我们在信号与系统和通信原理中学到的傅里叶变化大多是$F(\omega )$这种形式的：

但有时在看资料的时候，发现有人会用$F(f)$这种表达，在画频域图的时候也有$\omega$和$f$两种横坐标，幅值也会有相应的变化。

下面以余弦函数$f(t)=Acos{\omega }_{0}t$为例，推导$F(w)$与$F(f)$之间的关系。

首先，在推导$f(t)$的傅里叶变化$F(\omega )$的时候，由于
$$f(t)=Acos{\omega }_{0}t=\frac{A}{2}(e^{j{\omega }_{0}t}+e^{-j{\omega }_{0}t})$$
因此可以将求解余弦函数傅里叶变换的问题转换为求解指数函数$g(t)=e^{j{\omega }_{0}t}$的问题。
那么：
$$G(\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }g(t)e^{-j\omega t}dt={\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{j{\omega }_{0}t}{e}^{-j\omega t}dt={\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-j(\omega -{\omega }_0)t}dt$$
但是上式我们暂时无法求出来。
于是$DiracDeltafunction\delta (t)$登场~
由于：
$$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }2\pi \delta (\omega -{\omega }_0)e^{j\omega t}d\omega =e^{j{\omega }_{0}t}=g(t)$$
正好说明了$2\pi \delta (\omega -{\omega }_0)$的傅里叶逆变换是$g(t)$，因此 F o u r i e r { g ( t ) } = G ( ω ) = 2 π δ ( ω − ω 0 ) Fourier\{g(t)\}=G(\omega)=2\pi\delta (\omega-\omega_{0}) Fourier{g(t)}=G(ω)=2πδ(ω−ω0​)
得到余弦函数$f(t)$的傅里叶变化为：
$$F(\omega )=\frac{A}{2}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-j(\omega -{\omega }_0)t}+e^{-j(\omega +{\omega }_0)t}dt=\pi A[\delta (\omega -{\omega }_0)+\delta (\omega +{\omega }_0)]$$
那么如果用$f$代替$\omega$会出现什么情况呢？
首先回到求解$g(t)=e^{j{\omega }_{0}t}=e^{j2\pi t}$的$f$傅里叶变换$G(f)$的问题：
$$G(f)={\int }_{-\infty }^{+\infty }g(t)e^{-j2\pi ft}dt={\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{j2\pi f_{0}t}{e}^{-j2\pi ft}dt={\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-j2\pi (f-f_0)t}dt$$
由
$$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }2\pi \delta (2\pi f-2\pi f_0)e^{j2\pi ft}d2\pi f=e^{j2\pi f_{0}t}=g(t)$$
因此，
$$G(f)=2\pi \delta (2\pi f-2\pi f_0)=\delta (f-f_0)$$
$$F(f)=\frac{A}{2}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-j2\pi (f-f_0)t}+e^{-j2\pi (f+f_0)t}dt=\frac{A}{2}[\delta (f-f_0)+\delta (f+f_0)]$$
由此可以看出，余弦函数的$F(f)$幅值比$F(\omega )$幅值低$2\pi$倍，并不是我们想当然的将自变量从$\omega$改为$f$就好了，除此之外，幅值还要发生改变。
其他函数的傅里叶变换也可以通过这种方式推导。