性質 1:行列式與它的轉置行列式相等:
設為行列式,
為其轉置行列式,則
。
性質 2:交換行列式的兩行 (列),行列式變號:
若行列式經過交換第
行和第
行得到行列式
,則
。
性質 3:行列式的某一行 (列) 中所有的元素都乘以同一個數,等於用數
乘以此行列式:
若行列式的第
行元素都乘以
得到行列式
,則
。
性質 4:若行列式的某一行 (列) 的元素都是兩數之和,則此行列式等於兩個行列式之和:
若,
,則
。
性質 5:把行列式的某一行 (列) 的各元素乘以同一數然後加到另一行 (列) 對應的元素上去,行列式不變:
若行列式的第
行各元素乘以
加到第
行對應元素上得到行列式
,
,則
。
例題解析:
1.已知行列式,求
並驗證
。
解:。
計算。
計算,所以
。
2.交換行列式的第
行和第
行,求新行列式的值。
解:新行列式,
(因為原行列式值為
)。
3.已知行列式,將第
行元素乘以
得到新行列式
,求
。
解:,
。
4.已知行列式,利用性質 4 計算
。
解:。
先算,再算
,通過行運算化簡計算得
,所以
。
5.把行列式的第
行乘以
加到第
行,求新行列式的值。
解:新行列式,
。
6.已知行列式,且
,求
的值。
解:。
7.已知行列式,求
的值。
解:。
因為行列式中有兩行相同,根據性質 2,若行列式有兩行(列)完全相同,則此行列式的值為,所以
。
而,故
。
8.已知行列式,求
的值。
解:首先,將按性質 4 拆分成兩個行列式之和,即
。
對於,根據性質 3,第 2 行元素乘以
,可得
。
又已知,所以
。
對於,先根據性質 3,第 3 行元素乘以
,得到
。
再根據性質 2,因為此行列式第 1 行和第 3 行相同,所以,則
。
故。