神聖的綫性代數速成例題2. 行列式的性質

性質 1：行列式與它的轉置行列式相等：

設 $A$ 為行列式， $A^T$ 為其轉置行列式，則 $\vert A\vert=\vert A^T\vert$ 。

性質 2：交換行列式的兩行 (列)，行列式變號：

若行列式 $A$ 經過交換第 $i$ 行和第 $j$ 行得到行列式 $B$ ，則 $\vert B\vert=-\vert A\vert$ 。

性質 3：行列式的某一行 (列) 中所有的元素都乘以同一個數 $k$ ，等於用數 $k$ 乘以此行列式：

若行列式 $A$ 的第 $i$ 行元素都乘以 $k$ 得到行列式 $B$ ，則 $\vert B\vert = k\vert A\vert$ 。

性質 4：若行列式的某一行 (列) 的元素都是兩數之和，則此行列式等於兩個行列式之和：

若 $a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$ ， $i = 1,\cdots,n$ ，則 $\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}b_{11}&\cdots&b_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\b_{n1}&\cdots&b_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}c_{11}&\cdots&c_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\c_{n1}&\cdots&c_{nn}\end{vmatrix}$ 。

性質 5：把行列式的某一行 (列) 的各元素乘以同一數然後加到另一行 (列) 對應的元素上去，行列式不變：

若行列式 $A$ 的第 $j$ 行各元素乘以 $k$ 加到第 $i$ 行對應元素上得到行列式 $B$ ， $i\neq j$ ，則 $\vert B\vert=\vert A\vert$ 。

例題解析：

1.已知行列式 $A=\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$ ，求 $A^T$ 並驗證 $\vert A\vert=\vert A^T\vert$ 。

解： $A^T=\begin{vmatrix}1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{vmatrix}$ 。

計算 $\vert A\vert = 1\times\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}-2\times\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}=1\times(-3)-2\times(-6)+3\times(-3)=-3 + 12 - 9 = 0$ 。

計算 $\vert A^T\vert = 1\times\begin{vmatrix}5&8\\6&9\end{vmatrix}-4\times\begin{vmatrix}2&8\\3&9\end{vmatrix}+7\times\begin{vmatrix}2&5\\3&6\end{vmatrix}=1\times(-3)-4\times(-6)+7\times(-3)=-3 + 24 - 21 = 0$ ，所以 $\vert A\vert=\vert A^T\vert$ 。

2.交換行列式 $\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$ 的第 $1$ 行和第 $2$ 行，求新行列式的值。

解：新行列式 $B=\begin{vmatrix}4&5&6\\1&2&3\\7&8&9\end{vmatrix}$ ， $\vert B\vert=-\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=0$ （因為原行列式值為 $0$ ）。

3.已知行列式 $A=\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$ ，將第 $2$ 行元素乘以 $2$ 得到新行列式 $B$ ，求 $\vert B\vert$ 。

解： $B=\begin{vmatrix}1&2&3\\8&10&12\\7&8&9\end{vmatrix}$ ， $\vert B\vert = 2\times\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=2\times0 = 0$ 。

4.已知行列式 $A=\begin{vmatrix}1 + 2&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$ ，利用性質 4 計算 $\vert A\vert$ 。

解： $A=\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$ 。

先算 $\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=0$ ，再算 $\begin{vmatrix}2&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=2\times\begin{vmatrix}1&1&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$ ，通過行運算化簡計算得 $\begin{vmatrix}1&1&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=0$ ，所以 $\vert A\vert = 0$ 。

5.把行列式 $\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$ 的第 $2$ 行乘以 $3$ 加到第 $1$ 行，求新行列式的值。

解：新行列式 $B=\begin{vmatrix}1 + 12&2+15&3 + 18\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}13&17&21\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$ ， $\vert B\vert=\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=0$ 。

6.已知行列式 $A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}$ ，且 $\vert A\vert = 5$ ，求 $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\2a_{31}&2a_{32}&2a_{33}\end{vmatrix}$ 的值。

解： $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\2a_{31}&2a_{32}&2a_{33}\end{vmatrix}=2\times\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=2\times5 = 10$ 。

7.已知行列式 $A=\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$ ，求 $\begin{vmatrix}1&2&3\\4 + 7&5+8&6 + 9\\7&8&9\end{vmatrix}$ 的值。

解： $\begin{vmatrix}1&2&3\\4 + 7&5+8&6 + 9\\7&8&9\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1&2&3\\7&8&9\\7&8&9\end{vmatrix}$ 。

因為行列式中有兩行相同，根據性質 2，若行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式的值為 $0$ ，所以 $\begin{vmatrix}1&2&3\\7&8&9\\7&8&9\end{vmatrix}=0$ 。

而 $\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=0$ ，故 $\begin{vmatrix}1&2&3\\4 + 7&5+8&6 + 9\\7&8&9\end{vmatrix}=0 + 0 = 0$ 。

8.已知行列式 $A=\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=2$ ，求 $\begin{vmatrix}a&b&c\\2d&2e&2f\\g - 3a&h - 3b&i - 3c\end{vmatrix}$ 的值。

解：首先，將 $\begin{vmatrix}a&b&c\\2d&2e&2f\\g - 3a&h - 3b&i - 3c\end{vmatrix}$ 按性質 4 拆分成兩個行列式之和，即 $\begin{vmatrix}a&b&c\\2d&2e&2f\\g - 3a&h - 3b&i - 3c\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&b&c\\2d&2e&2f\\g&h&i\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a&b&c\\2d&2e&2f\\ - 3a& - 3b& - 3c\end{vmatrix}$ 。

對於 $\begin{vmatrix}a&b&c\\2d&2e&2f\\g&h&i\end{vmatrix}$ ，根據性質 3，第 2 行元素乘以 $2$ ，可得 $\begin{vmatrix}a&b&c\\2d&2e&2f\\g&h&i\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}$ 。

又已知 $\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=2$ ，所以 $\begin{vmatrix}a&b&c\\2d&2e&2f\\g&h&i\end{vmatrix}=2\times Ã2 = 4$ 。

對於 $\begin{vmatrix}a&b&c\\2d&2e&2f\\ - 3a& - 3b& - 3c\end{vmatrix}$ ，先根據性質 3，第 3 行元素乘以 $-3$ ，得到 $\begin{vmatrix}a&b&c\\2d&2e&2f\\ - 3a& - 3b& - 3c\end{vmatrix}=-3\begin{vmatrix}a&b&c\\2d&2e&2f\\a&b&c\end{vmatrix}$ 。

再根據性質 2，因為此行列式第 1 行和第 3 行相同，所以 $\begin{vmatrix}a&b&c\\2d&2e&2f\\a&b&c\end{vmatrix}=0$ ，則 $\begin{vmatrix}a&b&c\\2d&2e&2f\\ - 3a& - 3b& - 3c\end{vmatrix}=-3\times Ã0 = 0$ 。