正交多项式

1. 正交多项式的定义

正交多项式是在给定的权函数和定义域下，两个不同多项式的内积为零的一组多项式。设有权函数 $w(x)$ 和定义域 $[a,b]$，对于一组多项式 { p 0 ( x ) , p 1 ( x ) , p 2 ( x ) , … } \{p_0(x), p_1(x), p_2(x), \dots\} {p0​(x),p1​(x),p2​(x),…}，如果满足以下正交条件：

$${\int }_a^b{p}_m(x)p_n(x)w(x)dx=0(m\ne n)$$

则称这组多项式是相对于权函数 $w(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的正交多项式。

2. 常见的正交多项式

2.1 勒让德多项式（Legendre Polynomial）

• 定义域：$[-1,1]$
• 权函数：$w(x)=1$
• 递推关系：
  $$P_0(x)=1,P_1(x)=x,(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)x{P}_n(x)-n{P}_{n-1}(x)$$

2.2 切比雪夫多项式（Chebyshev Polynomial）

• 定义域：$[-1,1]$
• 权函数：$w(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• 递推关系：
  $$T_0(x)=1,T_1(x)=x,T_{n+1}(x)=2x{T}_n(x)-T_{n-1}(x)$$

2.3 拉盖尔多项式（Laguerre Polynomial）

• 定义域：$[0,\infty ]$
• 权函数：$w(x)=e^{-x}$
• 递推关系：
  $$L_0(x)=1,L_1(x)=1-x,(n+1)L_{n+1}(x)=(2n+1-x)L_n(x)-n{L}_{n-1}(x)$$

2.4 埃尔米特多项式（Hermite Polynomial）

• 定义域：$(-\infty ,\infty )$
• 权函数：$w(x)=e^{-x^2}$
• 递推关系：
  $$H_0(x)=1,H_1(x)=2x,H_{n+1}(x)=2x{H}_n(x)-2n{H}_{n-1}(x)$$

3. 高斯-勒让德积分的使用案例

背景

我们需要计算定积分：

$$I={\int }_{-1}^{1}f(x)dx$$

高斯-勒让德积分方法通过正交多项式的根和权重来近似计算定积分。

步骤

1. 确定勒让德多项式的根：使用 $n$ 阶的勒让德多项式 $P_n(x)$，它有 $n$ 个根，记为 $x_1,x_2,\dots ,x_n$。
2. 确定权重 $w_i$：对于每个根 $x_i$，我们可以计算对应的权重 $w_i$。
3. 近似积分：通过根和权重计算积分的近似值：
   $$I\approx \sum _{i=1}^n{w}_{i}f(x_i)$$

具体例子：使用 2 阶勒让德多项式

假设我们要计算以下积分：

$$I={\int }_{-1}^1(x^2+1)dx$$

1. 勒让德多项式的根：2 阶勒让德多项式 $P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1)$，其根为 $x_1=-\frac{1}{\sqrt{3}},x_2=\frac{1}{\sqrt{3}}$。
2. 权重：对应的权重 $w_1=w_2=1$。
3. 函数值：
   $$f\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{4}{3},f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{4}{3}$$
4. 计算积分：
   $$I\approx \frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$$

精确积分验证

通过直接积分：

$$I={\int }_{-1}^1(x^2+1)dx=\frac{8}{3}$$

可以看到，高斯-勒让德积分与精确积分的结果一致。

4. 时间与空间复杂度优化

时间复杂度

• 传统数值积分方法：如梯形法和辛普森法的时间复杂度为 $O(n)$，需要大量采样点来提高精度。
• 高斯-勒让德积分：同样的时间复杂度 $O(n)$，但由于采用正交多项式的根作为积分点，通常需要的积分点较少，计算效率更高。

空间复杂度

• 传统方法：需要存储所有采样点和函数值，空间复杂度为 $O(n)$。
• 高斯积分：仅需存储少量的根和权重，减少了存储需求，空间复杂度仍为 $O(n)$，但实际内存消耗较低。

优化效果总结

高斯-勒让德积分通过减少积分点的数量，降低了函数调用次数和存储需求，在时间和空间复杂度上都优于传统方法。