8. 向量的投影与内积

复习前面的知识：，若BCE三点共线，则
$\overrightarrow{AE}=(1-s)\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AC},(B,C,E)=\mu \Rightarrow s=\frac{\mu }{1+\mu },1-s=\frac{1}{1+\mu }$

Ceva定理的前提条件是E F D是三角形内点，假设E不是三角形内点

8.1 向量的投影

• 给定一个非零向量$e$，$\alpha$可分解为${\alpha }_1+{\alpha }_2$使得${\alpha }_1//e,{\alpha }_2\perp e$，且分解系数唯一。将${\alpha }_1$称为$\alpha$关于向量$e$的内投影，记为$P_e\alpha$，${\alpha }_2$称为$\alpha$关于向量$e$的外投影，记为${\bar{P}}_e\alpha$；
• $P_e\alpha ,{\bar{P}}_e\alpha$与$e$的大小无关，只与$e$的方向有关。
• 对两个非零向量$\alpha$与$\beta$的几何夹角记作$<\alpha ,\beta >$，其中$(0^{\circ }\le (<\alpha ,\beta >)<180^{\circ }$
• 记$e_0=\frac{e}{|e|}$，当$\alpha \ne \vec{0},P_e\alpha =|\alpha |\cos <\alpha ,\beta >e_0$
• 【内投影的线性性】
  （1）$P_e(\alpha +\beta )=P_e\alpha +P_e\beta$
  ${\bar{P}}_e(\alpha +\beta )={\bar{P}}_e\alpha +P_e\beta$
  （2）$P_e(\lambda \alpha )=\lambda P_e\alpha ,\lambda \in \mathbb{R}$
  ${\bar{P}}_e(\lambda \alpha )=\lambda {\bar{P}}_e\alpha ,\lambda \in \mathbb{R}$
  【证】由内投影和外投影的定义可知，$\alpha =P_e\alpha +{\bar{P}}_e\alpha$
  $\beta =P_e\beta +{\bar{P}}_e\beta$
  则$\alpha +\beta =P_e\alpha +{\bar{P}}_e\alpha +P_e\beta +{\bar{P}}_e\beta =(P_e\alpha +P_e\beta )+({\bar{P}}_e\alpha +{\bar{P}}_e\beta )$（分解成了一个垂直于$e$的向量和一个平行于$e$的向量相加）
  由投影分解的唯一性，$P_e(\alpha +\beta )=P_e\alpha +P_e\beta ,{\bar{P}}_e(\alpha +\beta )={\bar{P}}_e\alpha +P_e\beta$（对应项相等）

8.2 向量的内积

定义：有向量$\alpha ,\beta$，$\alpha \cdot \beta =|\alpha ||\beta |\cdot \cos <\alpha ,\beta >$（结果是一个数）

• $\alpha \cdot \beta =0\iff \alpha \perp \beta$
• $\alpha \cdot \alpha =|\alpha {|}^2\Rightarrow \sqrt{\alpha \cdot \alpha }$
• $<\alpha ,\beta >=\arccos \frac{\alpha \cdot \beta }{|\alpha ||\beta |}$
• 【交换律】$\alpha \cdot \beta =\beta \cdot \alpha$
• $P_{\beta }\alpha =|\alpha |\cos <\alpha ,\beta >{\beta }_0=|\alpha |\cos <\alpha ,\beta >\frac{\beta }{|\beta |}\Rightarrow \alpha \cdot \beta =\frac{P_{\beta }\alpha }{{\beta }_0}|\beta |$
• 【定理1.3】内积具有双线性性
  （1）$\alpha \cdot (\beta +\gamma )=\alpha \cdot \beta +\alpha \cdot \gamma$
  $(\alpha +\gamma )\cdot \beta =\alpha \cdot \beta +\gamma \cdot \alpha$
  （2）$\alpha \cdot (\lambda \beta )=\lambda \alpha \beta =(\lambda \alpha )\beta$