1 基本概念

1.1 马尔科夫链（维基百科）

马尔可夫链（英语：Markov chain），又称离散时间马尔可夫链（discrete-time Markov chain，缩写为DTMC），因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程。该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关。这种特定类型的“无记忆性”称作马尔可夫性质。

1.2 马尔科夫过程——离散的叫马尔科夫链

在概率论及统计学中，马尔可夫过程（英语：Markov process）是一个具备了马尔可夫性质的随机过程，因为俄国数学家安德雷·马尔可夫得名。马尔可夫过程是不具备记忆特质的（memorylessness）。换言之，马尔可夫过程的条件概率仅仅与系统的当前状态相关，而与它的过去历史或未来状态，都是独立、不相关的。

具备离散状态的马尔可夫过程，通常被称为马尔可夫链。马尔可夫链通常使用离散的时间集合定义，又称离散时间马尔可夫链。有些学者虽然采用这个术语，但允许时间可以取连续的值。

1.3 隐马尔科夫模型定义

隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model；缩写：HMM）或称作隐性马尔可夫模型，是统计模型，它用来描述一个含有隐含未知参数的马尔可夫过程。其难点是从可观察的参数中确定该过程的隐含参数。然后利用这些参数来作进一步的分析，例如模式识别。

在正常的马尔可夫模型中，状态对于观察者来说是直接可见的。这样状态的转换概率便是全部的参数。而在隐马尔可夫模型中，状态并不是直接可见的，但受状态影响的某些变量则是可见的。每一个状态在可能输出的符号上都有一概率分布。因此输出符号的序列能够透露出状态序列的一些信息。

隐马尔科夫模型是关于时序的概率模型，描述一个由隐藏的马尔科夫链随机生成不可观测的状态随机序列，再由各个状态生成一个可观测的观测随机序列的过程。

1.4 隐马尔科夫模型参数的确定

1.4.1 初始概率分布 $\pi$

$i_1$ 可能是状态1，状态2 ... 状态n，于是 $i_1$ 就有个N点分布：

$i_1$	状态1	状态2	...	状态n
概率	$P_1$	$P_2$	..	$P_n$

即： $i_1$ 对应个n维的向量。

上面这个n维的向量就是初始概率分布，记做π。

1.4.2 状态转移矩阵A

因为 $i_2$ 和 $i_1$ 不独立，所以 $i_2$ 是状态1的概率有： $i_1$ 是状态1时 $i_2$ 是状态1， $i_1$ 是状态2时 $i_2$ 是状态1,..., $i_1$ 是状态n时 $i_2$ 是状态1，如下表

$i_2$ \ $i_1$	状态1	状态2	...	状态n
状态1	P11	P12	...	P1n
状态2	P21	P22	...	P2n
...	...	...	...	...
状态n	Pn1	Pn2	...	Pnn

即： $i_1$ -> $i_2$ 对应n*n的矩阵。

同理： $i_n$ -> $i_{n+1}$ 对应个n*n的矩阵。

上面这些n*n的矩阵被称为状态转移矩阵，用An*n表示。

当然了，真要说的话， $i_n$ -> $i_{n+1}$ 的状态转移矩阵一定都不一样，但在实际应用中一般将这些状态转移矩阵定为同一个，即：只有一个状态转移矩阵。

1.4.3 观测矩阵B

如果对于 $i_n$ 有：状态1, 状态2, ..., 状态n，那 $i_n$ 的每一个状态都会从下面的m个观测中产生一个：观测1, 观测2, ..., 观测m，所以有如下矩阵：

$i_n$ \ $O_m$	观测1	观测2	...	观测m
状态1	P11	P12	...	P1m
状态2	P21	P22	...	P2m
...	...	...	...	...
状态n	Pn1	Pn2	...	Pnm

这可以用一个n*m的矩阵表示，也就是观测矩阵，记做Bn*m。

由于HMM用上面的π，A，B就可以描述了，于是我们就可以说：HMM由初始概率分布π、状态转移概率分布A以及观测概率分布B确定，为了方便表达，把A, B, π 用 λ 表示，即：

λ = (A, B, π)

2 隐马尔科夫模型

隐马尔科夫模型是一个生成模型，也就意味着一旦掌握了其底层结构，就可以产生数据。

HMM模型一共有三个经典的问题需要解决：

　　　　1）评估观察序列概率。即给定模型 $\lambda (A,B,\pi)$ 和观测序列 $O(O_1,O_2,O_3...O_T)$ ，计算在模型λ下观测序列𝑂出现的概率 $P(O|\lambda)$ 。这个问题的求解需要用到前向后向算法，我们在这个系列的第二篇会详细讲解。这个问题是HMM模型三个问题中最简单的。

　　　　2）模型参数学习问题。即给定观测序列 $O(O_1,O_2,O_3...O_T)$ ，估计模型 $\lambda (A,B,\pi)$ 的参数，使该模型下观测序列的条件概率 $P(O|\lambda)$ 最大。这个问题的求解需要用到基于EM算法的鲍姆-韦尔奇算法，我们在这个系列的第三篇会详细讲解。这个问题是HMM模型三个问题中最复杂的。

　　　　3）预测问题，也称为解码问题。即给定模型 $\lambda (A,B,\pi)$ 和观测序列 $O(O_1,O_2,O_3...O_T)$ ，求对给定观测序列条件概率 $P(I|O)$ 最大的状态序列 $I(i_1,i_2,i_3...i_T)$ 。即给定观测序列条件下，最可能出现的对应的状态序列，这个问题的求解需要用到基于动态规划的维特比算法，我们在这个系列的第四篇会详细讲解。这个问题是HMM模型三个问题中复杂度居中的算法。

2.1 概率计算问题

穷举算法，有N中状态，经过T时间，则有 $N^{T}$ 种可能(因为每一种状态都可能观测到 $O_{t}$ )，计算量巨大。但是很多路径是重复，基于动态规划的知识，我们可以重复利用很多节点的计算结果，所以出来了前向算法和后向算法。

2.1.1 前向概率

给定隐马尔可夫模型 $\lambda (A,B,\pi)$ ，定义到时刻t为止的观测序列为 $O(O_1,O_2,O_3...O_T)$ ，且状态为的概率为前向概率，记作：

$a_t(i) = P(O_1,O_2,O_3...O_t,i_t=q_i|\lambda)$

可以递推地求得前向概率 $a_t(i)$ 及观测序列概率 $P(O|\lambda)$ 。

定义解析：由于每个状态生成一个观测变量，那么在t时刻就会生成t个观测变量，在t时刻处于状态i的概率就是前向概率。

2.1.1 前向算法

算法的目的：根据初始参数和观测序列求出观测序列概率

前向概率的定义是：当第t个时刻的状态为i时，前面的时刻分别观测到 $O_1,O_2,O_3...O_T$ 的概率，即：

$\alpha_i(t) = P(O_1,O_2,O_3...O_t|q_t=i,\lambda)$

从上图可以看出，我们可以基于时刻t时各个隐藏状态的前向概率，再乘以对应的状态转移概率，即 $a_t(j)a_{ji}$ 就是在时刻t观测到 $O(O_1,O_2,O_3...O_T)$ ，并且时刻t隐藏状态 $q_j$ , 时刻t+1隐藏状态 $q_i$ 的概率。如果将像上面所有的线对应的概率求和，即 $\sum_{j=1}^{N}a_t(j)a_{ji}$ 就是在时刻t观测到 $O(O_1,O_2,O_3...O_T)$ ，并且时刻t+1隐藏状态 $q_i$ 的概率。继续一步，由于观测状态 $O_{t+1}$ 只依赖于t+1时刻隐藏状态 $q_i$ , 这样 $\left [ \sum_{j=1}^{N}a_t(j)a_{ji} \right ]b_i(O_{t+1})$ 就是在在时刻t+1观测到 $O(O_1,O_2,O_3...O_T,O_{T+1})$ ，并且时刻t+1隐藏状态 $q_i$ 的概率。而这个概率，恰恰就是时刻t+1对应的隐藏状态i的前向概率，这样我们得到了前向概率的递推关系式如下：

$a_{t+1}(i) = \left [ \sum_{j=1}^{N} a_t(j)a_{ji}\right ]b_i(o_{t+1})$

前向算法步骤：

输入：HMM模型 $\lambda (A,B,\pi)$ ，观测序列 $O(O_1,O_2,O_3...O_T)$

输出：观测序列概率𝑃(𝑂|𝜆)

1) 计算时刻1的各个隐藏状态前向概率：

$\alpha_1(i) = \pi_i b_i(O_1),i=1,2...N$

2) 递推时刻2,3,...𝑇2,3,...T时刻的前向概率：

$a_{t+1}(i) = \left [ \sum_{j=1}^{N} a_t(j)a_{ji} \right ]b_i(o_{t+1}),i=1,2...N$

3) 计算最终结果：

$P(O|\lambda) = \sum_{i=1}^{N}a_T(i)$

PS：这里的 $a_i(t)$ 中i表示第i号状态，t表示第t时刻。有的教程中会把i和t位置调换一下，变成 $a_t(i)$ ，其实都一样。

代码实现：

def forward(obs_seq):"""前向算法"""N = A.shape[0]T = len(obs_seq)# F保存前向概率矩阵F = np.zeros((N,T))F[:,0] = pi * B[:, obs_seq[0]]  # 初始状态输出序列元素0概率for t in range(1, T):for n in range(N):# t时刻各个状态，是t-1时刻各个状态转移过来的# A[:,n]表示各个状态转移到状态n# F[:,t-1]表示从初始时刻到t-1处于该状态的概率（不准确的理解）# B[n, obs_seq[t]]表示n状态输出obs_seq[t]观察值的概率# 利用点乘 累加 所有状态F[n,t] = np.dot(F[:,t-1], (A[:,n])) * B[n, obs_seq[t]]return F

2.1.2 后向算法

后向算法和前向算法非常类似，都是用的动态规划，唯一的区别是选择的局部状态不同，后向算法用的是“后向概率”。

后向概率的定义是：当第t个时刻的状态为i时，后面的时刻分别观测到 $O_{t+1},O_{t+2},O_{t+3}...O_T$ 的概率，即：

$\beta_i(t) = P(O_{t+1},O_{t+2},O_{t+3.}..O_T|q_t=i,\lambda)$

后向概率的动态规划递推公式和前向概率是相反的。现在我们假设我们已经找到了在时刻t+1时各个隐藏状态的后向概率 $\beta_{t+1}(j)$ ，现在我们需要递推出时刻t时各个隐藏状态的后向概率。如下图，我们可以计算出观测状态的序列为 $O_{t+1},O_{t+2},O_{t+3}...O_T$ ， t时隐藏状态 $q_i$ , 时刻t+1隐藏状态为 $q_j$ 的概率为 $a_{ij}\beta_{t+1}(j)$ , 接着可以得到观测状态的序列为 $O_{t+1},O_{t+2},O_{t+3}...O_T$ ， t时隐藏状态为 $q_i$ , 时刻t+1隐藏状态为 $q_j$ 的概率为 $a{ij}b{j}(O_{t+1})\beta_{t+1}(j)$ , 则把下面所有线对应的概率加起来，我们可以得到观测状态的序列为 $O_{t+1},O_{t+2},O_{t+3}...O_T$ ， t时隐藏状态为 $q_i$ 的概率为 $\sum _{j=1}^{N}a_{ij}b_j(O_{t+1})\beta_{t+1}(j)$ ，这个概率即为时刻t的后向概率。

这样我们得到了后向概率的递推关系式如下：

$\beta_t (i)=\sum_{j=1}^{N}a_{ij}b_j(O_{t+1})\beta_{t+1}(j)$

后向算法步骤：

代码实现：


def backward(obs_seq):"""后向算法"""N = A.shape[0]T = len(obs_seq)# X保存后向概率矩阵X = np.zeros((N,T))#t=T，T+1已经不观察了，后向概率都为1X[:,-1:] = 1for t in reversed(range(T-1)):for n in range(N):#t时刻转移概率*(t+1)时刻的后向概率X[n,t] = np.sum(X[:,t+1] * A[n,:] * B[:, obs_seq[t+1]])return X

2.3 学习问题

Baum-Welch算法也就是EM算法，己知观测序列 $O(O_1,O_2,O_3...O_T)$ ,估计模型参数 $\lambda (A,B,\pi)$ ，使得在该模型下观测序列概率 $P(O|\lambda)$ 最大。即用极大似然估计的方法估计参数。

2.4 预测问题（viterbi算法）

参考视频：https://www.youtube.com/watch?v=RKDIpPyeTTk

参考文章：如何通俗地讲解 viterbi 算法？ - 知乎

删掉了不可能是答案的路径，就是viterbi算法（维特比算法）的重点，因为后面我们再也不用考虑这些被删掉的路径了

代码实现：

    def viterbi(self, obs_seq):"""Returns-------V : numpy.ndarrayV [s][t] = Maximum probability of an observation sequence endingat time 't' with final state 's'观察序列prev : numpy.ndarrayContains a pointer to the previous state at t-1 that maximizesV[state][t]"""N = self.A.shape[0]T = len(obs_seq)prev = np.zeros((T - 1, N), dtype=int)# DP matrix containing max likelihood of state at a given time# 隐状态个数, 观测序列长度V = np.zeros((N, T))# 0时刻观测状态 =  状态初始概率 * 每个状态输出观测概率V[:,0] = self.pi * self.B[:,obs_seq[0]]for t in range(1, T):for n in range(N):# 上一时刻状态概率 * 状态转移概率(每一个状态转移到状态n) * 观察概率seq_probs = V[:,t-1] * self.A[:,n] * self.B[n, obs_seq[t]]# prev用于记录最大概率是从哪个状态转移过来的 -- >记录转移路径prev[t-1,n] = np.argmax(seq_probs)# 这里找出概率当前状态最大的概率,实质就是删除不可能的路径 --> 记录最大概率V[n,t] = np.max(seq_probs)return V, prev

3 代码实现

完整实现

import numpy as npclass HMM:"""Order 1 Hidden Markov ModelAttributes----------A : numpy.ndarrayState transition probability matrixB: numpy.ndarrayOutput emission probability matrix with shape(N, number of output types)pi: numpy.ndarrayInitial state probablity vectorCommon Variables----------------obs_seq : list of intlist of observations (represented as ints corresponding to outputindexes in B) in order of appearanceT : intnumber of observations in an observation sequenceN : intnumber of states"""def __init__(self, A, B, pi):self.A = Aself.B = Bself.pi = pidef _forward(self, obs_seq):N = self.A.shape[0]T = len(obs_seq)F = np.zeros((N,T))F[:,0] = self.pi * self.B[:, obs_seq[0]]for t in range(1, T):for n in range(N):F[n,t] = np.dot(F[:,t-1], (self.A[:,n])) * self.B[n, obs_seq[t]]return Fdef _backward(self, obs_seq):N = self.A.shape[0]T = len(obs_seq)X = np.zeros((N,T))X[:,-1:] = 1for t in reversed(range(T-1)):for n in range(N):X[n,t] = np.sum(X[:,t+1] * self.A[n,:] * self.B[:, obs_seq[t+1]])return Xdef observation_prob(self, obs_seq):""" P( entire observation sequence | A, B, pi ) """return np.sum(self._forward(obs_seq)[:,-1])def state_path(self, obs_seq):"""Returns-------V[last_state, -1] : floatProbability of the optimal state pathpath : list(int)Optimal state path for the observation sequence"""V, prev = self.viterbi(obs_seq)# Build state path with greatest probabilitylast_state = np.argmax(V[:,-1])path = list(self.build_viterbi_path(prev, last_state))return V[last_state,-1], reversed(path)def viterbi(self, obs_seq):"""Returns-------V : numpy.ndarrayV [s][t] = Maximum probability of an observation sequence endingat time 't' with final state 's'prev : numpy.ndarrayContains a pointer to the previous state at t-1 that maximizesV[state][t]"""N = self.A.shape[0]T = len(obs_seq)prev = np.zeros((T - 1, N), dtype=int)# DP matrix containing max likelihood of state at a given timeV = np.zeros((N, T))V[:,0] = self.pi * self.B[:,obs_seq[0]]for t in range(1, T):for n in range(N):seq_probs = V[:,t-1] * self.A[:,n] * self.B[n, obs_seq[t]]prev[t-1,n] = np.argmax(seq_probs)V[n,t] = np.max(seq_probs)return V, prevdef build_viterbi_path(self, prev, last_state):"""Returns a state path ending in last_state in reverse order."""T = len(prev)yield(last_state)for i in range(T-1, -1, -1):yield(prev[i, last_state])last_state = prev[i, last_state]def baum_welch_train(self, obs_seq):N = self.A.shape[0]T = len(obs_seq)forw = self._forward(obs_seq)back = self._backward(obs_seq)# P( entire observation sequence | A, B, pi )obs_prob = np.sum(forw[:,-1])if obs_prob <= 0:raise ValueError("P(O | lambda) = 0. Cannot optimize!")xi = np.zeros((T-1, N, N))for t in range(xi.shape[0]):xi[t,:,:] = self.A * forw[:,[t]] * self.B[:,obs_seq[t+1]] * back[:, t+1] / obs_probgamma = forw * back / obs_prob# Gamma sum excluding last columngamma_sum_A = np.sum(gamma[:,:-1], axis=1, keepdims=True)# Vector of binary values indicating whether a row in gamma_sum is 0.# If a gamma_sum row is 0, save old rows on updaterows_to_keep_A =  (gamma_sum_A == 0)# Convert all 0s to 1s to avoid division by zerogamma_sum_A[gamma_sum_A == 0] = 1.next_A = np.sum(xi, axis=0) / gamma_sum_Agamma_sum_B = np.sum(gamma, axis=1, keepdims=True)rows_to_keep_B = (gamma_sum_B == 0)gamma_sum_B[gamma_sum_B == 0] = 1.obs_mat = np.zeros((T, self.B.shape[1]))obs_mat[range(T),obs_seq] = 1next_B = np.dot(gamma, obs_mat) / gamma_sum_B# Update modelself.A = self.A * rows_to_keep_A + next_Aself.B = self.B * rows_to_keep_B + next_Bself.pi = gamma[:,0] / np.sum(gamma[:,0])

参考：

隐马尔可夫(HMM)、前/后向算法、Viterbi算法

【火炉炼AI】机器学习044-创建隐马尔科夫模型

隐马尔可夫模型HMM及Python实现

隐马尔可夫模型之Baum-Welch算法详解

HMM超详细讲解+代码