相机标定——小孔成像、相机模型与坐标系

小孔成像

用一个带有小孔的板遮挡在墙体与物之间，墙体上就会形成物的倒影，我们把这样的现象叫小孔成像。

用一个带有小孔的板遮挡在墙体与物之间，墙体上就会形成物的倒影，我们把这样的现象叫小孔成像。前后移动中间的板，墙体上像的大小也会随之发生变化，这种现象说明了光沿直线传播的性质。

在照相机被发明之前，人们就已经开始利用“小孔成像”原理制造各类光学成像装置，这种装置被称为“Camera obscura（暗箱）”。 19世纪上半叶，人们终于找到了固定保存暗箱中投影面上光学图像的方法与介质，照相机工业由此发展，因此Camera obscura被认为是照相机的祖先；而“Camera”则成了照相机的英文名称。

1839 年法国画家达盖尔根据小孔成像的原理发明了被称为“西洋镜”的世界第一台照相机。不过当时的相机令现代人无法想象，暗箱大得像个小房子，拍摄时间至少三十分钟，以至于不得不将被摄的人头部固定在事先预制好的卡箍里，而且得到的只是一张笨重的铜版正像。当时有报社记者评述：“就像在马路上拿着一面镜子，周围的景物极细地反映出来，然后把镜子带回家。”

现代照相机和摄影机也是利用了小孔成像的原理——镜头是小孔（大多数安装凸透镜以保证光线成像距离），景物通过小孔进入暗室，影像被一些特殊的化学物质（如显影剂等）留在胶片上。数码相机、摄影机等则是将影像通过感光元件转换为数字信号（数码格式）存储在存储卡内。

其实，人类的视觉系统也是小孔成像的原理。只不过视觉系统的复杂度是相机系统的成千上万倍。

小孔成像模型

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上图是最原汁原味的小孔成像原理图，它描述的是三维空间中的点到图像平面(image plane)上的投影。

在实际的实现和应用中，为了表达的方便，通常会将图像平面放在小孔和三维场景之间。如下图所示：
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这里介绍几个概念：

光轴：像极坐标系的Z轴
光心：光轴中心点，即上图中的O点
主点：光轴与图像平面的交点Principal Point
焦距：光心到图像平面的距离Focal Length

四个坐标系

为了数学表达的方便，通常以光心为原点，建立一个图像坐标系。下图详细的描述了这些关系。

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世界坐标系： $O_w−X_wY_wZ_w$ 单位m

世界坐标系（world coordinate），也称为测量坐标系，是一个三维直角坐标系，以其为基准可以描述相机和待测物体的空间位置。世界坐标系的位置可以根据实际情况自由确定。

相机坐标系： $O_c−X_cY_cZ_c$ 单位m

相机坐标系（camera coordinate），也是一个三维直角坐标系，原点位于镜头光心处，x、y轴分别与相面的两边平行，z轴为镜头光轴，与像平面垂直。

像素坐标系： $O_{uv}−uv$ 单位像素pixel（整数）

像素坐标系（pixel coordinate），二维直角坐标系，反映了相机CCD/CMOS芯片中像素的排列情况。原点ouv位于图像的左上角，u轴、v轴分别于像面的两边平行。像素坐标系中坐标轴的单位是像素pixel（整数）
几乎所有的图像，像素坐标都如下图所示:
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即：像素原点在图像的左上角，横坐标值表示列数c，通常以u表示；纵坐标值表示行数r，通常以v表示。

图像坐标系： $O_{xy}−xy$ 单位mm

图像坐标系（image coordinate），由于像素坐标系不利于坐标变换，因此需要建立图像坐标系oxy，其坐标轴的单位为毫米（mm），原点是相机光轴与相面的交点（称为主点Principal Point），即图像的中心点，x轴、y轴分别与u轴、v轴平行。故两个坐标系实际是平移关系，即可以通过平移就可得到。
如下图：(u0,v0) 为图像坐标系中心O在像素坐标系下的位置表示。
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