n bit,只有n bit全为0时,ZF =1
- 对有符号、无符号都有意义
CF
-
进位、借位标志
-
表示无符号数的加减法是否发生了进位或借位
-
当CF=1时,说明无符号数的加减法发生了进位或借位,即发生了溢出
-
CF=最高位产生的进位⊕sub
- sub=1,表示减法
- sub=0,表示加法
-
CF位对有符号数的加减法无意义
-
有符号数的加减运算是否发生了溢出。
-
OF=1时,说明发生了溢出
-
OF=最高位产生的进位 ⊕ 次高位产生的进位
-
OF位对无符号数的加减法无意义
计算机怎么区分有符号数无符号数?
- 标志位会保存在PSW,ALU无法区分有符号数和无符号数,但由于计算机分为无符号加法和有符号加法。指令不同,执行时安排的微操作不同,从而区分有符号数和无符号数。
【※】存储排列和数据类型转换
数据类型大小
- char:1B
- short:2B
- int:4B
- float:4B
- long:4B
- double:8B
Tips:
- C语言中定点整数是用补码存储的
数据类型转换
整数之间转换(带符号和无符号之间)
- 长度相同
- 机器数不变,解释方式改变
- 短变长
- 先扩展:
- 无符号数补0
- 有符号数补符号
- 再解释
- 先扩展:
- 长变短
- 直接截断,只留下低位
- 再解释
整数与浮点数之间的转换
- 整数转浮点数:
- 先转换为2进制,写出科学记数法1.xxxx,再转为浮点数,截断尾部采用0舍1入的原则
- ⚠️可能精度丢失
- 浮点数转整数:
- 写出二进制小数,去掉小数部分,整数部分保留更低的位数
- ⚠️可能溢出、精度丢失
进位计数制
进制转换
- 二进制 <-> 八进制:每3个二进制位对应一个八进制位
- 二进制 <-> 十六进制:每4个二进制位对应一个十六进制位
- 【PS:整数部分前面补0,小数部分后面补0】
- 十进制 -> 进制
- 整数部分:除基取余法,先取得的“余”是整数的低位
- 小数部分:乘基取整法,先取得的“整”是小数的高位
2的次幂
次幂 | 2的次幂 |
---|---|
-4 | 0.0625 |
-3 | 0.125 |
-2 | 0.25 |
-1 | 0.5 |
0 | 1 |
1 | 2 |
2 | 4 |
3 | 8 |
4 | 16 |
5 | 32 |
6 | 64 |
7 | 128 |
8 | 256 |
9 | 512 |
10 | 1024 |
11 | 2048 |
12 | 4096 |
13 | 8192 |
14 | 16384 |
15 | 32768 |
16 | 65536 |
各种码的基本特性
无符号整数的表示和运算
• 加法
• 全部位按位相加
• 减法
• x − y = x + [ − y ] x-y=x+[-y] x−y=x+[−y]
• [ − y [−y [−y]是 [ y ] [y] [y]从右往左第一个1的左边全部取反
• 溢出
• 手算:判断加减法的结果是否超出无符号数合法表示范围
• 机算: C F = 最高位进位 ⊕ S u b CF = 最高位进位 ⊕ Sub CF=最高位进位⊕Sub
带符号整数的表示和运算
Tips:
• 计算机内部,所有带符号整数的加减法都要先转换为补码
计算机硬件如何做带符号数补码的加法:
• 从最低位开始,所有位按位相加(符号位参与运算),并往更高位进位
计算机硬件如何做带符号数补码的减法:
• "被减数”不变,“减数”从右往左找到第一个1,这个1左边的全部位按位取反减法变加法
有符号数:
• 加法
• 按位相加
• 减法
• [ x ] 补 − [ y ] 补 = [ x ] 补 + [ − y ] 补 [x]_补 - [y]_补 = [x]_补 + [−y]_补 [x]补−[y]补=[x]补+[−y]补
• [ − y ] 补 是 [ y ] 补 [−y]_补 是 [y]_补 [−y]补是[y]补 从右往左第一个1的左边全部位按位取反
• 溢出
• 手算:判断加减法的结果是否超出有符号数合法表示范围
• 机算: O F = 最高位进位 ⊕ 次高位进位 OF = 最高位进位 ⊕ 次高位进位 OF=最高位进位⊕次高位进位
码之间的转换
- [x]_移→[−x]_移:全部位按位取反,末位+1
- 使用补码表示时,若符号位相同,则数值位越大,码值越大
[ x ] 原 → [ x ] 反 ? [x]_原→[x]_反? [x]原→[x]反?
• 正数:不变
• 负数:符号位不变,数值位按位取反
[ x ] 原 ↔ [ x ] 补 ? [x]_原↔[x]_补? [x]原↔[x]补?
• 正数:不变
• 负数:符号位不变,从右往左找到第一个“1”,这个1左边的所有“数值位”按位取反
[ x ] 补 ↔ [ − x ] 补 ? [x]_补↔[−x]_补? [x]补↔[−x]补?
• 从右往左找到第一个“1”,这个1左边的全部位按位取反
[ x ] 补 ↔ [ x ] 移 ? [x]_补↔[x]_移? [x]补↔[x]移?
• 符号位取反
如何用补码快速计算真值:
- 直接在补码前面加上负号,再计算值
○ Eg: [ 1110 ] 补 = − 2 3 + 2 2 + 2 = − 2 [1110]_补 = −2^3 + 2^2 + 2 = −2 [1110]补=−23+22+2=−2
- 遇到一大串的1,将其看作符号位,直接化为最简,再用上述方法
○ Eg: [ 11111110 ] 补 = [ 10 ] 补 = − 2 [11111110]_补 = [10]_补 = −2 [11111110]补=[10]补=−2
如何快速求真值的补码:
eg: − 8190 = − 8192 + 2 = [ 1110 , 0000 , 0000 , 0010 ] 补 = E 002 H −8190 = −8192 + 2 = [1110,0000,0000,0010]_补 = E002H −8190=−8192+2=[1110,0000,0000,0010]补=E002H
移位运算
算数移位【针对有符号数】
- 左移1位相当于乘基数;右移1位相当于除基数,但由于位数有限,所以有时候算数移位并不能完全等效于乘除运算。
- 是针对有符号数:符号位保持不变。
- 正数:原码、反码、补码,无论左移还是右移都是补0
- 负数:
- 原码左移、右移都补0
- 反码左移和右移都补1
- 补码左移补0,右移补1
- 若采用双符号位来表示数,则最高符号位永远是真正的符号位,因此在算术移位时只有高符号位保留不变,低符号位要参与移位
逻辑移位【针对无符号数】
- 针对无符号数。符号位参与,左移、右移都补0,移出的位舍弃
循环移位
- 不带进位位
- 用移出的位补上空缺
- 带进位位
- 移出的位放到进位位,原进位位补上空缺
乘除运算
无符号整数
- 逻辑左移代替*2
- 溢出判断:
- n位乘n位,若用2n位保存乘积,则不会溢出
- n位乘n位,若用2n位保存中间结果,最后截取末尾n位作为最终的乘积,则可能溢出
- 当且仅当2n的前n位都是0时才不会溢出
有符号数
- 算术左移代替*2
- 溢出判断:
- n位乘n位,若用2n位保存乘积,则不会溢出
- n位乘n位,若用2n位保存中间结果,最后截取末尾n位作为最终的乘积,则可能溢出
- 当且仅当2n的前n+1位是全0或全1时才不会溢出
【※】IEEE754
IEEE754浮点数与真值相互转化
由浮点数确定真值(阶码不是全0、也不是全1) :
- 划分“某浮点数”,确定数符、阶码、尾数的分布
- 确定尾数1.M(注意补充最高的隐含位1)
- 确定 阶码的真值 = 移码 − 偏置值 阶码的真值 = 移码-偏置值 阶码的真值=移码−偏置值 (可将移码看作无符号数,用无符号数的值减去偏置值)
- ( − 1 ) s × 1. M × 2 ( E − 偏置值 ) (-1)^s × 1.M × 2^{(E - 偏置值)} (−1)s×1.M×2(E−偏置值)
浮点数的加减运算
对阶
- 目的:使两个操作数的小数点位置对齐
- 对阶操作只把较小的阶码调整到较大的阶码【所以不会引起阶码的上溢或下溢】
- 阶码增大,尾数右移
- 无阶码减小的情况【因为只用小阶向大阶对齐】
尾数求和
- 原码定点数的加减法
规格化
- 尾数规格化为1.xxxx的形式
舍入
- 舍入是浮点数概念,定点数无舍入
- 浮点数舍入的情况:对阶或者右规格化
- 舍入不一定产生误差(后几位为0时不产生误差)
溢出
- 尾数右规,阶码上溢,发生溢出异常
- 尾数左规,阶码下溢,当机器0处理
- 如果双符号位为01或10时,则溢出【第一个符号是真的符号】
- 10:正溢
- 01:负溢
- 尾数舍入可能引起阶码的上溢
- 尾数溢出时,结果不一定溢出
C强制类型转换
- 无损:
- char→int→long→double
- float→double
- 有损:
- int→float【可能会损失精度,float 的尾数数值位只有1+23位】
- float→int 【可能会溢出,也可能会损失精度,如小数转整数】
浮点数的规格化
- 规格化:规定尾数的最高数位必须是一个有效值(1)【即,基数为2时,要求尾数: 1 / 2 ≤ ∣ M ∣ < 1 1/2≤|M|<1 1/2≤∣M∣<1】
- 采用规格化浮点数的目的是为了增加数据的表示精度
- 负数补码的最高数值位是0,就是一个规定,不用纠结为什么
- 补码表示的最高位与尾数的符号位不同时,表示规格化了