背包问题的模板及各个等价变形

0-1背包 —— 二维二重循环

01背包 —— 一维二重循环

完全背包 —— 二维三重循环

完全背包 —— 二维二重循环

完全背包 —— 一维二重循环

0-1背包 —— 二维二重循环

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int dp[N][N];
int v[N], w[N];int main() {int n, vm;cin >> n >> vm;for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> v[i] >> w[i];}for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = 1; j <= vm; j++){dp[i][j] = dp[i-1][j];if(v[i] <= j) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j - v[i]] + w[i]);}}cout << dp[n][vm];return 0;
}

01背包 —— 一维二重循环

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int dp[N];
int v[N], w[N];int main() {int n, vm;cin >> n >> vm;for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> v[i] >> w[i];}for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = vm; j >= v[i]; j--){dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);}}cout << dp[vm];return 0;
}

完全背包 —— 二维三重循环

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int dp[N][N];
int v[N], w[N];int main() {int n, vm;cin >> n >> vm;for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> v[i] >> w[i];}for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = 1; j <= vm; j++){for(int k = 0; k * v[i] <= j; k++) //从不选到多选{dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j - k*v[i]] + k*w[i]);}}}cout << dp[n][vm];return 0;
}

这个就是比选0，选1多了选的情况。

多选多少，由j是v[i]的多少倍决定。

下拉操作（就是选0）整合进了k = 0的情况。

为什么不是dp[i][j] = dp[i-1][j] ？

因为现在可能有多个值来更新dp[i][j]，max函数只接受两个参数，于是不断更新dp[i][j]自身，而dp[i-1][j]代表的是选0，已经被整合进dp[i-1][j - k*v[i]] + k*w[i] 的众多分身了（k=0时的分身）

完全背包 —— 二维二重循环

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int dp[N][N];
int v[N], w[N];int main() {int n, vm;cin >> n >> vm;for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> v[i] >> w[i];}for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = 1; j <= vm; j++){dp[i][j] = dp[i-1][j];if(j >= v[i]) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j-v[i]] + w[i]);}}cout << dp[n][vm];return 0;
}

把第一个蓝色等式两边进行替换，把j替换为j - v[i]。得到第二个蓝色等式，对第一个蓝色式子右边的局部进行替换得到红色等式。

完全背包 —— 一维二重循环

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int dp[N];
int v[N], w[N];int main() {int n, vm;cin >> n >> vm;for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> v[i] >> w[i];}for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = v[i]; j <= vm; j++){dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);}}cout << dp[vm];return 0;
}

类似0-1背包的降维操作。但是这里j参数下的值的求取不依赖于上层的更小的j参数下的值的求取，而是本层的，因此正常从小到大遍历即可。

下图示例