浮点数的由来及运算解析

数学是自然科学的皇后，计算机的设计初衷是科学计算。计算机的最基本功能是需要存储整数、实数，及对整数和实数进行算术四则运算。

但是在计算机从业者的眼中，我们知道的数学相关的基本数据类型通常是整型、浮点型、布尔型。整型又分为int8（用8位表示的整数）、uint8（用8位表示的无符号整数）、int16、uint16、int32、uint32，浮点型又分为float16（半精度，FP16）、float32（单精度）、float64（双精度）。今天，我们就来聊聊浮点数。

#1 为什么叫浮点数？

由于实数在计算机中的表示方法是以小数点浮动的方式表示的，所以称之为浮点数。

1、计算机中的整数表示

众所周知，计算机最底层是二进制计数。用二进制数表示整数很简单（本文不考虑原码、反码、补码，也不考虑大端模式和小端模式），最高位表示符号位，0表示正数，1表示负数，余下的位表示二进制值。

int8即使用8位表示的整数，最高位用来表示正负符号，还有7位表示数字，其所能表示的范围是［-128，127］。有人可能会想，00000000表示正0，10000000表示负0，int8表示的范围岂不是［-128，127］吗？但用两个序列表示同一个数，这本身就是一种浪费。如果计算机从最底层就开始这样浪费，那还了得？所以节约资源，从我做起。

2、用定点数来表示实数

最高位表示符号，然后再约定整数占几位，余下的位都是小数。从另一个角度来说，即小数点的位置是固定的。优点是计算很方便，缺点是存储的数据范围有限。

3、用浮点数来表示实数

最高位表示符号，再约定一部分二进制位表示指数域，余下的是数域。优点是能表示的数据范围很大，缺点是计算慢。但是80286出现后，有了浮点协处理数（FPU），浮点数表示方式成为了主流。

IEEE-754是IEEE制定的二进制浮点数算术标准（IEEE即电气与电子工程师协会，这个协会制定了很多计算机领域的标准），也计算机中表示浮点数的行业标准，于1985年正式采用，2008年和2019年又分别进行了完善和修订。

题外话

我司首席科学家金耀初教授，就是现任IEEE计算智能协会主席。计算智能协会是IEEE下设的39个专业学会之一，目前是会员约9000人，是IEEE唯一以人工智能、计算智能为主要研究领域的学会。

我们以最常见的64位、32位、16位浮点数为例，如下图所示：

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FP64称为双精度浮点数，一共64位，1位表示正负符号，11位表示指数，52位表示小数，可表达的精度范围是：

FP32是我们最常用的浮点数，也称为单精度浮点数，一共32位，1位表示正负符号，8位表示指数，23位表示小数，可表达的精度范围是：

FP16称为半精度浮点数，一共16位，1位表示正负符号，5位表示指数，10位表示小数，可表达的数据范围是：

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我们再以最简单的16位浮点数为例，如下图所示：

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互联网上有一些很有意思的网页，能帮我们更深刻的认识到浮点数。我们挑选了由纽约市立大学计算机科学系提供的网页，网址为https://babbage.cs.qc.cuny.edu/ieee-754.old/decimal.html（或者也可以打开https://baseconvert.com/ieee-754-floating-point）。

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接下来，我们随机输入一个浮点数，例如38.375，然后点击Rounded，再看看其在计算机中是如何表达的。

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最高位是31位（位序从0开始），此处为0，表示是正数
接下来是指数域，从30位到23位一共是8位，最大能表示的数是256，最小能表示的数是0
指数域的值要减掉127，此处指数域是10000100，即132-127=5
余下的都是尾数域，从22位到0位一共是23位，此处是1.00110011（小数点前面的1是最终的32位数据里不存在的，因为尾数规范化后都是以1开始，所以这个1都是省略的）

最高位好理解，但是指数域5和尾数域的1.00110011是怎么得到38.375的？请各位先思考一下再看下面的计算过程。