动态规划之买卖股票篇-代码随想录算法训练营第三十八天| 买卖股票的最佳时机ⅠⅡⅢⅣ，309.最佳买卖股票时机含冷冻期，714.买卖股票的最佳时机含手续费

121. 买卖股票的最佳时机

题目链接：. - 力扣（LeetCode）

讲解视频：

动态规划之 LeetCode：121.买卖股票的最佳时机1

题目描述：

给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

示例 1：

输入：[7,1,5,3,6,4]
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

解题思路：

1、状态表示：

0表示买入，1表示卖出

dp[i][0]：第i天结束时，处于「买入」状态，此时的最大利润；

dp[i][1]：第i天结束时，处于「卖出」状态，此时的最大利润；

2、状态转移方程：

因为只能买卖一次，故买入时手中利润为0
dp[i][0] = max(dp[i-1][0],0-prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][0] + prices[i]);

3、初始化：

dp[0][0] = -1*prices[0]，dp[0][1] = 0

4、遍历顺序：

按prices从左往右遍历

5、返回值：

返回dp[n-1][1]（没有dp[n-1][0]原因是如果当前还存有股票，一定不是最大利润）

代码：

class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices) {int n = prices.size();vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(2));dp[0][0] = -prices[0];for(int i = 1; i < n; i++){dp[i][0] = max(dp[i-1][0],0-prices[i]);dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][0] + prices[i]);}return dp[n-1][1];}
};

122.买卖股票的最佳时机II

题目链接：. - 力扣（LeetCode）

讲解视频：

动态规划，股票问题第二弹 | LeetCode：122.买卖股票的最佳时机II

题目描述：

给你一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。

在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候最多只能持有一股股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。

返回 你能获得的最大利润 。

示例 1：

输入：prices = [7,1,5,3,6,4]
输出：7
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4。
随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6 - 3 = 3。
最大总利润为 4 + 3 = 7 。

解题思路：

1、状态表示：

0表示买入，1表示卖出
dp[i][0]：第i天结束时，处于「买入」状态，此时的最大利润；

dp[i][1]：第i天结束时，处于「卖出」状态，此时的最大利润；

2、状态转移方程：

可以买卖无数次，故买入时手中利润为dp[i-1][1]
dp[i][0] = max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i]);//就此处与上一题不一样
dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][0] + prices[i]);

3、初始化：

dp[0][0] = -1*prices[0]，dp[0][1] = 0

4、遍历顺序：

按prices从左往右遍历

5、返回值：

返回dp[n-1][1]（没有dp[n-1][0]原因是如果当前还存有股票，一定不是最大利润）

代码：

class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices) {int n = prices.size();vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(2));dp[0][0] = -1 * prices[0];for(int i = 1; i < n; i++){dp[i][0] = max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i]);dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i]);}return dp[n-1][1];}
};

123.买卖股票的最佳时机III

题目链接：. - 力扣（LeetCode）

讲解视频：

动态规划，股票至多买卖两次，怎么求？ | LeetCode：123.买卖股票最佳时机III

题目描述：

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成两笔交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

解题思路：

1、状态表示：

f[i][j] 表示：第 i 天结束后，完成了 j 次交易，处于「买入」状态，此时的最大利润；
g[i][j] 表示：第 i 天结束后，完成了 j 次交易，处于「卖出」状态，此时的最大利润。

2、状态转移方程：

对于 f[i][j] ，我们有两种情况到这个状态：

在 i - 1 天的时候，交易了 j 次，处于「买入」状态，第 i 天啥也不干即可。此时最大利润为： f[i - 1][j] ；
在 i - 1 天的时候，交易了 j 次，处于「卖出」状态，第 i 天的时候把股票买了。此时的最大利润为： g[i - 1][j] - prices[i] 。

综上，我们要的是「最大利润」，因此是两者的最大值：

f[i][j] = max(f[i - 1][j],g[i - 1][j] - prices[i]) 。

对于 g[i][j] ，我们也有两种情况可以到达这个状态：

在 i - 1 天的时候，交易了 j 次，处于「卖出」状态，第 i 天啥也不干即可。此时的最大利润为： g[i - 1][j] ；
在 i - 1 天的时候，交易了 j - 1 次，处于「买入」状态，第 i 天把股票卖了，然后就完成了 j 比交易。此时的最大利润为： f[i - 1][j - 1] + prices[i] 。但是这个状态不一定存在，要先判断一下。

综上，我们要的是最大利润，因此状态转移方程为：
g[i][j] = g[i - 1][j];
if(j >= 1) g[i][j] = max(g[i][j], f[i - 1][j - 1] + prices[i]);

3、初始化：

f[0][0] = - prices[0] 。

f[0][k](k>=1)为不存在状态，为了取 max 的时候，这些状态「起不到干扰」的作用，我们统统将它们初始化为 -INF （用 INT_MIN 在计算过程中会有「溢出」的风险，这里 INF 折半取0x3f3f3f3f ，足够小即可）

4、遍历顺序：

从「上往下填」每一行，每一行「从左往右」，两个表「一起填」。

5、返回值：

返回处于「卖出状态」的最大值，但是我们也「不知道是交易了几次」，因此返回 g 表最后一行的最大值。

代码：

class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices) {int n = prices.size();vector<vector<int>> f(n,vector<int>(3));auto g = f;f[0][0] = -1 * prices[0];for(int j = 1; j < 3; j++)f[0][j] = g[0][j] = -1 * 0x3f3f3f3f;for(int i = 1; i < n ; i++){for(int j = 0; j < 3; j++){f[i][j] = max(f[i-1][j], g[i-1][j] - prices[i]);g[i][j] = g[i-1][j];if(j >= 1) g[i][j] = max(g[i][j],f[i-1][j-1]+prices[i]);}}int result = 0;for(int i = 0; i < 3; i++)result = max(g[n-1][i],result);return result;}
};

188.买卖股票的最佳时机IV

题目链接：. - 力扣（LeetCode）

讲解视频：

动态规划来决定最佳时机，至多可以买卖K次！| LeetCode：188.买卖股票最佳时机4

题目描述：

给你一个整数数组 prices 和一个整数 k ，其中 prices[i] 是某支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。也就是说，你最多可以买 k 次，卖 k 次。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1：

输入：k = 2, prices = [2,4,1]
输出：2
解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。

解题思路：

在上一题的基础上将交易2次改为交易k次，需要注意会存在交易不符合实际情况--交易次数k大于总天数的一半（2天为一次交易周期），需要预处理k值

代码：

class Solution {
public:int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {const int INF = -1 * 0x3f3f3f3f;int n = prices.size();k = min(k,n/2);vector<vector<int>> f(n,vector<int>(k+1,INF));auto g = f;f[0][0] = -1 * prices[0];g[0][0] = 0;for(int i = 1; i < n; i++){for(int j = 0; j <= k; j++){f[i][j] = max(f[i-1][j],g[i-1][j]-prices[i]);g[i][j] = g[i-1][j];if(j >= 1) g[i][j] = max(g[i][j], f[i-1][j-1]+prices[i]);}}int result = 0;for(int i = 0; i <= k; i++)result = max(result,g[n-1][i]);return result;}
};

309.最佳买卖股票时机含冷冻期

题目链接：. - 力扣（LeetCode）

讲解视频：

动态规划来决定最佳时机，这次有冷冻期！| LeetCode：309.买卖股票的最佳时机含冷冻期

题目描述：

给定一个整数数组prices，其中第 prices[i] 表示第 i 天的股票价格。

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入: prices = [1,2,3,0,2]
输出: 3 
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

解题思路：

1、状态表示：

有「买入」「可交易」「冷冻期」三个状态。

选择用三个数组：

dp[i][0] 表示：第 i 天结束后，处于「买入」状态，此时的最大利润；

dp[i][1] 表示：第 i 天结束后，处于「冷冻期」状态，此时的最大利润；
dp[i][2] 表示：第 i 天结束后，处于「可交易」状态，此时的最大利润。

2、状态转移方程：

谨记规则：

1）处于「买入」状态的时候，我们现在有股票，此时不能买股票，只能继续持有股票，或者卖出股票；

2）处于「卖出」状态的时候：

如果「在冷冻期」，不能买入；
如果「不在冷冻期」，才能买入。

根据如下状态图可以得到状态表示：

dp[i][0] = max(dp[i-1][0],dp[i-1][2]-prices[i]);//买入
dp[i][1] = dp[i-1][0]+prices[i];//冷冻期
dp[i][2] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][2]);//可交易

3、初始化：

三种状态都会用到前一个位置的值，因此需要初始化每一行的第一个位置：
dp[0][0] ：此时要想处于「买入」状态，必须把第一天的股票买了，因此 dp[0][0] = -1*
prices[0] ；
dp[0][1] ：手上没有股票，买一下卖一下就处于冷冻期，此时收益为 0 ，因此dp[0][2]= 0 ；
dp[0][2] ：啥也不用干即可，因此 dp[0][1] = 0 。

4、遍历顺序：

根据「状态表示」，我们要三个表一起填，每一个表「从左往右」。

5、返回值：

应该返回「卖出状态」下的最大值，因此应该返回max(dp[n-1][1]，dp[n-1][2])。

代码：

class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices) {int n = prices.size();vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(3));dp[0][0] = -1 * prices[0];for(int i = 1; i < n; i++){dp[i][0] = max(dp[i-1][0],dp[i-1][2]-prices[i]);//买入dp[i][1] = dp[i-1][0]+prices[i];//冷冻期dp[i][2] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][2]);//可交易}return max(dp[n-1][1],dp[n-1][2]);}
};

714.买卖股票的最佳时机含手续费

题目链接：. - 力扣（LeetCode）

讲解视频：

动态规划来决定最佳时机，这次含手续费！| LeetCode：714.买卖股票的最佳时机含手续费

题目描述：

给定一个整数数组 prices，其中 prices[i]表示第 i 天的股票价格；整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

示例 1：

输入：prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
输出：8
解释：能够达到的最大利润:  
在此处买入 prices[0] = 1
在此处卖出 prices[3] = 8
在此处买入 prices[4] = 4
在此处卖出 prices[5] = 9
总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8

解题思路：

在122.买卖股票的最佳时机Ⅱ基础上每次交易时减去fee手续费即可

代码：

class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) {int n = prices.size();vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(2));dp[0][0] = -1 * prices[0];for(int i = 1; i < n; i ++){dp[i][0] = max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i]);dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i]-fee);}return dp[n-1][1];}
};