一、Jensen不等式


若f为区间I上的凹函数，则Jensen不等式成立：

这里若函数f为凹函数，则有：

凹函数（上凸）如下图所示：

归纳证明：

二、信息论

1.熵（信息不确定性度量）

2.联合熵

3.条件熵

条件熵的另一种表达方式

4.互信息（信息增益）

两个随机变量X， Y的互信息，定义为X，Y的联合分布和独立分布乘积的相对熵。

5.相对熵

设p(x)、 q(x)是X中取值的两个概率分布， 则p对q的相对熵是

说明：
相对熵可以度量两个随机变量的“距离” 。一般的， D(p||q) ≠D(q||p)、D(p||q)≥0、 D(q||p) ≥0

三、总结

H(X|Y) = H(X,Y) - H(Y)

H(X|Y) = H(X) - I(X,Y)

H(Y|X)= H(X,Y) - H(X)

H(Y|X)= H(Y) - I(X,Y)

I(X,Y)= H(X) + H(Y) - H(X,Y)

H(X|Y) ≤H(X) ， H(Y|X) ≤H(Y)