目录

1. 三次数学危机

   1. 学霸与无理数
      -500年，希帕索问：直角边都是1，求斜边长度，动摇毕达哥拉斯学派的万物皆是整数
   2. 芝诺悖论——无穷小
      -500年，芝诺把阿基里斯追乌龟的时间分割成无限份，每份无穷小，首次提出“无穷小”
      1666年，牛顿提出了微积分，提出导数的概念。英国大主教贝克莱提出：无穷小是0吗
   3. 1902年，罗素悖论
      康托尔创立了集合论，罗素提问：设S = {x | x ∉ S} ，那么S是否属于自身呢？
      若S∈S，那么，S不满足条件 “x∉S”；若 S∉S，那么，S满足了条件 “x∉S”，S应该 ∈S

2. 微积分

   1. 起源于古希腊，阿基米德、刘徽的割圆法求π
   2. 17世纪，由牛顿、荚布尼茨初步奠定理论体系
   3. 微分：无穷分割；积分：累加求和（面积）

3. 质数与密码学

   1. 哥德巴赫猜想：1个质数 + 1个质数 = 大偶数 至今未得证，1965年，陈景润证明了1+2
   2. 1640年，费马提出：$2^{2^n}+1$对于所有的正整数n都得到一个质数，1732年被欧拉证伪
   3. 1977年，RSA算法，利用“大数的质因数分解非常困难”，创立加密方法

4. 概率

   1. 1657年，惠更斯发表《论赌博中的计算》，成为概率论的创始人

   2. 1812年，法国 拉普拉斯 提出 古典概率模型 ——有限性 + 等可能性

   3. 组合数与排列数计算公式：$C_m^n=\frac{n!}{m!(n-m)!},A_m^n=\frac{n!}{(n-m)!}$

   4. 贝叶斯公式——互相关联的事件，事件A发生的条件下，事件Bi发生的概率
      $P(B_i|A)=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{{\sum }_{j=1}^{n}P(B_j)P(A|B_j)}$

   5. 应用——天气预报、重病检查

5. 博弈

   1. 由计算机之父冯诺依曼（1903-1957）提出，经约翰纳什等人发扬光大
   2. 事例——抛硬币、三姬分金、四人分金、纳什平衡（囚徒困境、智猪博弈）

6. 几何

   1. -300年，古希腊欧几里得著有《几何原本》，创立欧式几何
   2. 1826年，罗氏几何，双曲面上的几何
   3. 1854年，黎曼几何，椭圆球上的几何
   4. N维空间——过空间中任意一点，可以做N条相互垂直的直线

7. 其它

   1. 欧拉：一笔划图形的奇点（过该点的线段有奇数条）个数一定是0个或者两个
   2. 费马猜想：当整数n >2时， $x^n+y^n=z^n$没有正整数解
      1753（欧拉）~1995（怀尔斯），10多位数学字接力后，终于得证

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三次数学危机

学霸与无理数

-500年，毕达哥拉斯学派提出勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方之和 = 斜边的平方

该学派认为，宇宙的本质就是（整）数，一切都能写成整数（或整数的比）

该学派研究的数后来被称为“有理数”，可以分为三类：

整数	有限小数	无限循环小数
自身与1的比	写作分数	写作分数 循环节/n个9

• 无限循环小数可以写作： 循环节 除以 n个9. n为循环节的位数
  例：0.343434…的循环节为“34”，循环节的位数为2，0.343434… = 34/99

毕达哥拉斯的学生希帕索提出：如果一个直角三角形的两个直角边都是1，那么斜边的长度如何表示为整数呢？——第一次数学危机，动摇了“万物皆是整数”的信仰基础

毕利达哥斯拉学派严密封锁希帕索的发现，将其扔进爱琴海淹死，成为了历史上第一位“学霸”

学霸的本意：学术界的恶棍。利用自己的地位铲除异己，打压其他人的坏蛋

为了应对这一数学危机，人们引入了无理数的概念——即无限不循环小数

后来，人们还引入了虚数，例：-1开根号就是虚数

复数 = 虚数 + 实数，实数 = 有理数 + 无理数，数轴上的点与实数一一对应

芝诺悖论——无穷小

-490年出生的芝诺提出了芝诺悖论：阿基里斯能追上乌龟吗？

阿基里斯：传说为海洋女神和英雄珀琉斯之子，希腊联军的第一勇士。出生后被海洋女神提着脚踝浸入冥河，全身刀枪不入。在特洛伊战争中，被敌人射中脚踝而死——脚踝没浸到冥河水

常理：阿基里斯跑得很快，乌龟跑得很慢，阿基里斯可以追上乌龟

芝诺悖论：追及乌龟的过程可以被分割成无限份，累加起来的时间是无限长，所以追不上

• 分析：无穷多个越来越小的时间之和，不一定是无穷长
• 庄子也有类似的说法：一尺之棰，日取其半，万世不竭
  芝诺首先提出了无穷小的概念，后来，希腊文明衰落，直到文艺复兴时期，科学才又发展起来

牛顿提出了微积分，其中就有导数的概念

在函数图像中任取两点，横坐标之差为Δx，纵坐标之差为Δy，两个点连线的斜率为：Δy/Δx

两点重合时，其连线即过其中一点，函数图像的切线，这条切线的斜率为该点的导数，写作：$f^{\prime }(x_0)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$，其中，lim叫做“极限”，Δx叫做“无穷小”

英国大主教贝克莱提出：无穷小是0吗——引发了第二次数学危机

如果是，为什么在求导时可以做分母？

若不是，为什么说计算的是一个点的切线斜率，而不是两个点连线的斜率呢？

罗素悖论——集合

康托尔（1845－1918）创立了集合论：

如果两个集合中的元素可以建立一一对应的关系，那么，这两个集合的元素个数是一样的

针对集合论，罗素提出了罗素悖论（1902年）

设集合S是所有不属于自身的集合构成的集合，即S = {x | x ∉ S} ，那么S是否属于自身呢？

若 S ∈ S，那么，S不满足条件 “x ∉ S”；

若 S ∉ S，那么，S满足了条件 “x ∉ S”，S应该 ∈ S

罗素悖论的通俗说法：理发师悖论

一个理发师竖起一块牌子：我只给不自己刮脸的人刮脸。顾客问：你给自己刮脸吗？

如果理发师回复：给自己刮脸，那么他就是自己刮脸的人，他不应该给自己刮脸

如果理发师回复：不给自己刮脸，那么他就是不自己刮脸的人，他应该给自己刮脸

理发师悖论被称为“第三次数学危机”，这一问题迟迟未能解决，最终导致康托尔精神失常，死在哈勒大学的精神病院里

微积分

微积分的发展

起源于古希腊，阿基米德、刘徽的割圆法就用到了微积分的思想

在17世纪，牛顿、荚布尼茨初步奠定了微积分的理论体系

1665年，22岁的牛顿从剑桥大学毕业，回乡下躲避瘟疫，随后两年，牛顿发明了流数法，发现了色散，提出了万有引力定律。其中，流数法就是微积分，是牛顿研究物理问题的数学工具

1676年，荚布尼茨与牛顿进行了短暂的通信

1684年，荚布尼茨连续发表了两篇论文，正式提出了微积分的思想。

荚布尼茨未在论文中提及与牛顿通信之事，两人互相争论，并且在自己的著作中删除对方的名字，如今， 微积分公式还被称为“牛顿-荚布尼茨公式”——也有人认为，两人是独立研究的

π

时间	人物	π	方法
-300	欧几里德	3	用软绳测量周长，再除以圆的直径
-287~212	阿基米德	3.14	割圆法：L内接正N边形 < L圆 < L外切正N边形
225~295	刘徽	3.1416	割圆法：正N边形与正2N边形边长的计算公式
429~500	祖冲之	3.1415926?	缀术（失传）
1707~1783	欧拉	未计算	提出级数方法

-300年，欧几里德的《几何原本》提出公理：过一点，以某个长度为半径，可以作一个圆

根据相似形，任何一个圆的周长与直径的比都是一个常数，L=πd

阿基米德：N越大，正N边形的周长就越接近圆的边长，计算到正96边形

——发现杠杆原理、浮力定律的人，名言：给我一个支点，我可以撬起地球

刘徽《九章算术注》计算到了圆的内接正3072边形

设：正N边形边长为X，正2N边形边长为Y

根据勾股定理：BD² = BC² + CD²，OC² = AO² - AC²

Y² = (X/2)² + (r-OC)²，OC² = r² - (X/2)²，OC = √[r² - (X/2)²]

Y² = (X/2)² + r² + OC² - 2rOC = (X/2)² + r² + r² - (X/2)² - 2r√[r² - (X/2)²] = 2r² - 2r√(r² - X²/4)

设 r =1，则Y² = 2 - √(4 - X²)

圆的面积公式 S = π r²

微积分求面积

把图形分割成无数个矩形，单个矩形的面积 = △x * y，总面积 = 所有矩形面积之和

微分：中心思想是无穷分割

积分：由曲线、直线、轴围成的曲边梯形的面积S = ${\int }_a^{b}f(x)dx$

质数与密码学

哥德巴赫猜想 1+1=2

18世纪初，俄罗斯的君主彼得大帝修建了一座新城圣彼得堡，并从欧洲引进科学家，其中就有德国数学家哥德巴赫。1728年，哥德巴赫开始出任彼得大帝孙子（彼得二世）的宫廷教师。

哥德巴赫猜想：所有大偶数(≥4)都可以被分解成两个质数的和——1个质数 + 1个质数 = 大偶数

质数（素数）：只有1和它本身两个约数，比如1，3，5，7，11，13，17

哥德巴赫无法证明这个猜想，写信求助于欧拉，欧拉也无法解答，此问题至今未能解答

时间	国家	人物	证明
1920	挪威	布朗	9+9
1924	德国	拉特马赫	7+7
1932	英国	埃斯特曼	6+6
1937	意大利	蕾西	5+7
1938	苏联	布赫夕太勃	5+5
1940	苏联	布赫夕太勃	4+4
1956	中国	王元	3+4
1962	中国	潘承洞	1+5
1962	中国	王元	1+4
1965	苏联	布赫夕太勃	1+3
1965	中国	陈景润	1+2

x = 1个质数 + N个质数的乘积

1+3：x = a + b 或 x = a + bc 或 x = a + bcd

1+2：x = a + b 或 x = a + bc

陈景润

就读于厦门大学数学系，毕业后分配至北京市第四中学任教，因不善与人交流且经常生病，被调回厦门大学任职。陈景润在厦门大学专心研究数学，改进了华罗庚的研究结果，华罗庚（数学家，当时已享誉全球）将其调入中国科学院

1966年，经师兄王元审查后，在科学通报上发表"1+2"

文革期间，用几麻袋的演算纸证明了1+2

1973年，在《中国科学》发表了“1+2”的详细证明，被国际数学界称为“陈氏定理”，引起轰动

1978年，王元、潘承洞、陈景润共同获得中国自然科学奖一等奖

最厉害的民科——费马

费马数

1640年，法国律师费马提出：$2^{2^n}+1$对于所有的正整数n都得到一个质数

n	费马数
0	3
1	5
2	17
3	257
4	5537

1732年，欧拉指出，n=5时，费马数不是一个质数，4,294,967,297 = 641 * 6,700,417

在欧拉之后，人们计算了n = 6~11的费马数，都不是质数，至于n=12，至今还没有算出来

大数的质因数分解是非常困难的，我们目前的密码学也是基于这个基础

密码学

对称加密：加密方法与解密方法一样，密码学中最基本的加密算法

非对称加密：加密方法与解密方法不同，加密方法是公开的，解密方法是不公开的

RSA算法：1977年，麻省理工学院 罗纳德 + 萨默尔 + 阿德曼 基于欧拉定理提出的加密算法

1. A挑选两个质数 p 和 q ，计算n = p * q，然后把 n 传递给B
2. B用n对原文进行加密，然后把密文返回给A
3. A利用 p 和 q 对内容进行解密

• 原理：大数的质因数分解是非常困难的，黑客即使截获了n，也无法得到p 和 q
  现在使用的RSA算法中，大数普遍为1024、2048、4096位二进制数，计算机最多曾破解过768位的二进制数。不过，如果量子计算机被发明出来，大数的质因数分解时间就会大大缩短。

概率

概率论

1657年，惠更斯发表《论赌博中的计算》，成为概率论的创始人

1812年，法国 拉普拉斯 提出 古典概率模型，满足以下两个特点即为古典概率模型

1. 有限性——所有基本事件可能的结果是有限的
2. 等可能性——每个基本事件发生的概率是相同的
   古典概率模型公式： P（A）= m/n【m为A包含的基本事件的个数，n为基本事件的总数】

• 概率的意义是在事件发生之前计算可能性，一旦事件发生，可能性就会变成确定性
• 连续两次事件之间，往往并无实质联系。以抛硬币为例，就算连续得到100次正面，在下一次抛硬币中，正面的概率依然是1/2，不会增减
  组合数C：从ｎ个不同元素中，不重复地选取 ｍ 个元素形成组合，所有组合的个数为组合数

排列数A：从ｎ个不同元素中，不重复地选取 ｍ 个元素，所有排列组合的个数称为排列数

$$C_m^n=\frac{n!}{m!(n-m)!},A_m^n=\frac{n!}{(n-m)!}$$

贝叶斯公式

如果A和B是两个相关的事件，A事件只有发生和不发生两种可能，B事件有n种可能

条件概率P(Bi|A)：在事件A发生的条件下，事件Bi发生的概率

计算P(Bi|A)的步骤：

1. 计算P(A|Bi)：在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率
2. 计算P(Bi)P(A|Bi)：Bi占所有事件的概率 * A占Bi的概率 = ABi占所有事件的概率
3. 把所有的P(Bi)P(A|Bi)累加起来，得到AB占所有事件的概率
4. ABi占所有事件的概率 / AB占所有事件的概率 = P(ABi) / P(AB) = P(Bi|A)

• 公式：$$P(B_i|A)=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{{\sum }_{j=1}^{n}P(B_j)P(A|B_j)}$$

应用

天气预报假设：天气预报说明天会下雨，且天气 预报的准确率为90%

	地区下雨概率 40%	地区不下雨概率 60%
预报下雨（90%下，10%不下）	36%	6%
预报不下雨概率 （90%不下，10%下）	4%	54%

预报下雨，真的下雨的概率为：36 / 42 = 86% ——实际上达不到90%

预报不下雨，真的不下雨的概率为：54/58 = 93% ——超过90%

重病检查假设：某重病患病率为1/7000，误检率为1/10,000

第一次检测	患病 1/7K	健康 6999/7K
检测患病（9999/1W患病，1/1W健康）	9999/7KW	6999/7KW
检测健康（9999/1W健康，1/1W患病）	1/7KW	69,983,001/7KW

第一次检测出患病，患病的概率为：9999 / (9999+6999) ≈ 58.8%

第二次检测	患病 58.8%	健康 41.2%
检测患病（9999/1W患病，1/1W健康）	58.8%	0.004%
检测健康（9999/1W健康，1/1W患病）	0.006%	41.2%

第二次检测出患病，患病的概率为：58.8 / (58.8+0.004) ≈ 99.99%

博弈

博弈论由计算机之父冯诺依曼提出，经约翰纳什等人发扬光大

博弈论不同于概率论，参与者可以主动调整自己的策略，从而获得最大收益

博弈的技巧

A和B各抛一枚硬币，两正时，A给B 3元；两反时，A给B 1元，一正一反时，B给A 2元

B赢钱的期望是 1/4 * 3 + 1/4 *1 = 1元，B输钱的期望是 2/4 * 2 = 1元 ，这是一个公平的游戏

如果A和B可以自行选择出正面或者反面呢？设A出正面的频率为x，B出正面的频率为y

	A正 x	A反 1-x
B正 y	xy	(1-x)y
B反 1-y	x(1-y)	(1-x)*(1-y)

B赢钱的期望是 xy * 3 + (1-x)*(1-y) *1 = 3xy + 1-x - (y-xy) = 4xy + 1-x - y

B输钱的期望是 [(1-x)y + x(1-y)] * 2 = (y-xy+x-xy) *2 =2x +2y -4xy

总期望是 4xy + 1-x - y - （2x +2y -4xy）= 4xy + 1-x - y - 2x -2y +4xy = 8xy -3x - 3y +1

如果B想赢钱， 需要保证8xy -3x - 3y +1>0，即(8x-3)y >3x-1

8x-3 = 0, x = 3/8，0>1/8总是成立

8x-3 > 0, x > 3/8 时，y >(3x-1)/(8x-3)，由于x不可控制，y要取最大值——x=0时，y= 1/3

8x-3 < 0, x < 3/8 时，y <(3x-1)/(8x-3)，由于x不可控制，y要取最小值——x=1时，y= 2/5

y = 1/3 ~ 2/5时，无论x如何取值，y总是大于0，B总是能赢钱

三姬分金

三人抽签，按ABC的顺序，进行分金币提议。如果超过一半人同意提议（不包括半数），按提议分金币。否则，处死提议人，换下一个人提议

条件：三个人都明白游戏规则，并且都想在多拿金币的前提下，尽量多杀人

假设A死了，只剩下BC，不管B提议什么，C都不会同意。这样C得到所有金币，并且B被杀死

倒推：B为了避免自己被杀，会同意A的所有提议

倒推：A知道B一定会同意自己的提议，可以把所有金币都分给自己。此时，C的反对没有意义

四人分金，按KABC的顺序

假设KA死了，只剩BC，不管B提议什么，C都不会同意。这样C得到所有金币，并且B被杀死

倒推：B为了避免自己被杀，会同意A的所有提议

倒推：A知道B一定会同意自己的提议，可以把所有金币都分给自己。此时，C的反对没有意义

倒推：所有人都知道，如果K死，A将独吞所有金币。K将提议按98/0/1/1分金币，KBC都同意

K好比皇帝或者大公司的老板，A好比高层员工，B和C好比底层员工

底层员工拉拢成本低——收益小，风险也小，因此老板对底层员工特别好

高层员工A既没有先手优势，也不是K拉拢的对象，要获得最大利益，必须得干掉K

纳什平衡 - 个体最优解 ≠ 集体最优解

囚徒困境

AB两个小偷被抓	A坦白	A隐瞒
B坦白	各8年	A 10年， B 0年
B隐瞒	A 0年， B 10年	各1年

集体最优解：都隐瞒，两人共坐牢2年

单人最优秀解：坦白

在A看来，

如果B坦白了，我坦白坐牢8年，隐瞒坐牢10年——我应该坦白

如果B隐瞒了，我坦白坐牢0年，隐瞒坐牢一年——我应该坦白

马路上总有人开车加塞也是这个原理。如果大家都不加塞，是整体的最优解

个人司机的考虑：无论别人是否加塞，我加塞都可以使自己的收益变大。结果是大家都加塞

怎么使个人最优解变成集体最优解呢？如果博弈多次进行，共谋是可能的。

在社会领域，共谋是靠法律完成的，大家约定的共谋结论就是法律，利用法律的惩罚，可以使个人最优解与集体最优解达成一致

智猪博弈

大猪和小猪共待在食槽一侧，食槽中装有10份食物，但是控制按钮在另一端，过去开按钮要消耗2份食物，且大小猪吃食速度不同

同时开吃，大小猪吃食7：3

小猪先吃，大小猪吃食6∶4

大猪先吃，大小猪吃食9∶1

	小猪行动	小猪等待
大猪行动	5，1	4，4
大猪等待	9，-1	0，0

小猪的想法：等待

如果大猪行动，我行动获得收益1，等待获得收益4——等待收益更高

如果大猪等待，我行动获得收益-1，等待获得收益0——等待收益更高

大猪的想法：小猪总是等待，那只能由我来行动了

几何

平行线存在吗？

公元前300年，古希腊欧几里得著有《几何原本》，提出了5个公设，公设是不可证明的

1. 任意两点确定一条直线
2. 任意线段能延长成一条直线
3. 以一点为圆心，一个线段为半径，可以做一个圆
4. 所有直角都相等
5. 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
   从个5个公设推导出的一系列定理，称为“欧式几何”，如

时间	国家	创立者	几何	过直线外一点， 与已知直线平行的直线	类似
-300	古希腊	欧几里得	欧氏几何	有且只有一条	平面几何
1826	俄罗斯	罗巴切夫斯基	罗氏几何	有多条	双曲面上的几何
1854	德国	黎曼	黎曼几何	一条都没有	椭圆球上的几何

• 在欧式几何中，三角形的内角和是180度
• 在罗氏几何中，三角形的内角和小于180度
• 在黎曼几何中，不存在平行线的概念
  在球面上，只有圆心在球心的圆，才能称为"直线"，而这样的两条"直线"总是相交的

四维空间

闵可夫斯基四维时空：三维空间+时间轴——在相对论中使用

传统的高维空间是指：过空间中任意一点，可以做N条相互垂直的直线

欧氏几何为平直空间，非欧几何里的空间称为弯曲空间

• 由于我们生活在三维空间中，比较难以想像四维空间的样子

N	图	相互垂直的直线
0	点	0 条
1	线	1 条
2	面	2 条
3	立体	3 条
4	？	4 条

确定点在空间中的位置

解析几何——法国迪卡尔，名言：我思故我在

由相互垂直的数轴在空间中构成坐标系，用坐标表示空间中的点。N维空间需要N条数轴。

一笔划

18世纪经典的数学问题“哥尼斯堡七桥问题”

被欧拉简化为“一笔画问题”：哪些图形可以一笔画，哪些不能？欧拉定义了两个概念：

1. 偶点：过该点的线段有偶数条
2. 奇点：过该点的线段有奇数条

点	线	分析
始点	有出去的线段，不一定有进	始点=终点：奇点=0 始点≠终点：奇点=2
途经点	一进一出，肯定是偶点
终点	有进入的线段

欧拉的结论：

1. 如果一个图形可以一笔画成，那么它的奇点个数一定是0个或者两个
2. 奇点=0时，从图形中任何一点出发都可以一笔画
3. 奇点=2时，只能从一个奇点画到另一个奇点
   

图形	点的个数	奇点个数
七桥	4	4
山	6	4
日	6	2
田	9	4

欧拉13岁进大学，16岁获硕士学位，29岁向圣彼得堡科学院提交论文《哥尼斯堡的7座桥》，

在解答问题的同时，他开创了数学的一个新的分支，图论与几何拓扑

费马猜想

当整数n >2时，$x^n+y^n=z^n$ 没有正整数解

时间	国家	人物	进度
1753	瑞士	欧拉	n=3 时成立
1816	法国	巴黎科学院	限定n为奇素数成立，称为“费马大定理”
			费马自己证明了n=4的情形
1825	德国	狄利克雷	n=5 时成立
1825	法国	勒让德	n=5 时成立
1839	法国	拉梅	n=7 时成立
1844	德国	库默尔	100以内，除37、59、67以外的所有奇数
1908	德国	沃尔夫斯凯尔	为证明费马猜想错过自杀时间，用遗产设奖
1922	英国	莫德尔	提出莫德尔猜想（关于算术曲线有理点）
1955	日本	谷山丰	猜测椭圆曲线与模曲线之间存在着某种联系 结论：有理数域上的椭圆曲线都是模曲线
1983	德国	法尔廷斯	证明了莫德尔猜想
1984	德国	弗雷	将 费马大定理 与 谷山—志村猜想 绑定
1986	美国	里贝特	证明弗雷命题
1993	英国	怀尔斯	证明谷山—志村猜想
1995	英国	怀尔斯	完整证明结果发布在《数学年刊》 莫德尔猜想 + 弗雷命题 + 谷山—志村猜想

支线：二战后，借助计算机，n<1W时成立，到1980s，证明了n<400W