一 什么是聚类

聚类是一种经典的无监督学习方法，无监督学习的目标是通过对无标记训练样本的学习，发掘和揭示数据集本身潜在的结构与规律，即不依赖于训练数据集的类标记信息。聚类则是试图将数据集的样本划分为若干个互不相交的类簇，从而每个簇对应一个潜在的类别。

聚类直观上来说是将相似的样本聚在一起，从而形成一个类簇（cluster）。那首先的问题是如何来度量相似性（similarity measure）呢？这便是距离度量，在生活中我们说差别小则相似，对应到多维样本，每个样本可以对应于高维空间中的一个数据点，若它们的距离相近，我们便可以称它们相似。那接着如何来评价聚类结果的好坏呢？这便是性能度量，性能度量为评价聚类结果的好坏提供了一系列有效性指标。

二 距离度量

谈及距离度量，最熟悉的莫过于欧式距离了，从年头一直用到年尾的距离计算公式：即对应属性之间相减的平方和再开根号。度量距离还有其它的很多经典方法，通常它们需要满足一些基本性质：

这里列举几种常见的距离度量方式。

2.1 闵可夫斯基距离

最常用的距离度量方法是**“闵可夫斯基距离”（Minkowski distance)**：

当p=1时，闵可夫斯基距离即曼哈顿距离（Manhattan distance）：

当p=2时，闵可夫斯基距离即欧氏距离（Euclidean distance）：

2.2 余弦距离

余弦距离以两向量夹角余弦值来反映相似度，取值在$[0,1]$之间，值越大，相似度越大。

$$dist(X,Y)=\cos (X,Y)=\frac{{\sum }_{i=1}^d{x}_i{y}_i}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^d{(x_i)}^2}\sqrt{{\sum }_{i=1}^d{(y_i)}^2}}$$

2.3 切比雪夫距离

切比雪夫距离是以各维度差值的最大值作为最终的相似度：

$$dist(X,Y)=\underset{i}{\max }(|x_i-y_i|)$$

我们知道属性分为两种：连续属性和离散属性（有限个取值）。对于连续值的属性，一般都可以被学习器所用，有时会根据具体的情形作相应的预处理，例如：归一化等；而对于离散值的属性，需要作下面进一步的处理：

若属性值之间存在序关系，则可以将其转化为连续值，例如：身高属性“高”“中等”“矮”，可转化为{1, 0.5, 0}。
若属性值之间不存在序关系，则通常将其转化为向量的形式，例如：性别属性“男”“女”，可转化为{（1,0），（0,1）}。

在进行距离度量时，易知连续属性和存在序关系的离散属性都可以直接参与计算，因为它们都可以反映一种程度，我们称其为“有序属性”；而对于不存在序关系的离散属性，我们称其为：“无序属性”，显然无序属性再使用闵可夫斯基距离就行不通了。

对于无序属性，我们一般采用VDM进行距离的计算，例如：对于离散属性的两个取值a和b，定义：

于是，在计算两个样本之间的距离时，我们可以将闵可夫斯基距离和VDM混合在一起进行计算：

若我们定义的距离计算方法是用来度量相似性，例如下面将要讨论的聚类问题，即距离越小，相似性越大，反之距离越大，相似性越小。这时距离的度量方法并不一定需要满足前面所说的四个基本性质，这样的方法称为：非度量距离（non-metric distance）。

三 性能度量

由于聚类算法不依赖于样本的真实类标，就不能像监督学习的分类那般，通过计算分对分错（即精确度或错误率）来评价学习器的好坏或作为学习过程中的优化目标。一般聚类有两类性能度量指标：外部指标和内部指标。

3.1 外部指标

即将聚类结果与某个参考模型的结果进行比较，以参考模型的输出作为标准，来评价聚类好坏。假设聚类给出的结果为λ，参考模型给出的结果是λ*，则我们将样本进行两两配对，定义：

显然a和b代表着聚类结果好坏的正能量，b和c则表示参考结果和聚类结果相矛盾，基于这四个值可以导出以下常用的外部评价指标：

3.2 内部指标

内部指标即不依赖任何外部模型，直接对聚类的结果进行评估，聚类的目的是想将那些相似的样本尽可能聚在一起，不相似的样本尽可能分开，直观来说：簇内高内聚紧紧抱团，簇间低耦合老死不相往来。定义：

基于上面的四个距离，可以导出下面这些常用的内部评价指标：

四 原型聚类-主流聚类算法解析

原型聚类即“基于原型的聚类”（prototype-based clustering），原型表示模板的意思，就是通过参考一个模板向量或模板分布的方式来完成聚类的过程，常见的K-Means便是基于簇中心来实现聚类，混合高斯聚类则是基于簇分布来实现聚类。

4.1 K-Means

K-Means的思想十分简单，首先随机指定类中心，根据样本与类中心的远近划分类簇，接着重新计算类中心，迭代直至收敛。但是其中迭代的过程并不是主观地想象得出，事实上，若将样本的类别看做为“隐变量”（latent variable），类中心看作样本的分布参数，这一过程正是通过EM算法的两步走策略而计算出，其根本的目的是为了最小化平方误差函数E：

K-Means的算法流程如下所示：

4.2 学习向量量化（LVQ）

LVQ也是基于原型的聚类算法，与K-Means不同的是，LVQ使用样本真实类标记辅助聚类，首先LVQ根据样本的类标记，从各类中分别随机选出一个样本作为该类簇的原型，从而组成了一个原型特征向量组，接着从样本集中随机挑选一个样本，计算其与原型向量组中每个向量的距离，并选取距离最小的原型向量所在的类簇作为它的划分结果，再与真实类标比较。

若划分结果正确，则对应原型向量向这个样本靠近一些
若划分结果不正确，则对应原型向量向这个样本远离一些

LVQ算法的流程如下所示：

4.3 高斯混合聚类

现在可以看出K-Means与LVQ都试图以类中心作为原型指导聚类，高斯混合聚类则采用高斯分布来描述原型。现假设每个类簇中的样本都服从一个多维高斯分布，那么空间中的样本可以看作由k个多维高斯分布混合而成。

对于多维高斯分布，其概率密度函数如下所示：

其中u表示均值向量，∑表示协方差矩阵，可以看出一个多维高斯分布完全由这两个参数所确定。接着定义高斯混合分布为：

α称为混合系数，这样空间中样本的采集过程则可以抽象为：（1）先选择一个类簇（高斯分布），（2）再根据对应高斯分布的密度函数进行采样，这时候贝叶斯公式又能大展身手了：

此时只需要选择PM最大时的类簇并将该样本划分到其中，看到这里很容易发现：这和那个传说中的贝叶斯分类不是神似吗，都是通过贝叶斯公式展开，然后计算类先验概率和类条件概率。但遗憾的是：这里没有真实类标信息，对于类条件概率，并不能像贝叶斯分类那样通过最大似然法美好地计算出来，因为这里的样本可能属于所有的类簇，这里的似然函数变为：

可以看出：简单的最大似然法根本无法求出所有的参数，这样PM也就没法计算。这里就要召唤出之前的EM大法，首先对高斯分布的参数及混合系数进行随机初始化，计算出各个PM（即γji，第i个样本属于j类），再最大化似然函数（即LL（D）分别对α、u和∑求偏导 ），对参数进行迭代更新。

高斯混合聚类的算法流程如下图所示：

4.4 密度聚类

密度聚类则是基于密度的聚类，它从样本分布的角度来考察样本之间的可连接性，并基于可连接性（密度可达）不断拓展疆域（类簇）。其中最著名的便是DBSCAN算法，首先定义以下概念：

简单来理解DBSCAN便是：找出一个核心对象所有密度可达的样本集合形成簇。首先从数据集中任选一个核心对象A，找出所有A密度可达的样本集合，将这些样本形成一个密度相连的类簇，直到所有的核心对象都遍历完。DBSCAN算法的流程如下图所示：

4.5 层次聚类

层次聚类是一种基于树形结构的聚类方法，常用的是自底向上的结合策略（AGNES算法）。假设有N个待聚类的样本，其基本步骤是：

1.初始化–>把每个样本归为一类，计算每两个类之间的距离，也就是样本与样本之间的相似度；
2.寻找各个类之间最近的两个类，把他们归为一类（这样类的总数就少了一个）；
3.重新计算新生成的这个类与各个旧类之间的相似度；
4.重复2和3直到所有样本点都归为一类，结束。

可以看出其中最关键的一步就是计算两个类簇的相似度，这里有多种度量方法：

* 单链接（single-linkage）:取类间最小距离。

* 全链接（complete-linkage）:取类间最大距离

* 均链接（average-linkage）:取类间两两的平均距离

很容易看出：单链接的包容性极强，稍微有点暧昧就当做是自己人了，全链接则是坚持到底，只要存在缺点就坚决不合并，均连接则是从全局出发顾全大局。层次聚类法的算法流程如下所示：