神聖的綫性代數速成例題2. 行列式的性質

性質 1:行列式與它的轉置行列式相等

A為行列式,A^T為其轉置行列式,則\vert A\vert=\vert A^T\vert

性質 2:交換行列式的兩行 (列),行列式變號

若行列式A經過交換第i行和第j行得到行列式B,則\vert B\vert=-\vert A\vert

性質 3:行列式的某一行 (列) 中所有的元素都乘以同一個數k,等於用數k乘以此行列式

若行列式A的第i行元素都乘以k得到行列式B,則\vert B\vert = k\vert A\vert

性質 4:若行列式的某一行 (列) 的元素都是兩數之和,則此行列式等於兩個行列式之和

a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}i = 1,\cdots,n,則\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}b_{11}&\cdots&b_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\b_{n1}&\cdots&b_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}c_{11}&\cdots&c_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\c_{n1}&\cdots&c_{nn}\end{vmatrix}

性質 5:把行列式的某一行 (列) 的各元素乘以同一數然後加到另一行 (列) 對應的元素上去,行列式不變

若行列式A的第j行各元素乘以k加到第i行對應元素上得到行列式Bi\neq j,則\vert B\vert=\vert A\vert

例題解析

1.已知行列式A=\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix},求A^T並驗證\vert A\vert=\vert A^T\vert

解:A^T=\begin{vmatrix}1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{vmatrix}

計算\vert A\vert = 1\times\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}-2\times\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}=1\times(-3)-2\times(-6)+3\times(-3)=-3 + 12 - 9 = 0

計算\vert A^T\vert = 1\times\begin{vmatrix}5&8\\6&9\end{vmatrix}-4\times\begin{vmatrix}2&8\\3&9\end{vmatrix}+7\times\begin{vmatrix}2&5\\3&6\end{vmatrix}=1\times(-3)-4\times(-6)+7\times(-3)=-3 + 24 - 21 = 0,所以\vert A\vert=\vert A^T\vert

2.交換行列式\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}的第1行和第2行,求新行列式的值。

解:新行列式B=\begin{vmatrix}4&5&6\\1&2&3\\7&8&9\end{vmatrix}\vert B\vert=-\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=0(因為原行列式值為0)。

3.已知行列式A=\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix},將第2行元素乘以2得到新行列式B,求\vert B\vert

解:B=\begin{vmatrix}1&2&3\\8&10&12\\7&8&9\end{vmatrix}\vert B\vert = 2\times\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=2\times0 = 0

4.已知行列式A=\begin{vmatrix}1 + 2&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix},利用性質 4 計算\vert A\vert

解:A=\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}

先算\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=0,再算\begin{vmatrix}2&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=2\times\begin{vmatrix}1&1&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix},通過行運算化簡計算得\begin{vmatrix}1&1&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=0,所以\vert A\vert = 0

5.把行列式\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}的第2行乘以3加到第1行,求新行列式的值。

解:新行列式B=\begin{vmatrix}1 + 12&2+15&3 + 18\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}13&17&21\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\vert B\vert=\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=0

6.已知行列式A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix},且\vert A\vert = 5,求\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\2a_{31}&2a_{32}&2a_{33}\end{vmatrix}的值。

解:\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\2a_{31}&2a_{32}&2a_{33}\end{vmatrix}=2\times\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=2\times5 = 10

7.已知行列式A=\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix},求\begin{vmatrix}1&2&3\\4 + 7&5+8&6 + 9\\7&8&9\end{vmatrix}的值。

解:\begin{vmatrix}1&2&3\\4 + 7&5+8&6 + 9\\7&8&9\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1&2&3\\7&8&9\\7&8&9\end{vmatrix}

因為行列式中有兩行相同,根據性質 2,若行列式有兩行(列)完全相同,則此行列式的值為0,所以\begin{vmatrix}1&2&3\\7&8&9\\7&8&9\end{vmatrix}=0

\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=0,故\begin{vmatrix}1&2&3\\4 + 7&5+8&6 + 9\\7&8&9\end{vmatrix}=0 + 0 = 0

8.已知行列式A=\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=2,求\begin{vmatrix}a&b&c\\2d&2e&2f\\g - 3a&h - 3b&i - 3c\end{vmatrix}的值。

解:首先,將\begin{vmatrix}a&b&c\\2d&2e&2f\\g - 3a&h - 3b&i - 3c\end{vmatrix}按性質 4 拆分成兩個行列式之和,即\begin{vmatrix}a&b&c\\2d&2e&2f\\g - 3a&h - 3b&i - 3c\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&b&c\\2d&2e&2f\\g&h&i\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a&b&c\\2d&2e&2f\\ - 3a& - 3b& - 3c\end{vmatrix}

對於\begin{vmatrix}a&b&c\\2d&2e&2f\\g&h&i\end{vmatrix},根據性質 3,第 2 行元素乘以 2,可得\begin{vmatrix}a&b&c\\2d&2e&2f\\g&h&i\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}

又已知\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=2,所以\begin{vmatrix}a&b&c\\2d&2e&2f\\g&h&i\end{vmatrix}=2\times ×2 = 4

對於\begin{vmatrix}a&b&c\\2d&2e&2f\\ - 3a& - 3b& - 3c\end{vmatrix},先根據性質 3,第 3 行元素乘以-3,得到\begin{vmatrix}a&b&c\\2d&2e&2f\\ - 3a& - 3b& - 3c\end{vmatrix}=-3\begin{vmatrix}a&b&c\\2d&2e&2f\\a&b&c\end{vmatrix}

再根據性質 2,因為此行列式第 1 行和第 3 行相同,所以\begin{vmatrix}a&b&c\\2d&2e&2f\\a&b&c\end{vmatrix}=0,則\begin{vmatrix}a&b&c\\2d&2e&2f\\ - 3a& - 3b& - 3c\end{vmatrix}=-3\times ×0 = 0

\begin{vmatrix}a&b&c\\2d&2e&2f\\g - 3a&h - 3b&i - 3c\end{vmatrix}=4 + 0 = 4

    本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.rhkb.cn/news/34645.html

    如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系长河编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

    相关文章

    大模型推理 memory bandwidth bound (3) - MLA

    系列文章目录 大模型推理 & memory bandwidth bound (1) - 性能瓶颈与优化概述 大模型推理 & memory bandwidth bound (2) - Multi-Query Attention 大模型推理 & memory bandwidth bound (3) - MLA 文章目录 系列文章目录前言一、原理1.低秩压缩 & 动机2.矩阵…

    CTP开发爬坑指北(九)

    CTP API开发中有很多需要注意的小细节,稍有不慎就会出问题,不然,轻则表现与预期不符,重则程序崩溃影响策略盈利。本系列将容易遇到的坑列出来,以供开发时参考,如有疑义之处,欢迎指正。 在国内期…

    python_巨潮年报pdf下载

    目录 前置: 步骤: step one: pip安装必要包,获取年报url列表 step two: 将查看url列表转换为pdf url step three: 多进程下载pdf 前置: 1 了解一些股票的基本面需要看历年年报,在巨潮一个个下载比较费时间&…

    量化交易backtrader实践(五)_策略综合篇(3)_经典策略复盘

    01_经典策略复盘 在某款股票软件手机版App上,有一项“复盘”的功能,这个功能很强大,它能把这支股票近1年的走势,用设置好的六个策略去回测,得到每个策略的近一年的收益率,并做了从最好到最差的排序。这就能…

    蓝桥与力扣刷题(蓝桥 字符统计)

    题目:给定一个只包含大写字母的字符出 S, 请你输出其中出现次数最多的字符。如果有多个字母均出现了最多次, 按字母表顺序依次输出所有这些字母。 输入格式 一个只包含大写字母的字等串 S. 输出格式 若干个大写字母,代表答案。 样例输入 BABBACAC样…

    protobuf安装

    安装 github官方链接 https://github.com/protocolbuffers/protobuf/ 以protobuf21为例 https://github.com/protocolbuffers/protobuf/releases/download/v21.11/protobuf-all-21.11.zip windows 解压好文件夹后,使用cmake,vs,qt creator等工具打开该项目,进行编译,编译需…

    Compose 实践与探索八 —— LayoutModifier 解析

    前面几节讲的 Modifier 都是起辅助作用的,比如 Modifier 的伴生对象、CombinedModifier、 ComposedModifier 以及几乎所有 Modifier 的父接口 Modifier.Element。本篇我们开始讲具有直接功效的 Modifier,分为几个大类:LayoutModifier、DrawMo…

    stl之string的详解

    一,string定义的方式 ,string定义了多种函数重载的方式,常用的构造函数如下: string(); string(const string& str); string(const string& str, size_t pos, size_t len npos); string(const char* s); string(const …

    Leetcode-131.Palindrome Partitioning [C++][Java]

    目录 一、题目描述 二、解题思路 【C】 【Java】 Leetcode-131.Palindrome Partitioninghttps://leetcode.com/problems/palindrome-partitioning/description/131. 分割回文串 - 力扣(LeetCode)131. 分割回文串 - 给你一个字符串 s,请你…

    InternVL:论文阅读 -- 多模态大模型(视觉语言模型)

    更多内容:XiaoJ的知识星球 文章目录 InternVL: 扩展视觉基础模型与通用视觉语言任务对齐1.概述2.InternVL整体架构1)大型视觉编码器:InternViT-6B2)语言中间件:QLLaMA。3)训练策略(1&#xff09…

    【AWS入门】AWS云计算简介

    【AWS入门】AWS云计算简介 A Brief Introduction to AWS Cloud Computing By JacksonML 什么是云计算?云计算能干什么?我们如何利用云计算?云计算如何实现? 带着一系列问题,我将做一个普通布道者,引领广…

    二分算法刷题

    1. 初识 总结:二分算法题的细节非常多,容易写出死循环。使用算法的条件不一定是数组有序,而是具有“二断性”;模板三种后面会讲。 朴素二分二分查找左端点二分查找右端点 2. 朴素二分 题目链接:704. 二分查找 - 力扣…

    itsdangerous加解密源码分析|BUG汇总

    这是我这两天的思考 早知道密码学的课就不旷那么多了 纯个人见解 如需转载,标记出处 目录 一、官网介绍 二、事例代码 源码分析: 加密函数dump源码使用的函数如下: 解密 ​编辑 ​编辑 关于签名: 为什么这个数字签名没有…

    深度解析React Native底层核心架构

    React Native 工作原理深度解析 一、核心架构:三层异构协作体系 React Native 的跨平台能力源于其独特的 JS层-Shadow层-Native层 架构设计,三者在不同线程中协同工作: JS层 运行于JavaScriptCore(iOS)或Hermes&…

    前端内存优化实战指南:从内存泄漏到性能巅峰

    前端内存优化实战指南:从内存泄漏到性能巅峰 一、内存问题引发的场景 1.1 典型内存灾难现场 // 经典内存泄漏示例 const zombieElements new Set();function createLeak() {const div document.createElement(div);zombieElements.add(div); // 元素永不释放div…

    【工作记录】pytest使用总结

    1、 fixture夹具 可参考: python3.x中 pytest之fixture - 漂泊的小虎 - 博客园 fixture是指夹具(把用例夹在中间),它包括前置工作和后置工作,前置是用例代码的准备阶段,后置是用例执行之后的清理阶段,用…

    C++基础笔记

    1. C关键字 这个不多说,以后接触得到,但这里做个总结: 2. 命名空间 一般类型: namespace Xianyu {// 命名空间中可以定义变量/函数/类型int rand 10;int Add(int left, int right){return left right;}struct Node{struct No…

    生活中的可靠性小案例12:类肤材质老化发粘问题

    我一直觉得我买的某品牌车载吸尘器很好用,用了几年,目前性能也是杠杠的。然而它现在有个最大的问题,就是表面发粘了,用起来粘手,非常不舒服。 这一类问题在生活中不少见,尤其是一些用了类肤材质涂层的物件。…

    黑马node.js教程(nodejs教程)——AJAX-Day01-04.案例_地区查询——查询某个省某个城市所有地区(代码示例)

    文章目录 代码示例效果 代码示例 axiosTest.html <!DOCTYPE html> <!-- 文档类型声明&#xff0c;告诉浏览器这是一个HTML5文档 --> <html lang"en"> <!-- HTML根元素&#xff0c;设置文档语言为英语 --><head> <!-- 头部区域&am…

    Ollama+OpenWebUI本地部署大模型

    OllamaOpenWebUI本地部署大模型 前言Ollama使用Ollama安装Ollama修改配置Ollama 拉取远程大模型Ollama 构建本地大模型Ollama 运行本地模型&#xff1a;命令行交互Api调用Web 端调用 总结 前言 Ollama是一个开源项目&#xff0c;用于在本地计算机上运行大型语言模型&#xff0…