【数学建模】评价类模型：优劣解距离法

1：前言

2：算法

1. 将原始矩阵正向化(统一为极大型)

2. 正向矩阵标准化(消除量纲)

3. 计算得分并归一化

3：例题

4：拓展

1：前言

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层次分析法（AHP）的局限性：决策层不能多，否则导致判断矩阵和一致性矩阵差异很大；若题中给出明确的数据，层次分析法显得主观臆断

三点解释：
1. 比较的对象一般要远大于两个
2. 比较的指标也往往不只是一个方面的，例如成绩、工时数、课外竞赛得分
3. 有很多指标不存在理论上的最大值和最小值，例如衡量经济增长水平的指标：GDP增速

2：算法

1. 将原始矩阵正向化(统一为极大型)

常见的四种指标：
- 极大型(成绩、GDP增速)
- 极小型(费用、坏品率、污染程度)
- 中间型(越接近某个值越好)[水质评估时的PH值]
- 区间型指标(落在某个区间最好)[体温]
极小型指标转化为极大型指标：

设 \{Xi\} 是一组中间型指标序列，中间型指标转化为极大型指标：

设 \{Xi\} 是一组中间型指标序列，且最佳的区间为 [a,b]，区间型指标转化为极大型指标：

2. 正向矩阵标准化(消除量纲)

指标正向化后，不同指标间还存在不同的量纲，因此还需要标准化处理

 X=[89,1;60,3;74,2;99,0][n,m]=size(X)%n是X的行数，m是X的列数X./repmat(sum(X.*X).^0.5,n,1)%所有元素除以矩阵中所有元素的平方和开根

3. 计算得分并归一化

\frac{X-X_{min}}{X_{max}-X_{min}}=\frac{X-X_{min}}{(X_{max}-X)+(X-X_{min})}=\frac{D_i^-}{D_i^+-D_i^-}

3：例题

评价下表中 20 条河流的水质情况

保存数据：将 EXCEL 中的数据导入到 Matlab，并保存为 .mat 文件，以后直接 load
- 在工作区中 Ctrl+N 新建一个变量，然后双击点开，把我们要的 Excel 中的数据复制粘贴进去，并修改命名
- 右键→另存为 (.mat 为后缀的数据)
- 代码：load xxx.mat

%% 第一步：载入数据clear;clcload data_water_quality.mat%% 第二步：对矩阵进行正向化处理[n,m] = size(X); %将X的行和列的数量分别赋给n和mdisp(['共有' num2str(n) '个评价对象, ' num2str(m) '个评价指标']) Decide = input(['是否对评价指标进行正向化处理:>']);if Decide == 1Position = input('请输入需要正向化处理的指标所在的列:>'); %[2,3,4]Type = input('请输入需要处理的这些列的指标类型:>'); %[2,1,3](1 极小型,2 中间型,3 区间型)for i = 1 : size(Position,2)  %size(Position,2)得到Postion的列数(即指标的个数，最大循环次数)X(:,Position(i)) = A02_Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i)); enddisp('正向化后的矩阵 X =  ')disp(X)end%% 第三步：对正向化后的矩阵进行标准化Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);disp('标准化后的矩阵为 Z = ')disp(Z)%% 第四步：计算与最大值的距离和最小值的距离，并算出得分D_Max = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5;   % D+ 与最大值的距离向量D_Min = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5;   % D- 与最小值的距离向量S = D_Min ./ (D_Max+D_Min);  %得到未归一化下的得分disp('最后的得分为：')stand_S = S / sum(S); %对S进行归一化处理得到最终结果[Sort_result,index] = sort(stand_S ,'descend') % 将sorted_S降序处理，且将其降序排序后下标保存到index

4：拓展

基于熵权法对Topsis模型的修正（写学术论文别用，比赛可用）
依据的原理：指标的变异程度(方差)小，所反映的信息量也越少，其对应的权值也应该越低。（客观=数据本身就可以告诉我们权重）

原理解释：

计算步骤：
1. 判断输入的矩阵是否存在负数，若存在负数重新标准化到非负区间（即对Topsis模型中的矩阵正向化、标准化）
2. 计算第j项指标下第i个样本的比重，并将其看作相对熵计算中用到的概率
3. 计算每个指标的信息熵，并计算信息效用值，并归一化得到每个指标的熵权

%% 第一步：将数据导入工作区%clear;clcload data_water_quality.mat%% 第二步：矩阵正向化处理[n,m] = size(X);disp(['共有' num2str(n) '个评价对象, ' num2str(m) '个评价指标']) %字符串拼接，也可以用strcat来实现效果Judge = input(['这' num2str(m) '个指标是否需要经过正向化处理:>']);%用0或1作为正向化处理的标签if Judge == 1Position = input('输入要正向化处理的指标所在列:>'); %[2,3,4]Type = input('输入所需正向化处理列的指标类型:>');%(1:极小型，2:中间型，3:区间型)for i = 1 : size(Position,2) %用size(...,2)函数得到行向量的列数，即最大循环次数X(:,Position(i)) = A02_Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));enddisp('正向化后的矩阵 X =  ')disp(X)end%% 第三步：对正向化后的矩阵进行标准化处理Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1); % 向量中每个元素除以每一列的平方和的开根disp('标准化矩阵 Z = ')disp(Z) % 得到标准化矩阵Z%% 第四步：判断是否需要增加权重Judge = input('请输入是否需要增加权重:>');% 0表示否，1表示确定用Judge接收if Judge == 1Judge = input('是否采用熵权法:>');% 0表示否，1表示确定用Judge接收if Judge == 1if sum(sum(Z<0))>0   % 若原标准化矩阵Z中存在负数，需要对X重新标准化disp('原标准化矩阵Z中存在负数，所以需要对X重新标准化')for i = 1:n % n是矩阵X的行数for j = 1:m % m是矩阵X的列数Z(i,j) = [X(i,j) - min(X(:,j))] / [max(X(:,j)) - min(X(:,j))]; %Topsis算法中的灵魂公式endenddisp('X重新进行标准化得到的标准化矩阵Z为:>')disp(Z)endweight = A02_Entropy_Weight(Z);% 调用外部函数disp('熵权法确定的权重为:>')disp(weight)elsedisp(['需依此输入对应指标数个数的权重，一一对应！']);weight = input(['你需要输入' num2str(m) '个权数' '并以行向量的形式输入这' num2str(m) '个权重:>']);Yes = 0;  % 判断输入格式是否正确，需用浮点数比较while Yes == 0 if abs(sum(weight) -1)<0.000001 && size(weight,1) == 1 && size(weight,2) == m  % Matlab中浮点数的比较Yes =1;elseweight = input('输入有误，重新键入权重行向量:>');endendendelseweight = ones(1,m) ./ m ; %如果不需要加权重就默认权重都相同，即都为1/mend%% 第四步：计算与最大值的距离和最小值的距离，并算出得分D_Max = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weight,n,1) ,2) .^ 0.5;   % D+ 与最大值的距离向量D_Min = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weight,n,1) ,2) .^ 0.5;   % D- 与最小值的距离向量S = D_Min ./ (D_Max+D_Min); % 得到未归一化下的得分% 未归一化下的得分放进论文中我反而觉得更妥当一点[sorted_nostand_S]=sort(S,'descend')disp('最后的得分为：')stand_S = S / sum(S) % 对S进行归一化处理得到最终结果[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend') %将sorted_S降序处理，且将其降序处理后结果的下标保存至向量index% index 是最终的排名结果format longdisp(weight)